2017-2018學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題04空間幾何體、點(diǎn)線面的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案

1、第四講 空間幾何體、點(diǎn)線面的位置關(guān)系一、基礎(chǔ)知識整合1. 簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征(1) 棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多邊形；(2) 棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形；(3) 棱臺可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形2. 旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線3. 三視圖(1) 幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線(2) 三視圖的畫法1基本要求：長對正，高平齊，寬相等

2、 2在畫三視圖時，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線4. 直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中 x 軸、y 軸、z 軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為 45 (或 135 ) , z軸與 x軸、y軸所在平面垂 直.原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于 x 軸和 z 軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y 軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?5. 多面體的表(側(cè))面積多面體的各個面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和6. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式_圓柱圓錐圓臺側(cè)面 展

3、開免圖丫1，咅鋼!#j3側(cè)面 積公 式S 圓柱側(cè)=2nrlS 圓錐側(cè)=nrlS 圓臺側(cè)=n(r1 +r2)l7.柱、錐、臺和球的表面積和體積表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S 表面積=S 側(cè)+ 2S 底V= Sh錐體(棱錐和圓錐)S 表面積=S 側(cè)+ S 底1V=護(hù)2臺體(棱臺和圓臺)S 表面積=S 側(cè)+S 上 +S 下1 ,_V= 3（s 上+ S 下+ 寸 S 上 S 下）h球S=4nR24V=3nR38.平面的基本性質(zhì)(1)公理 1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(2) 公理 2:過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面(3) 公理 3:如果兩個不重合的平面有一個

4、公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線9.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系10. 平行公理(公理 4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)11. 異面直線所成的角(1)定義：設(shè) a, b 是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn) 0 作直線 a/ a, b/ b,把 a與 b 所成的銳角(或直角)叫做異面直線 a 與 b 所成的角(或夾角).范圍：0, n.12.直線與平面平行(1) 直線與平面平行的定義；直線 I 與平面a沒有公共點(diǎn)，則稱直線 I 與平面a平行.(2) 判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示付號表示

5、判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的 一條直線平行，則該直線平行于 此平面fla?a,b?a ,a/b? a/ a3性質(zhì)定理一條直線和一個平面平行，則過 這條直線的任一平面與此平面 的交線與該直線平行a/ a, a?B , a AB=b? alb13.平面與平面平行(1) 平面與平面平行的定義；沒有公共點(diǎn)的兩個平面叫做平行平面(2) 判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示付號表示判定 定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個 平面平行，則這兩個平面平行/注/X /a?a, b?a, aAb=P, al B,bl B?a/B性質(zhì) 定理兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直 線平行于另一個平面/a / B ,a

6、?a? a/B如果兩個平行平面同時和第三個平面 相交，那么它們的交線平行a / B , a AY=a,B AY=b? alb14.與垂直相關(guān)的平行的判定(1)a 丄a,b 丄a? all b. (2)a 丄a ,a 丄B?a/B.15.直線與平面垂直(1) 直線和平面垂直的定義如果一條直線 I 與平面a內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線I 與平面a互相垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示付號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩 條相交直線都垂直，則該直 線與此平面垂直7I 丄a、IbaAb=O ? I 丄aa?ab?a性質(zhì)定理兩直線垂直于冋一個平面， 那么這兩條直線平行7a 丄a、r? a/

7、bb 丄a ”16.平面與平面垂直(1) 平面與平面垂直的定義兩 個 平 面 相 交 ， 如 果 它 們 所 成 的 二 面 角 是 直 二 面 角 ， 就 說 這 兩 個 平 面 互 相 垂 直(2) 判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示付號表示4三、熱點(diǎn)題型展示 類型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例 1】（1）給出下列命題：1在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;2直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;3棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等 其中正確命題的個數(shù)是（）A.0B.1 C.2D.3以下命題:1以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得

8、的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；2圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；3一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺其中正確命題的個數(shù)為（）A.0B.1 C.2D.3答案（1）A（2）B解析（1）不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線；不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；錯誤， 棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)， 但是側(cè)棱長不一定相等（2）由圓臺的定義可知錯誤， 正確.對于命題，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，不正確名師點(diǎn)睛：（1）關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣

9、各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例即可圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的既然棱（圓）臺是由棱（圓）錐定義的，所以在解決棱（圓）臺問題時，要注意“還臺為錐” 的解題策略.類型二 空間幾何體的三視圖（多維探究）命題角度一 由空間幾何體的直觀圖判斷三視圖【例 1】一幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）5答案 B解析該幾何體是組合體，上面的幾何體是一個五面體，下面是一個長方體，且五面體的一個面即為長方體的一個面，五面體最上面的棱的兩端點(diǎn)在底面的射影距左右兩邊距離相等，因此選項B 適合

10、命題角度二由三視圖判定幾何體【例 2】（1）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是-個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（）A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A.1 B. 2 C. 3D.2答案（1）B（2）C解析（1）由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為 三棱柱，故選 B.由題中三視圖知，此四棱錐的直觀圖如圖所示，其中PCL 平面 ABCDPC= 1,底面四邊形 ABCD 為正方形且邊長為 1,最長棱長 PA= ,12+ 12+ 12 = 3.名師點(diǎn)睛：（1）由實(shí)物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照

11、“正側(cè)一樣高，正俯一樣長, 俯側(cè)一樣寬”的特點(diǎn)確認(rèn)（2）根據(jù)三視圖還原幾何體1對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉.2明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖3根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)ACD止視圖側(cè)視圏D6提醒 對于簡單組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成， 弄清它們的組成方式， 特別應(yīng)注意它們的交線的位置， 區(qū)分好實(shí)線和虛 線的不同【跟蹤訓(xùn)練】(1)將正方體(如圖 1 所示)截去兩個三棱錐，得到圖 2 所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖 為()如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫

12、出的是一個錐體的側(cè)視圖和俯視圖，則該 錐體的正視圖可能是()/、/%/答案(1)B(2)A解析 還原正方體后，將 D1, D, A 三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A 的射影為 C1B,/ L且為實(shí)線，B1C 被遮擋應(yīng)為虛線.故選 B.(2)由俯視圖和側(cè)視圖可知原幾何體是四棱錐，底面是長方形，內(nèi)側(cè)的側(cè)面垂直于底面，所以正視圖為 A.類型三 空間幾何體的直觀圖【例 1】 已知等腰梯形 ABCD 上底 CD= 1,腰 AD= CB=羽，下底 AB= 3，以下底所在直線 為 x 軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A B C D的面積為 _ .答案 2解析 如圖所示，作出等腰梯形 ABCD 勺直觀圖：團(tuán)

13、 1國 2BCD一L_J_L _丄二一 L7因為 OP（2）2- 1= 1，所以 O E =1，E F=#，則直觀圖 ABCD的面積S=1 + 3 *走止242.名師點(diǎn)睛：（1）畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”（兩坐標(biāo)軸成45或 135 ）和“二測”（平行于 y 軸的線段長度減半，平行于 x 軸和 z 軸的線段長度不變）來掌握對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖 求原圖形中的相關(guān)量（2）按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：【跟蹤訓(xùn)練】有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所

14、示）,/ ABC= 45, AB= AD= 1 , DCL BC,則這塊菜地的面積為 _答案2+#解析 如圖 1，在直觀圖中，過點(diǎn) A 作 AE!BC,垂足為 E.在 Rt ABE 中，AB= 1,ZABE= 45,. BE=在梯形 A BC這塊菜地的面積【易錯防范】1. 臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)2. 空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同S 直觀圖=又四邊形 AECD 為矩形,AD= EC= 1. BC= BE+ EC=+ 1.由此還2 所示，是直角梯形 A B C DD 中，A D= 1, B CS= (A D+ B C ) A2= 2+#83

15、.對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中, 易忽視實(shí)虛線的畫法類型四 空間幾何體的表面積與體積【例 1】（1）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）9側(cè)視圖榊1圖A.8 + 2 2B.11 + 2 2C.14 + 2 2D.15(2)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及28n該幾何體的體積是-3-，則它的表面積是()A.17C.20答案解析71B.18nD.28nAn(1)B(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示.直角梯形斜腰長為.12+ 12= 2，所以底面周長為4 + 2,側(cè)面積為12X(4 + 2

