高中數(shù)學2-3等差數(shù)列的前n項和(3課時)課件新人教A版必修

1、2.3 2.3 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和項和第一課時第一課時 問題提出問題提出t57301p21.1.等差數(shù)列的內(nèi)涵特征是什么？等差數(shù)列的內(nèi)涵特征是什么？ 如何用如何用遞推公式描述？遞推公式描述？從第從第2 2項起，每一項與它的前一項的差等項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)于同一個常數(shù). .1(2)nnaad n-=或an1an12 an(n2).2.2.等差數(shù)列的通項公式是什么？等差數(shù)列的通項公式是什么？ana1( (n1) )dam( (nm) )dpnq. .mnpqaaaamnpqaaaa3.3.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中 的條件是什么？特別地，的條件是什么

2、？特別地，a a1 1a an n可以等可以等于什么？于什么？mnpqaaaamn=pq mnpqaaaaa1ana2an1a3an2.4.4.數(shù)列的通項公式能反映數(shù)列的基本特數(shù)列的通項公式能反映數(shù)列的基本特性，在實際問題中常常需要求數(shù)列的前性，在實際問題中常常需要求數(shù)列的前n n項和項和. .對于等差數(shù)列，為了方便運算，我對于等差數(shù)列，為了方便運算，我們希望有一個求和公式，這是一個有待們希望有一個求和公式，這是一個有待研究的課題研究的課題. .知識探究（一）：知識探究（一）：求和公式的推導求和公式的推導 思考思考1 1：有一堆鋼管如圖擺放，你有什么有一堆鋼管如圖擺放，你有什么辦法快速數(shù)出這堆

3、鋼管的總數(shù)？辦法快速數(shù)出這堆鋼管的總數(shù)？思考思考2 2：200200多年前，高斯的算術老師提多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題：出了下面的問題： 1 12 23 3100100？據(jù)說高斯很快就算出了正確答案據(jù)說高斯很快就算出了正確答案, ,你知道你知道他是如何計算的嗎他是如何計算的嗎? ?(1(1100)100)(2(299)99)(50(5051)51)10110150505050.5050.思考思考3 3：高斯的算法實際上解決了求等差高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列數(shù)列1 1，2 2，3 3，n n，前前100100項的和的項的和的問題，利用這個算法，問題，利用這個算法，1 12 23

4、 3n n等于什么？等于什么？(1)2n n 思考思考4 4：上述算法叫做上述算法叫做倒序相加法倒序相加法. .一般一般地，地，設等差數(shù)列設等差數(shù)列aan n 的前的前n n項和為項和為S Sn n，即，即 ，利用倒序，利用倒序相加法如何求相加法如何求S Sn n？所得結果如何？所得結果如何？12nnSaaa=+L1()2nnn aaS思考思考5 5： 就是等差數(shù)列就是等差數(shù)列的前的前n n項和公式，用文字語言如何表述這項和公式，用文字語言如何表述這個公式？個公式？等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和等于首項與末項的和的項和等于首項與末項的和的一半與項數(shù)的積一半與項數(shù)的積. .1()2nnn aaS

5、+=知識探究（二）：知識探究（二）：求和公式的變通求和公式的變通 思考思考1 1：若若n n為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則 據(jù)此，等差數(shù)列前據(jù)此，等差數(shù)列前n n項和公式可變形為什項和公式可變形為什么？么？1122nnaaa+=12nnSna+=思考思考2 2：將將a an na a1 1(n(n1)d1)d代入等差數(shù)代入等差數(shù)列前列前n n項和公式，則求和公式變形為什么？項和公式，則求和公式變形為什么？思考思考3 3：將將a a1 1a an n(n(n1)d1)d代入等差數(shù)代入等差數(shù)列前列前n n項和公式，則求和公式變形為什么？項和公式，則求和公式變形為什么？2) 1(1dnnnaSn(1)2nnn

6、 ndSna-=-思考思考4 4：如何用如何用a a1 1，a an n，d d三個元素表示三個元素表示S Sn n？11(1)()nnnaaSaad-=+理論遷移理論遷移 例例1 1 在等差數(shù)列在等差數(shù)列 an 中，中，已知已知 ，求求S7.4053 aa1777()74014022aaS+= 例例2 20002 2000年年1111月月1414日教育部下發(fā)了日教育部下發(fā)了關于在關于在中小學實施中小學實施“校校通校校通”工程的通知工程的通知. .某市據(jù)此提某市據(jù)此提出了實施出了實施“校校通校校通”工程的總目標：從工程的總目標：從20012001年起年起用用1010年的時間，在全市中小學建成不

