第三章 相關(guān)分析

1、第三章第三章 相關(guān)分析相關(guān)分析0 一些現(xiàn)象一些現(xiàn)象 數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī) 身高與性別身高與性別 壽命與生長(zhǎng)環(huán)境壽命與生長(zhǎng)環(huán)境 課程成績(jī)與教學(xué)方法課程成績(jī)與教學(xué)方法 課程成績(jī)與教師課程成績(jī)與教師 化肥使用量與產(chǎn)出化肥使用量與產(chǎn)出 孩子學(xué)習(xí)主動(dòng)性與家長(zhǎng)的學(xué)習(xí)孩子學(xué)習(xí)主動(dòng)性與家長(zhǎng)的學(xué)習(xí) 1 基本概念基本概念n事物或現(xiàn)象之間的三種關(guān)系。事物或現(xiàn)象之間的三種關(guān)系。 n第一種是因果關(guān)系，這種關(guān)系說明的是事物之間相互依存，互為因果第一種是因果關(guān)系，這種關(guān)系說明的是事物之間相互依存，互為因果的關(guān)系，是事物之間存在的一種必然關(guān)系，即一種引起與被引起的關(guān)的關(guān)系，是事物之間存在的一種必然關(guān)系，即一種

2、引起與被引起的關(guān)系，因在前果在后的順序是不能顛倒的。系，因在前果在后的順序是不能顛倒的。n第二種是共變關(guān)系，例如夏天冷飲的銷量和中暑人數(shù)的關(guān)系。當(dāng)天氣第二種是共變關(guān)系，例如夏天冷飲的銷量和中暑人數(shù)的關(guān)系。當(dāng)天氣炎熱時(shí)，兩者都會(huì)增加，但通常我們不認(rèn)為它們之間有什么因果關(guān)系。炎熱時(shí)，兩者都會(huì)增加，但通常我們不認(rèn)為它們之間有什么因果關(guān)系。但事實(shí)上兩者皆起因于天氣炎熱的因素，它們之間并沒有直接的關(guān)系。但事實(shí)上兩者皆起因于天氣炎熱的因素，它們之間并沒有直接的關(guān)系。n第三種是相關(guān)關(guān)系，即兩類現(xiàn)象在發(fā)展變化的方向與大小方面存在一第三種是相關(guān)關(guān)系，即兩類現(xiàn)象在發(fā)展變化的方向與大小方面存在一定的聯(lián)系，但不是前面

3、兩種關(guān)系。定的聯(lián)系，但不是前面兩種關(guān)系。n另一說相關(guān)關(guān)系反映現(xiàn)象的共變關(guān)系。另一說相關(guān)關(guān)系反映現(xiàn)象的共變關(guān)系。 1.1 相關(guān)相關(guān)n兩類現(xiàn)象在發(fā)展變化的方向與大小方面存在一定的聯(lián)系，但不是因果兩類現(xiàn)象在發(fā)展變化的方向與大小方面存在一定的聯(lián)系，但不是因果關(guān)系。關(guān)系。1.2 相關(guān)的類型相關(guān)的類型 -正相關(guān)正相關(guān)（Positive correlation）是指兩列變量變動(dòng)方向相同，一列）是指兩列變量變動(dòng)方向相同，一列變量變量由大到小或由小到大變化時(shí)，另一列變量亦由大到小或由小到大由大到小或由小到大變化時(shí)，另一列變量亦由大到小或由小到大變化。如身高與體重，身高越長(zhǎng)，體重就越重變化。如身高與體重，身高越長(zhǎng)

4、，體重就越重 正相關(guān)雖然意思明確，其實(shí)是個(gè)模糊的概念，不可以量化，只是正相關(guān)雖然意思明確，其實(shí)是個(gè)模糊的概念，不可以量化，只是定性說法。如果有明確的關(guān)系，例如定性說法。如果有明確的關(guān)系，例如 y2x，這叫，這叫y與與x成成正比正比，如果，如果只是大體上，只是大體上，x、y的變化方向一樣，例如的變化方向一樣，例如x上升，上升，y也上升或者也上升或者x下降，下降，y也下降，那么，這叫也下降，那么，這叫正相關(guān)正相關(guān) 。n-負(fù)相關(guān)（負(fù)相關(guān)（Nagtive correlation）是指兩列變量變動(dòng)方向相反，一列是指兩列變量變動(dòng)方向相反，一列變量變量由大到小或由小到大變化時(shí)，另一列變量反而由小到大或由大到