16、) = 8+ 2 2,兩底面的面積和為2X X1X(1 + 2) = 3.2 2 所以該幾何體的表面積為8 + 2 2 + 3= 11 + 2 2.1 *由三視圖知該幾何體為球去掉了球所剩的幾何體(如圖).87428n設(shè)球的半徑為 RJU：X；n R3= , R= 2.8337/ 3故幾何體的表面積 S=。X4 nR2+,nR2= 17n.84rXV1*【例 2】一個由半球和四棱錐組成的幾何體，側(cè)視圖其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為(俯視圖1 2 1 2B.3+E n。乜+舌n1 2代 3+ 3n答案 C解析 由三視圖知該四棱錐是底面邊長為 為孑,D.1+n1，高為 1 的正四棱錐，結(jié)合三

17、視圖可得半球半徑10114從而該幾何體的體積為 3X12X1+ 2X3nX名師點(diǎn)睛：1.空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量(2) 多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3) 旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用2.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1) 若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求 解(2) 若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方 法進(jìn)行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根

18、據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件 求解(cm3).類型五 異面直線所成的角HiA【跟蹤訓(xùn)練】面體的三視圖，A.18 + 36 5C.90 答案 解析1.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的B由幾何體的三視圖可知,由題意可知該幾何體底面邊長為幾何體的表面積該幾何體是底面為正方形的斜平行六面體.3,高為 6,所以側(cè)棱長為，32+ 62= 3 寸 5.S=32X2+(3X6)X2+(3X32.某幾何體的三視圖如圖所示5)X2=54+18 5.(單位：cm),則該幾何體的體積是_cm3.答案323解析：由三視圖可知該幾何體是由棱長為2 cm 的正方體與底面邊長為 2 cm 正方形、高為 2cm 的正四

19、棱錐組成.又正方體的體積V1= 23= 8(cm3)，正四棱錐的體積V2V2= 3 3X2222X2 2= 3 3所以該幾何體的體積V= V1 + V2=3232(cm3).3正視圖側(cè)覘圖11【例 1】如圖所示，在正三棱柱 ABO A1B1C1 中，D 是 AC 的中點(diǎn),AA1：AB=寸 2 ： 1，則異面直線 AB1 與 BD 所成的角為 _.答案 60解析 (1)取 A1C1 的中點(diǎn) E,連接 B1E ED, AE在 Rt AB1E 中，/ AB1E 為異面直線 AB1 與 BD 所成的角.設(shè) AB= 1，貝 U A1A= 2, AB1= 3, B1E=-23 3，故/ AB1E= 60.

20、名師點(diǎn)睛：(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移(2)求異面直線所成角的三個步驟1作2證3求通過作平行線，得到相交直線的夾角證明相交直線夾角為異面直線所成的角 解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角【跟蹤訓(xùn)練】 如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱AA1= 2AB= 2，則異面直線 A1B 與 AD1 所成角的余弦值為1A.52B.53C.C.5答案解析4D.5D連接 BC1,易證 BC1/ AD1,( )則/

21、 A1BC1 即為異面直線 A1B 與 AD1 所成的角.連接 A1C1,由 AB= 1, AA1= 2,貝 U A1C1= . 2 , A1B= BC1=5+ 5 2 在厶A1BC1 中，由余弦定理得 cos / A1BC=.5,42X；5X 55【易錯防范】1. 異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”， 實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交2. 直線與平面的位置關(guān)系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”.3. 兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成 的角，也可能等于其補(bǔ)角 類型六 直線與平面平行

22、的判定與性質(zhì)命題角度一直線與平面平行的判定【例 1】如圖，四棱錐 P ABCD 中, PA!底面AD= AC= 3, PA= BC= 4, M 為線段 AD 上一點(diǎn)， 中占I 八、(1)證明：MN/平面 PAB求四面體 N- BCM 的體積.12(1)證明由已知得 AM= |AD= 2.1如圖，取 BP 的中點(diǎn) T,連接 AT, TN,由 N 為 PC 中點(diǎn)知 TN/ BC, TN= -BC= 2.又 AD/ BC 故 TN 綉 AM 所以四邊形 AMNT 為平行四邊形，于是 MIN/ AT. 因為 AT?平面 PAB MN?平面 PAB 所以 MIN/平面 PAB.1解 因為 PAL 平面