7、同標準的校年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng)園網(wǎng). .據(jù)測算，據(jù)測算，20012001年該市用于年該市用于“校校通校校通”工程的工程的經(jīng)費為經(jīng)費為500500萬元，為了保證工程的順利實施，計劃萬元，為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金比上一年增加每年投入的資金比上一年增加5050萬元。那么從萬元。那么從20012001年起的未來年起的未來1010年內(nèi)，該市在年內(nèi)，該市在“校校通校校通”工程工程的總投入是多少？市出租車的計價標準為的總投入是多少？市出租車的計價標準為1.21.2元元/km/km，起步價為，起步價為1010元，即最初的元，即最初的4km4km（不含（不含4 4千米）千

8、米）計費計費1010元元. .如果某人乘坐該市的出租車去往如果某人乘坐該市的出租車去往14km14km處處的目的地，且一路暢通，等候時間為的目的地，且一路暢通，等候時間為0 0，需要支付，需要支付多少車費？多少車費？S1072507250（萬元萬元）. . 例例3 3 已知一個等差數(shù)列已知一個等差數(shù)列aan n 的前的前1010項項的和是的和是310310，前，前2020項的和是項的和是12201220，求這，求這個等差數(shù)列的前個等差數(shù)列的前n n項和項和. .23nSnn=+小結作業(yè)小結作業(yè)1.1.凡是與首末兩端等距離的兩項之和相凡是與首末兩端等距離的兩項之和相等的數(shù)列，都可以用倒序相加法求

9、前等的數(shù)列，都可以用倒序相加法求前n n項項和和. . 是求等差數(shù)列前是求等差數(shù)列前n n項和的兩個基本公式項和的兩個基本公式, ,應用時要根據(jù)已知條件靈活選取應用時要根據(jù)已知條件靈活選取. .11()(1)22nnn aan ndSna+-=+3.3.求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n n項和，一般需要三個條項和，一般需要三個條件，解題時常需要將已知條件進行轉(zhuǎn)化，件，解題時常需要將已知條件進行轉(zhuǎn)化，有時可用整體思想求有時可用整體思想求a a1 1a an n. .作業(yè)：作業(yè)：P45P45練習：練習：1.1. P46P46習題習題2.3A2.3A組：組：2 2，3, 4.3, 4.第二課時第二課時 2

10、.3 2.3 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和項和問題提出問題提出1.1.等差數(shù)列的遞推公式是什么？等差數(shù)列的遞推公式是什么？ a an n1 1a an n1 12a2an n（n2n2）1(2)nnaad n-=2.2.等差數(shù)列的通項公式是什么？在結構等差數(shù)列的通項公式是什么？在結構上它有什么特征？上它有什么特征？ 3.3.等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和的兩個基本公式是什項和的兩個基本公式是什么？么？在結構上是關于在結構上是關于n n的一次函數(shù)的一次函數(shù). .ana1( (n1) )dam( (nm) )dpnq. .，1()2nnn aaS+=2) 1(1dnnnaSn4.4.深入研究

11、等差數(shù)列的概念與前深入研究等差數(shù)列的概念與前n n項和公項和公式及通項公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等式及通項公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對此作些差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對此作些簡單探究簡單探究. .探究（一）：探究（一）：等差數(shù)列與前等差數(shù)列與前n n項和的關系項和的關系 思考思考1 1：若若數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n和和 那么數(shù)列那么數(shù)列aan n 是等差數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？，1()2nnn aaS+= an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 1()2nnn aaS+=思考思考2 2：將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n n項和公式項和公式看作是一個關于看作是一個關于n n的函數(shù)，

12、這個函數(shù)有什的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？么特點？2) 1(1dnnnaSn當當d0d0時時，S Sn n是常數(shù)項為零的二次函數(shù)是常數(shù)項為零的二次函數(shù). .思考思考3 3：一般地，若一般地，若數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n和和S Sn npnpn2 2qnqn，那么數(shù)列，那么數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若嗎？若S Sn npnpn2 2qnqnr r呢？呢？aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 Snpn2qn. .思考思考4 4：若若 an 為等差數(shù)列，那么為等差數(shù)列，那么是什么數(shù)列？是什么數(shù)列？nSn an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 為等差數(shù)列為等差數(shù)列nSn思考思考5 5：等差數(shù)列的

