高一數(shù)學(xué)必修3概率公式總結(jié)以及例題

1、3. 概率u 事件：隨機事件（ random event ），確定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )v 隨機事件的概率(統(tǒng)計定義)：一般的，如果隨機事件 在次實驗中發(fā)生了次，當(dāng)實驗的次數(shù)很大時，我們稱事件A發(fā)生的概率為 說明： 一個隨機事件發(fā)生于具有隨機性，但又存在統(tǒng)計的規(guī)律性，在進行大量的重復(fù)事件時某個事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性 ，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性對立統(tǒng)一 不可能事件和確定事件可以看成隨機事件的極端情況 隨機事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附

2、近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這個擺動的幅度越來越小，而這個接近的某個常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率 概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢，而頻率是具體的統(tǒng)計的結(jié)果 概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值w 概率必須滿足三個基本要求： 對任意的一個隨機事件 ，有 如果事件x 古典概率（Classical probability model）： 所有基本事件有限個 每個基本事件發(fā)生的可能性都相等 滿足這兩個條件的概率模型成為古典概型 如果一次試驗的等可能的基本事件的個數(shù)為個，則每一個基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個事件包含了其中的個等可能的基本事件，則事件發(fā)生的概率

3、為 y 幾何概型（geomegtric probability model）：一般地，一個幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件“改點落在其內(nèi)部的一個區(qū)域內(nèi)”為事件，則事件發(fā)生的概率為 （ 這里要求的側(cè)度不為0，其中側(cè)度的意義由確定，一般地，線段的側(cè)度為該線段的長度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積 ）幾何概型的基本特點： 基本事件等可性 基本事件無限多顏老師說明：為了便于研究互斥事件，我們所研究的區(qū)域都是指的開區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)域內(nèi)隨機地取點，指的是該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無關(guān)。z互斥事件(exclusi

4、ve events)：不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件 對立事件（complementary events）：兩個互斥事件中必有一個發(fā)生,則稱兩個事件為對立事件 ，事件的對立事件 記為：獨立事件的概率：，若顏老師說明： 若可能都不發(fā)生，但不可能同時發(fā)生 ，從集合的關(guān)來看兩個事件互斥，即指兩個事件的集合的交集是空集 對立事件是指的兩個事件，而且必須有一個發(fā)生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一個發(fā)生，可能都不發(fā)生 對立事件一定是互斥事件 從集合論來看：表示互斥事件和對立事件的集合的交集都是空集，但兩個對立事件的并集是全集 ，而兩個互斥事件的并集不一定是全集 兩個對立事件的概率之和一定是1

5、 ，而兩個互斥事件的概率之和小于或者等于1 若事件是互斥事件，則有 一般地，如果 兩兩互斥，則有 在本教材中 指的是 中至少發(fā)生一個 在具體做題中，希望大家一定要注意書寫過程，設(shè)處事件來，利用哪種概型解題，就按照那種概型的書寫格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來 ，具體的格式請參照我們課本上（新課標(biāo)試驗教科書-蘇教版）的例題|例題選講：例1. 在大小相同的6個球中，4個是紅球，若從中任意選2個，求所選的2個球至少有一個是紅球的概率？【分析】題目所給的6個球中有4個紅球，2個其它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不同的解法解法1：（互斥事件）設(shè)事件 為“選取2個球至少有1個是紅球” ，則其互斥事件

6、為 意義為“選取2個球都是其它顏色球” 答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為 .解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有種情況，設(shè)事件 為“選取2個球至少有1個是紅球” ，而事件所含有的基本事件數(shù)有 所以答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為 .解法3：（獨立事件概率）不妨把其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件 為“選取2個球至少有1個是紅球” ，事件有三種可能的情況：1紅1白；1白1紅；2紅，對應(yīng)的概率分別為：， 則有 答：所選的2個球至少有一個是紅球的概率為 .評價：本題重點考察我們對于概率基本知識的理解，綜合所學(xué)的方法，根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能少!變式訓(xùn)練

7、1： 在大小相同的6個球中，2個是紅球，4 個是白球，若從中任意選取3個，求至少有1個是紅球的概率？解法1：（互斥事件）設(shè)事件 為“選取3個球至少有1個是紅球”，則其互斥事件為， 意義為“選取3個球都是白球”答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為 .解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有種情況，設(shè)事件 為“選取3個球至少有1個是紅球” ，而事件所含有的基本事件數(shù)有， 所以 答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為 .解法3：（獨立事件概率）設(shè)事件 為“選取3個球至少有1個是紅球” ，則事件的情況如下： 紅 白 白 1紅2白 白 白 紅 白 紅 白 紅 紅 白 2紅1白 紅 白 紅 白

8、 紅 紅 所以 答：所選的3個球至少有一個是紅球的概率為 .變式訓(xùn)練2：盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回的從中任抽2次，每次抽取1只，試求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品（2）抽到的2次中，正品、次品各一次解：設(shè)事件為“第1次抽到的是次品”， 事件為“抽到的2次中，正品、次品各一次”則 ，（或者）答：第1次抽到的是次品的概率為 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率為變式訓(xùn)練3：甲乙兩人參加一次考試共有3道選擇題，3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放回，求（1）甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率？（2）求至少1人抽到選擇題的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽兩道題