23、ABCD N 為 PC 的中點(diǎn)，所以 N 到平面 ABCD 勺距離為-PA.如圖，取 BC 的中點(diǎn) E ,連接 AE.由 AB= AC= 3 得 AE! BC AE= AB2- BE2= 5.1由 AM/ BC 得 M 到 BC 的距離為.5 ,故 SABCM=-X4X5 = 2 5.所以四面體 N- BCM 的體積VN- BCM= 1XSABCIX歲=寫寫.命題角度二 直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例 2】 如圖，四棱錐 P- ABCD 勺底面是邊長為 8 的正方形，四條側(cè)棱 長均為2 17. 點(diǎn) G, E , F , H 分別是棱 PB AB, CD PC 上共面的四 點(diǎn)，平面 GEFL平

24、面ABCD BC/平面 GEFH.(1)證明：GH/ EF;若 EB= 2,求四邊形 GEFH 勺面積.(1)證明 因為 BC/平面 GEFH BC?平面 PBC 且平面 PB6 平面 GEFH= GH所以 GH/ BC.同理可證 EF/ BC 因此 GH/ EF.解 如圖，連接 AC, BD 交于點(diǎn) 0, BD 交 EF 于點(diǎn) K,連接 OP GK因為 PA= PC, O 是 AC 的中點(diǎn)，所以 POL AC 同理可得 POLBD.又 BDAAC= O,且 AC, BD 都在底面 ABCD 內(nèi) ,所以 POL 底面 ABCD 又因為平面 GEFL平面ABCD且 PO?平面 GEFH 所以 P

25、O/平面 GEFH.因為平面 PBDT平面 GEFH= GK PO?平面 PBD.所以 PO/ GK 且 GKL 底面 ABCD 又 EF?平面 ABCD從而 GKL EF.所以 GK 是梯形 GEFH 勺高.由 AB= 8 , EB= 2 得 EB：AB= KB：DB= 1 : 4 ,1 1從而 KB= 4DB= OB 即 K 為 OB 的中點(diǎn).131 1再由 PO/ GK 得 GK= qPQ 即 G 是 PB 的中點(diǎn)，且 GHqBO 4.由已知可得 0B= 4 2,P0= PB2- 0B2= 68- 32= 6,所以 GK= 3. 故四邊形 GEFH 的面積 S=GH2EF GK=3= 1

26、8.名師點(diǎn)睛：(1)判斷或證明線面平行的常用方法有:利用線面平行的判定定理(a ?a ,b?a ,a/b? a/ a);3利用面面平行的性質(zhì)定理(a/B, a?a? a/3);4利用面面平行的性質(zhì)(a/3, a?3, a/a? a/3)(2)利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線 位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線(3).線線、線面、面面平行間的轉(zhuǎn)化.常利用三角形的中性質(zhì)定理“丄二一站定定理 二二._判金理_7L一劌定定理其中線面平行是核心， 線線平行是基礎(chǔ)， 要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化【易錯防范】1.在推證線面平行時，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)

27、錯誤2. 面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件3. 如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認(rèn)為這兩個平面平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交4.運(yùn)用性質(zhì)定理， 要遵從由“高維”到“低維”，體條件而定，決不可過于模式化”.類型六線面垂直的判定與性質(zhì)但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具【例 1】 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，PU 底面 ABCD N-PAC 與三棱錐 D PAC 的體積比為(A.1 : 2C.1 : 6B.1： 8D.1： 3解析 設(shè)點(diǎn) P, N 在平面 ABCD 內(nèi)的投影分別為點(diǎn) P, N,則面 ABCD NN 丄平面 ABCD 所以 PP / NN，則在 BPP

28、中,1V 三棱錐 N- PAC= V 三棱錐 P ABC V 三棱錐 N- ABC= _SAABC- PP 111SAABC- NN=TSABC- (PPNN )=ABC-33320?PP =ABC- PP , V 三棱錐 D PAC= V 三棱錐 P ACD=1 1S ACD PP，又：四邊形393V 三棱錐 N PAC 1ABCD 是平行四邊形， SAABC= SAACD 二V三棱錐DPACT十故選 D.答案 D6.下列四個正方體圖形中， A, B 為正方體的兩個頂點(diǎn)，M N P 分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出 AB/平面 MNP 的圖形的序號是（）A M2iVaL21A.B. C.D.解析