5、由大到小或由小到大變化時(shí)，另一列變量反而由小到大或由大到小變化。小變化。 負(fù)相關(guān)是事物之間相互負(fù)相關(guān)是事物之間相互“制約制約”，一種事物發(fā)展導(dǎo)致另一種事物，一種事物發(fā)展導(dǎo)致另一種事物受到限制。受到限制。 特別是特別是“替代品替代品”。比如資源政策、環(huán)保政策出臺(tái)必然導(dǎo)致。比如資源政策、環(huán)保政策出臺(tái)必然導(dǎo)致“一一次性資源次性資源”替代品的出現(xiàn)，象替代品的出現(xiàn)，象“代木代鋼代木代鋼”發(fā)展起來的發(fā)展起來的PVC塑鋼。再塑鋼。再如隨著計(jì)算練習(xí)次數(shù)增加或練習(xí)時(shí)間加長(zhǎng)，計(jì)算錯(cuò)誤就越少等等。如隨著計(jì)算練習(xí)次數(shù)增加或練習(xí)時(shí)間加長(zhǎng)，計(jì)算錯(cuò)誤就越少等等。n零相關(guān)是指兩列零相關(guān)是指兩列變量變量之間沒有關(guān)系，即一列變量

6、變之間沒有關(guān)系，即一列變量變動(dòng)時(shí)，另一列變量作無規(guī)律的變動(dòng)，又稱為無相關(guān)動(dòng)時(shí)，另一列變量作無規(guī)律的變動(dòng)，又稱為無相關(guān)或不相關(guān)?；虿幌嚓P(guān)。 如相貌與人的行為等現(xiàn)象之間的關(guān)系，都屬于零如相貌與人的行為等現(xiàn)象之間的關(guān)系，都屬于零相關(guān)。相關(guān)。 1.3 相關(guān)的強(qiáng)度相關(guān)的強(qiáng)度n 完全相關(guān)完全相關(guān)是指兩列變量的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)，完全確立的關(guān)系。在是指兩列變量的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)，完全確立的關(guān)系。在坐標(biāo)軸上描繪兩列變量時(shí)會(huì)形成一條直線。坐標(biāo)軸上描繪兩列變量時(shí)會(huì)形成一條直線。n強(qiáng)相關(guān)強(qiáng)相關(guān)又稱高度相關(guān)，即當(dāng)一列變量變化時(shí)，與之相應(yīng)的另一列又稱高度相關(guān)，即當(dāng)一列變量變化時(shí)，與之相應(yīng)的另一列變量增大（或減少）的可能性非常

7、大。在坐標(biāo)圖上則表現(xiàn)為變量增大（或減少）的可能性非常大。在坐標(biāo)圖上則表現(xiàn)為散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖較較為集中在某條直線的周圍。為集中在某條直線的周圍。n弱相關(guān)弱相關(guān)又稱低度相關(guān)，即當(dāng)一列變量變化時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一又稱低度相關(guān)，即當(dāng)一列變量變化時(shí)，與之相對(duì)應(yīng)的另一列變量增大（或減少）的可能性較小。亦即兩列變量之間雖然有一定列變量增大（或減少）的可能性較小。亦即兩列變量之間雖然有一定的聯(lián)系，但聯(lián)系的緊密程度較低。在坐標(biāo)涂上表現(xiàn)出散點(diǎn)比較分散地的聯(lián)系，但聯(lián)系的緊密程度較低。在坐標(biāo)涂上表現(xiàn)出散點(diǎn)比較分散地分布在某條直線的周圍。分布在某條直線的周圍。|r|0.4為低度線性相關(guān)；為低度線性相關(guān)；0.4|r|0.7為

8、顯著性相關(guān)；為顯著性相關(guān)；0.7|r|1為高度線性相關(guān)。為高度線性相關(guān)。 1.4相關(guān)的標(biāo)示類型相關(guān)的標(biāo)示類型 直線相關(guān)直線相關(guān)(Linear Correlation)又稱線性相關(guān)，是指兩列又稱線性相關(guān)，是指兩列變量變量中的中的一列變量在增加（或減少）時(shí)，而另一列變量隨之而增加（或減少），一列變量在增加（或減少）時(shí)，而另一列變量隨之而增加（或減少），或這一列變量在增加時(shí)，而另一列變量則相應(yīng)地減少。它們之間存在或這一列變量在增加時(shí)，而另一列變量則相應(yīng)地減少。它們之間存在一種一種直線關(guān)系直線關(guān)系。直線相關(guān)可用直線擬合。直線相關(guān)可用直線擬合。 曲線相關(guān)曲線相關(guān)（Curvilinear correlat