13、求和公式可化為等差數(shù)列的求和公式可化為一般地，若一般地，若數(shù)列數(shù)列 an 的前的前n和和那么那么數(shù)列數(shù)列 an 是等差數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？ ，(1)2nnn ndSna-=-，(1)nnSnapn n=+-）(1nnSnapn n=+- an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 探究（二）：等差數(shù)列前探究（二）：等差數(shù)列前n n項和的性質(zhì)項和的性質(zhì)思考思考1 1：在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中，S Sn n，S S2n2n，S S3n3n三者之間有什么關系？三者之間有什么關系？S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n) ) S S1 1S S2 2ndnd， 112nnaSSa+=思考思考2

14、 2：在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，設中，設S S1 1a a2 2a a4 4a a2n2n，S S2 2a a1 1a a3 3a a2n2n1 1，則則S S1 1S S2 2與與 分別等于什么？分別等于什么？12SS思考思考3 3：設設等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 、bbn n 的前的前n n項項和分別為和分別為S Sn n、T Tn n，則，則 等于什么？等于什么？思考思考4 4：在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，若中，若a a1 10 0， d d0 0，則，則S Sn n是否存在最值？如何確定其是否存在最值？如何確定其最值？最值？ 2121nnnnaSbT 當ak0，ak1

15、0時，Sk為最大.nnab理論遷移理論遷移 例例1 1 設等差數(shù)列設等差數(shù)列的前的前n n項和為項和為S Sn n，求當，求當n n為何值時為何值時S Sn n取取最最大值大值. .n n7 7或或8 8 例例2 2 設設等差數(shù)列等差數(shù)列 an 的公差為的公差為2，且，且 ，求，求 的值的值. .1479750aaaa36999aaaa-82-82245, 4, 3,77小結作業(yè)小結作業(yè)1.1.以等差數(shù)列前以等差數(shù)列前n n項和為背景可引發(fā)出許項和為背景可引發(fā)出許多性質(zhì)，作為研究性學習，其結論不要求多性質(zhì)，作為研究性學習，其結論不要求記憶，但要了解探究這些性質(zhì)的數(shù)學思想、記憶，但要了解探究這些

16、性質(zhì)的數(shù)學思想、方法和技巧，并在解題中靈活運用方法和技巧，并在解題中靈活運用. .2.2.等差數(shù)列的定義、通項公式、求和公等差數(shù)列的定義、通項公式、求和公式是等差數(shù)列的基本知識點，在運用中式是等差數(shù)列的基本知識點，在運用中具有很大的靈活性和較強具有很大的靈活性和較強的的技巧性，適技巧性，適當了解等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)，會給當了解等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)，會給解題帶來一定的幫助解題帶來一定的幫助. .3.3.在等差數(shù)列的基本運算中，要注意整在等差數(shù)列的基本運算中，要注意整體代入，回避非必求量，簡化運算過程，體代入，回避非必求量，簡化運算過程，提高解題效率提高解題效率. .對于與前對于與前n n項和

17、有關的問項和有關的問題，不一定要用求和公式，有時作非公題，不一定要用求和公式，有時作非公式化處理更簡單式化處理更簡單. .作業(yè)：作業(yè)：P45P45練習：練習：2 2，3.3. P46P46習題習題2.3A2.3A組：組：5 5，6.6.2.3 2.3 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和項和第三課時第三課時 知識整理知識整理t57301p21.1.等差數(shù)列的定義特征等差數(shù)列的定義特征從第從第2 2項起，每一項與它的前一項的差等項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)于同一個常數(shù). .1(2)nnaad n-=或an1an12 an(n2).2.2.等差數(shù)列的遞推公式等差數(shù)列的遞推公式3.3.等

18、差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式ana1( (n1) )dam( (nm) )dpnq. .4.4.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項和公式項和公式11()(1)22nnn aan ndSna+-=+4.4.等差數(shù)列的主要性質(zhì)等差數(shù)列的主要性質(zhì)（1 1）若數(shù)列）若數(shù)列aan n 、bbn n 都是等差數(shù)列，都是等差數(shù)列，則數(shù)列則數(shù)列papan n ，aan na an n1 1 ，aan nb bn n ，aan nb bn n 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列. .（2 2）m mn=pn=pq q mnpqaaaa（3 3） an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 Snpn2qn. . 為等差數(shù)列為等差數(shù)列nSn()2nnaSn p=+（4 4）S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n).). （5 5） 設設等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 、bbn n 的前的前n n項項和分別為和分別為S Sn n、T Tn n，則，則 . .2121nnnnaSbT (6 (6）當當a ak k00，a ak k1 10 0時，時，S