29、中，易知 NP/ AA , MIN/ A B,平面 MN/平面 AA B,可得出 AB/平面 MNP 如圖）.中，NP/ AB 能得出 AB/平面 MNP 在中不能判定 AB/平面 MNP. 答案 B7.已知 m, n 表示兩條不同直線，a表示平面，下列說法正確的是（）C.若mla,mln,貝 Vn/aD.若 ma,mln,貝 V nl a解析 若m/ a, n/a,貝Um n 平行、相交或異面，A 錯；若ml a, n?a,貝U mln,因 為直線與平面垂直時， 它垂直于平面內(nèi)任一直線，B 正確；若ml a , mln,則 n/a或 n?a,C 錯；若 m/a,mln,貝Un 與 答案 B8

30、.如圖，在正四面體 PABC 中 下面四個結(jié)論不成立的是（C.平面 PDFL 平面 PAE D.a可能相交，可能平行，也可能 n?a,D, E, F 分別是 AB BC, CA 的中點(diǎn)，）丄平面 PAE平面 PDEL 平面 ABC解析因為 BC/ DF,DF?平面 PDF, BC?平面 PDF 所以 BC/平面 PDF故選項 A 正確.在正四面體中，AE! BC PEI BC AEA PE= E , BCL 平面 PAE DF/ BC 貝 U DF 丄平面 PAE 又 DF?平面 PDF,從而平面 PDFL 平面 PAE.因 此選項 B , C 均正確.答案 D9.如圖， 以等腰直角三角形 A

31、BC 的斜邊 BC 上的高 AD 為折痕， 把厶 ABD 和厶 ACD 折成互相垂 直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：22BDL ACABAC 是等邊三角形；三棱錐 D- ABC 是正三棱錐；平面 ADCL 平面 ABC.其中正確的是（）A.B. C.D.解析 由題意知，BDL 平面 ADC 且 AC?平面 ADC 故 BDLAC正確；AD 為等腰直角三 角形斜邊 BC上的高，平面 ABDL 平面 ACD 所以 AB= AC= BC, BAC 是等邊三角形，正確; 易知 DA= DB= DC,又由知正確；由知錯 .答案 B10.一水平放置的平面四邊形OABC 用斜二測畫法畫出它的直觀圖O

32、 A B C如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為1 的正方形，則原平面四邊形 OABC 面積為_.所以原圖形的面積為 2 2.答案 2 211.如圖，在正方體 ABCD- A1B1C1D1 中，M N 分別為棱 C1D1,C1C 的中點(diǎn)，有以下四個結(jié)論：直線 AM 與 CC1 是相交直線；直線 AM 與 BN 是平行直線；直線 BN 與 MB1 是異面直線；直線 MN 與 AC 所成的角為 60.其中正確的結(jié)論為 _ （填序號）.解析 A, M C1 三點(diǎn)共面，且在平面 AD1C1BK但 C?平面 AD1C1B C17AM,因此直線 AM 與 CC1 是異面直線,同理 AM 與 BN 也是異面直

33、線，錯； M B, B1 三點(diǎn)共面，且在平面 MBB1 中, 但 N?平面MBB1 , B?MB1 因此直線 BN 與 MB1 是異面直線，正確；連接 D1Q 因為 D1C/ MN 所以 直線MN與 AC 所成的角就是 D1C 與 AC 所成的角，且角為 60.答案12.已知底面邊長為 1,側(cè)棱長為.2 的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個球面上，則該球的體積為_.解析 依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R,則 2R=.12+ 12+( 2) 2= 2 ,4n4n解得 R= 1,所以 V=-丁 R3=3334答案 3n313._ 某幾何體的三視圖如圖所示，則解析 因為直觀圖的面