9、ion）又稱非線性相關(guān)，是指兩）又稱非線性相關(guān)，是指兩列伴隨相變化的列伴隨相變化的變量變量，未能形成，未能形成直線關(guān)系直線關(guān)系。 1.4 散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖2 直線相關(guān)系數(shù)直線相關(guān)系數(shù)JP132圖圖3.1 語(yǔ)文和算術(shù)成績(jī)散點(diǎn)圖語(yǔ)文和算術(shù)成績(jī)散點(diǎn)圖（-2.67,-4）（0,0）IV以xy衡量相關(guān)程度衡量相關(guān)程度n正相關(guān)時(shí)正相關(guān)時(shí)xy為正，相關(guān)程度越高，值越大。為正，相關(guān)程度越高，值越大。 為什么？為什么？ 負(fù)相關(guān)時(shí)負(fù)相關(guān)時(shí)xy為負(fù)，相關(guān)程度越高，絕對(duì)值越大。為負(fù)，相關(guān)程度越高，絕對(duì)值越大。 不不相關(guān)時(shí)相關(guān)時(shí)xy趨近于趨近于0。 為什么？為什么？不足：以不足：以xy衡量相關(guān)程度，但程度衡量相關(guān)程度，但程

10、度不變時(shí)，不變時(shí)， xy隨觀測(cè)次數(shù)減加而增減。隨觀測(cè)次數(shù)減加而增減。因此，以因此，以(xy)/n協(xié)方差衡量相關(guān)程度較好。協(xié)方差衡量相關(guān)程度較好。 但，測(cè)量單位改變時(shí)，協(xié)方差會(huì)隨之改變。但，測(cè)量單位改變時(shí)，協(xié)方差會(huì)隨之改變。 進(jìn)一步，再用協(xié)方差除進(jìn)一步，再用協(xié)方差除以變量以變量XY 的標(biāo)準(zhǔn)差之積的標(biāo)準(zhǔn)差之積x y，得到一個(gè)指標(biāo)，得到一個(gè)指標(biāo)，稱為直線相關(guān)系數(shù)。稱為直線相關(guān)系數(shù)。Xyx ypn(1)Xyxyrnss樣本直線相關(guān)系數(shù)：樣本直線相關(guān)系數(shù)：總體直線相關(guān)系數(shù)：總體直線相關(guān)系數(shù)：,x X X y Y Y 其中其中2.1 Pearson correlation coefficientn皮爾森相

11、關(guān)系數(shù)（皮爾森相關(guān)系數(shù)（Pearson correlation coefficient）也稱）也稱皮爾森皮爾森積矩相關(guān)系數(shù)積矩相關(guān)系數(shù)(Pearson product-moment correlation coefficient) ，是一種線性相關(guān)系數(shù)。皮爾森相關(guān)系是一種線性相關(guān)系數(shù)。皮爾森相關(guān)系數(shù)是用來反映兩個(gè)變量線性相關(guān)程度數(shù)是用來反映兩個(gè)變量線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量。相關(guān)系數(shù)用的統(tǒng)計(jì)量。相關(guān)系數(shù)用r表示，其中表示，其中n為為樣本量樣本量，xy、 分別為兩個(gè)變量分別為兩個(gè)變量的觀測(cè)值和均值。的觀測(cè)值和均值。r描述的是兩個(gè)變量描述的是兩個(gè)變量間線性相關(guān)強(qiáng)弱的程度。間線性相關(guān)強(qiáng)弱的程度。r的絕對(duì)值

12、越的絕對(duì)值越大表明相關(guān)性越強(qiáng)。（大表明相關(guān)性越強(qiáng)。（ 1890年）年）YX公式公式的其的其他表他表述述（ 1890年）年）決定系數(shù)決定系數(shù)n決定系數(shù)決定系數(shù)，英文（，英文（coefficient of determination），），有的教材上翻譯為，判定系數(shù)，也稱為擬合優(yōu)度。在有的教材上翻譯為，判定系數(shù)，也稱為擬合優(yōu)度。在Y的總平方和中，由的總平方和中，由X引起的平方和所占的比例，或依變引起的平方和所占的比例，或依變量量Y的變異中有多少的變異中有多少百分比百分比,可由控制的自變數(shù)可由控制的自變數(shù)X來解釋來解釋 ，記為記為 與相關(guān)系數(shù)的區(qū)別在于除掉與相關(guān)系數(shù)的區(qū)別在于除掉|R|=0和和1情況