9、，甲抽到選擇題而乙抽到填空題是獨立的，所以可以用獨立事件的概率（2）事件“至少1人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到填空題”時互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來解：設(shè)事件為“甲抽到選擇題而乙抽到填空題”，事件為“至少1人抽到選擇題”，則為“兩人都抽到填空題” （1）（2） 則 答：甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為 ，少1人抽到選擇題的概率為 .變式訓(xùn)練4：一只口袋里裝有5個大小形狀相同的球，其中3個紅球，2 個黃球，從中不放回摸出2個球，球兩個球顏色不同的概率？【分析】先后抽出兩個球顏色相同要么是1紅1球，要么是1黃1球略解:變式訓(xùn)練5：設(shè)盒子中有6個球，其中4個紅球，2 個白球，每次人抽一個

10、，然后放回，若連續(xù)抽兩次，則抽到1個紅球1個白球的概率是多少？略解: 例2. 急救飛機向一個邊長為1千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有一個長寬分別為80米和50米的水池，當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10米的范圍內(nèi)時，物品會失效，假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點是隨機的（不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的），求發(fā)放急救物品無效的概率？【分析】為題屬于幾何概型，切是平面圖形，其測度用面積來衡量解：如圖，設(shè)急救物品投放的所有可能的區(qū)域，即邊長為1千米的正方形為區(qū)域 ，事件“發(fā)放急救物品無效”為 ，距離水池10米范圍為區(qū)域 ，即為圖中的陰影部分， 則有答：略顏老師說明：這種題目要看清題目

11、意思，為了利用幾何概率，題目中一般都會有落在所給的大的區(qū)域之外的不計的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個條件，因為超出一個網(wǎng)格，就會進入另外一個網(wǎng)格，分析是同樣的變式訓(xùn)練1：在地上畫一正方形線框，其邊長等于一枚硬幣的直徑的2倍，向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計，求硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？略解：變式訓(xùn)練2：如圖，設(shè)有一個正方形網(wǎng)格，其中每個小正三角形的邊長都是 , 現(xiàn)有一直徑等于的硬幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率？【分析】因為圓的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑解：如圖，正三角形內(nèi)有一正三角形 ，其中 ，當(dāng)圓心落

12、在三角形 之外時，硬幣與網(wǎng)格有公共點 答：硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點的概率為 0.82 .變式訓(xùn)練3：如圖，已知矩形 的概率？略解：變式訓(xùn)練4：平面上畫了彼此相距2a的平行線把一枚半徑r a的硬幣，任意的拋在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？解：設(shè)事件為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線，垂足2a為， 線段的長度的取值范圍為 ，其長度就是幾何概型所有的可能性構(gòu)成的區(qū)域的幾何測度，只有當(dāng)時，硬幣不與平行線相碰，其長度就是滿足事件 的區(qū)域的幾何測度，所以答：硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為【評價與鏈接】該題是幾何概型的典型題目，要求

13、我們正確確認區(qū)域和區(qū)域，理解它們的關(guān)系以及它們的測度如何來刻畫。蒲豐投針問題：平面上畫有等距離的一系列的平行線，平行線間距離為（） ，向平面內(nèi)任意的投擲一枚長為的針，求針與平行線相交的概率？ 解：以表示針的中點與最近的一條平行線的距離，又以表示針與此直線的交角，如圖易知 ，有這兩式可以確定平面上的一個矩形，這是為了針與平行線相交，其充要條件為，有這個不等式表示的區(qū)域為圖中的陰影部分，由等可能性知 2a 如果，而關(guān)于的值，則可以用實驗的方法，用頻率去近似它，既: 如果 投針N 次，其中平行線相交的次數(shù)為n次，則頻率為 ，于是， 注釋：這也是歷史上有名的問題之一，用試驗的方法先用數(shù)學(xué)積分的手段結(jié)合

14、幾何概型求出概率，再用頻率近似概率來建立等式，進而求出. 在歷史上有好多的數(shù)學(xué)家用不同的方法來計算 ，如中國的祖沖之父子倆，還有撒豆試驗，也是可以用來求 的.會面問題：甲乙兩人約定在6時到7時在某地會面，并約定先到者等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率？解：設(shè)“兩人能會面”為事件，以 x和y分別表示甲、乙兩人到達約會地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件為： 在平面上建立如圖所示的坐標(biāo)系，則的所有可能的結(jié)果是邊長為60的正方形,而可能會面的時間由圖中陰影部分所表示，由幾何概型知，答：兩人能會面的概率 . 課本上一道例題的變式訓(xùn)練：如圖，在等腰直角三角形中，在斜邊上任取一點，求的概率

15、？【分析】點隨機的落在線段上，故線段為區(qū)域，當(dāng)點位于如圖的內(nèi)時，故線段即為區(qū)域解: 在上截取 ，于是 答：的概率為【變式訓(xùn)練】如圖，在等腰直角三角形中，在內(nèi)部任意作一條射線，與線段交于點，求的概率？ 錯解：在上截取 ，在內(nèi)部任意作一條射線，滿足條件的看作是在線段上任取一點，則有 【分析】這種解法看似很有道理，但仔細一看值得深思，我們再看看題目的條件已經(jīng)發(fā)生了改變，雖然在線段上取點是等可能的，但過和任取得一點所作的射線是均勻的，所以不能把等可能的取點看作是等可能的取射線，在確定基本事件時一定要注意觀察角度， 注意基本事件的等可能性.正解：在內(nèi)的射線是均勻分布的，所以射線作在任何位置都是等可能的，在上截取 ，則 ，故滿足條件的概率為評價：這就要求同學(xué)們根據(jù)不同的問題選取不同的角度，確定區(qū)域和，求出其測度，再利用幾何概型來求概率.例3. 利用隨機模擬法計算曲線所圍成的圖形的面積.【分析】在直角坐標(biāo)系中作出長方形（ 所圍成的部分，用隨機模擬法結(jié)合幾何概