34、積是原圖形面積的1,23該幾何體的體積為 _24刪視圖解析由三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1,和底面半徑為 1 ,高為 1 的半圓錐拼成的組合體 體積V=n13n X12X1= n.6答案 13n614. 如圖，已知 PU 平面 ABC BdAC,則圖中直角三角形的個數(shù)為解析 / PU 平面 ABC AB, AC, BC?平面 ABC PAL AB PAL AC PAL BC 則厶 PAB PAC 為直角三角形由 BCL AC 且 ASPA= A, BCL 平面 PAC 從而 BCLPC 因此 ABC PBC 也是 直角三角形答案 415. 如圖所示，在正四棱柱ABCD- A1B1C1D

35、1 中，E , F , G H 分別是棱CC1, C1D1, D1D ,DC 的中點(diǎn)，N 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) M 在四邊形 EFGH 及其內(nèi)部運(yùn)動，貝UM 只需滿足條件_時，就有 fMN/平面 B1BDD1.（注：請?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）解析 連接 HN FH FN,貝yFH/ DD1 HN/ BD平面 FHIN/平面 B1BDD1只需 M FH,貝UMN?平面 FHN - MIN/平面 答案 點(diǎn)M 在線段 FH 上 （或點(diǎn) M 與點(diǎn) H 重合）16. 如圖所示，在四棱錐 P- ABCD 中 , PAL 底面 ABCD 且底面各邊都相等，M 是 PC 上的一動點(diǎn)

36、，當(dāng)點(diǎn) M 滿足_時，平面 MBL平面 PCD（只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可）.解析 由定理可知，BDLPC.A當(dāng) DMLPC（或 BMLPC）時,有 PCL平面 MBD. 又PC?平面 PCD 二平面 MBL平面 PCD.答案 DMLPC（或 BMLPC 等）B1BDD1.17.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.（1）求此幾何體的表面積；（2）如果點(diǎn) P, Q 在正視圖中所示位置， P 為所在線段中點(diǎn)， Q 為頂點(diǎn)， 求在 幾何體表面上，從 P 點(diǎn)到 Q 點(diǎn)的最短路徑的長.解（1）由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其表則覘圖25面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一

37、個底面積之和1S 圓錐側(cè)=2(2 2na) ( 2a) =2na2,S 圓柱側(cè)=(2na) (2a) = 4na2,S 圓柱底=na2,所以 S 表=、.$2 na2 + 4na2+na2 = (#2+ 5)na2.沿 P 點(diǎn)與 Q 點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖.則 PQ= AP2+AQ2= a2+( na)2=a 1+ n2,所以從 P 點(diǎn)到 Q 點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長為a .1 +n2.18.如圖，在四棱錐 O ABCD 中，底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形，OAL 底面 ABCD OA= 2, M 為 OA 的中點(diǎn).(1) 求四棱錐 C ABCD 勺體積；(2) 求異面直線 OC

38、 與 MD 所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形 ABCD 的面積 S= 4,18所以四棱錐 O- ABCD 勺體積 V= 3X4X2=-.3如圖，連接 AC,設(shè)線段 AC 的中點(diǎn)為 E,連接 ME DE 又 M 為 OA 中點(diǎn)， ME/ OC則/EMD 或其補(bǔ)角)為異面直線 OC 與 MD 所成的角，由已知可得 DE= 2,EM= 3 , MD= 5,( 2)2 + ( 3)2 = ( 5)2 , DEM 為直角三角形，異面直線 OC 與 MD 所成角的正切值為19. 一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請將字母 F , G, H 標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不

39、需說明理由); 判斷平面BEG 與平面 ACH 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . tan / EM=DE=2 =掘EMT. 3 =亍解(1)點(diǎn) F , G, H 的位置如圖所示.平面 BEG/平面 ACH 證明如下：因為 ABCD- EFGH 為正方體,BCE ABFHD26又 EF/ AD 所以 EF 丄平面 BCG.解 在平面 ABC 內(nèi)，作 AOL BC 交 CB 的延長線于 O,如圖由平面 ABCL平面 BCD 平面 AB6 平面 BDC= BC, AO?平面 ABC 知 AOL 平面 BDC.又 G 為 AD 中點(diǎn)， 因此 G 到平面 BDC 的距離 h 是 AO 長度的一半 在厶 AOB 中， AO=AB- sin 60