13、，由于情況，由于 j(或或ij)的格中的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)的格中的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)對(duì)偶比較法（對(duì)偶比較法（Method of paired comparison） 對(duì)偶比較法是把所有要比較的刺激配成對(duì)，然后一對(duì)對(duì)偶比較法是把所有要比較的刺激配成對(duì)，然后一對(duì)一對(duì)地呈現(xiàn)，讓被試者依據(jù)刺激的某一特性進(jìn)行比較，并一對(duì)地呈現(xiàn)，讓被試者依據(jù)刺激的某一特性進(jìn)行比較，并做出判斷這種特性在兩個(gè)刺激中的哪一個(gè)上表現(xiàn)得更為突做出判斷這種特性在兩個(gè)刺激中的哪一個(gè)上表現(xiàn)得更為突出。出。 因?yàn)槊恳淮碳ざ家謩e和其他刺激比較，假如以因?yàn)槊恳淮碳ざ家謩e和其他刺激比較，假如以n代代表刺激的總數(shù)，那么配成對(duì)的個(gè)數(shù)是表刺激的總數(shù)，那么配成對(duì)的個(gè)數(shù)

14、是n（n1）/2。然后。然后依它們各自明顯于其他刺激的百分比的大小排列成序，即依它們各自明顯于其他刺激的百分比的大小排列成序，即可制成一個(gè)順序量表?？芍瞥梢粋€(gè)順序量表。n 為了避免空間和時(shí)間誤差，則需要再次實(shí)驗(yàn)，第一次為了避免空間和時(shí)間誤差，則需要再次實(shí)驗(yàn)，第一次實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)中A先于先于B,第二次則第二次則B先于先于A。所以每個(gè)單元格都有兩。所以每個(gè)單元格都有兩個(gè)結(jié)果。個(gè)結(jié)果。C為兩次結(jié)果各刺激的和，為兩次結(jié)果各刺激的和，C為對(duì)為對(duì)C的調(diào)整，的調(diào)整，C指指每個(gè)刺激在兩輪實(shí)驗(yàn)中，與其他刺激比較勝出的次數(shù)，而每個(gè)刺激在兩輪實(shí)驗(yàn)中，與其他刺激比較勝出的次數(shù)，而事實(shí)上，每種刺激和它本身也應(yīng)比教，只不過是

15、不分勝負(fù)，事實(shí)上，每種刺激和它本身也應(yīng)比教，只不過是不分勝負(fù)，故在每個(gè)故在每個(gè)C分?jǐn)?shù)上都加分?jǐn)?shù)上都加0.5，因其比較兩次，所以要加兩個(gè)，因其比較兩次，所以要加兩個(gè)0.5，即，即1。n 在有些情況下，實(shí)驗(yàn)者認(rèn)為對(duì)偶比較空間和時(shí)間效應(yīng)在有些情況下，實(shí)驗(yàn)者認(rèn)為對(duì)偶比較空間和時(shí)間效應(yīng)的干擾并不明顯，也可以采用簡(jiǎn)化的程序，即每對(duì)刺激之的干擾并不明顯，也可以采用簡(jiǎn)化的程序，即每對(duì)刺激之間僅比較一次。取間僅比較一次。取P=C/(N-1),C=C+5,P=C/N。n對(duì)偶比較法對(duì)偶比較法在廣告應(yīng)用的測(cè)定與評(píng)判中的應(yīng)用在廣告應(yīng)用的測(cè)定與評(píng)判中的應(yīng)用n對(duì)偶比較法將所有參加比較的廣告逐對(duì)呈現(xiàn)，評(píng)價(jià)者按照對(duì)偶比較法將所

16、有參加比較的廣告逐對(duì)呈現(xiàn)，評(píng)價(jià)者按照某種標(biāo)準(zhǔn)，比較兩幅廣告的優(yōu)劣。如果參加比較的廣告總某種標(biāo)準(zhǔn)，比較兩幅廣告的優(yōu)劣。如果參加比較的廣告總數(shù)為數(shù)為n，測(cè)定總共要呈現(xiàn)以，測(cè)定總共要呈現(xiàn)以n（n-1）/2 對(duì)，為了消除前后對(duì)，為了消除前后順序的誤差，比較一般要進(jìn)行兩輪，如果第一輪呈現(xiàn)的次順序的誤差，比較一般要進(jìn)行兩輪，如果第一輪呈現(xiàn)的次序是先序是先A 后后B（或者位置是（或者位置是A左左B右），第兩輪呈現(xiàn)則為先右），第兩輪呈現(xiàn)則為先B后后A（或（或A右右B左）。每幅廣告都要與其他廣告比較（左）。每幅廣告都要與其他廣告比較（n-1）次，二輪共同需比較）次，二輪共同需比較2（n-1）次。）次。假定有假定

17、有10幅廣告，分別編號(hào)為幅廣告，分別編號(hào)為A、B、C、D、E、F、G、H、I、J，一名評(píng)價(jià)人的結(jié)果記入下表（何者為，一名評(píng)價(jià)人的結(jié)果記入下表（何者為優(yōu)，即記何者編號(hào)）；見下表：優(yōu)，即記何者編號(hào)）；見下表： 解：N=5，K=9 Yij2=4*4+4*4+4*4+2*2+2*2+2*2+2*2+3*3+4*4+7*7=138 Yij=4+4+4+2+2+2+2+3+4+7=3428()8*(1389*34)110.0667(1)*(1)5/ 4*9*8ijijYKYUN NK K 對(duì)偶比較法需要注意兩點(diǎn)：對(duì)偶比較法需要注意兩點(diǎn)：1、用這種方法得到的順序量表，還僅僅是針對(duì)一個(gè)被試的、用這種方法得到的

18、順序量表，還僅僅是針對(duì)一個(gè)被試的心理物理量表，尚不能直接推廣到更大的人群。心理物理量表，尚不能直接推廣到更大的人群。2、這一量表模型要求對(duì)偶比較是可傳遞的（、這一量表模型要求對(duì)偶比較是可傳遞的（transitive），），如果刺激如果刺激A優(yōu)先于刺激優(yōu)先于刺激B，而且刺激，而且刺激B優(yōu)先于刺激優(yōu)先于刺激C，那么，那么刺激刺激A優(yōu)先于刺激優(yōu)先于刺激C。然而，有些情況下這種傳遞性難以。然而，有些情況下這種傳遞性難以保證，這時(shí)就不能采用對(duì)偶比較法。保證，這時(shí)就不能采用對(duì)偶比較法。2.6 偏相關(guān)偏相關(guān)n 偏相關(guān)分析偏相關(guān)分析也稱也稱凈相關(guān)分析凈相關(guān)分析，是指當(dāng)兩個(gè)變量同時(shí)與，是指當(dāng)兩個(gè)變量同時(shí)與第三個(gè)

19、變量相關(guān)時(shí)，將第三個(gè)變量的影響剔除，只分析另第三個(gè)變量相關(guān)時(shí)，將第三個(gè)變量的影響剔除，只分析另外兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的過程。外兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的過程。n 所采用的工具是偏相關(guān)系數(shù)（凈相關(guān)系數(shù)）?？刂谱兞克捎玫墓ぞ呤瞧嚓P(guān)系數(shù)（凈相關(guān)系數(shù)）?？刂谱兞總€(gè)數(shù)為一時(shí)，偏相關(guān)系數(shù)稱為一階偏相關(guān)系數(shù)；控制變量個(gè)數(shù)為一時(shí)，偏相關(guān)系數(shù)稱為一階偏相關(guān)系數(shù)；控制變量個(gè)數(shù)為二時(shí)，偏相關(guān)系數(shù)稱為二階相關(guān)系數(shù)；控制變量個(gè)個(gè)數(shù)為二時(shí)，偏相關(guān)系數(shù)稱為二階相關(guān)系數(shù)；控制變量個(gè)數(shù)為零時(shí)，偏相關(guān)系數(shù)稱為零階偏相關(guān)系數(shù)，也就是數(shù)為零時(shí)，偏相關(guān)系數(shù)稱為零階偏相關(guān)系數(shù)，也就是簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) n利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算偏

20、相關(guān)系數(shù)，反應(yīng)了兩個(gè)變量間凈相關(guān)利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算偏相關(guān)系數(shù)，反應(yīng)了兩個(gè)變量間凈相關(guān)的強(qiáng)弱程度。在分析變量的強(qiáng)弱程度。在分析變量x1和和x2之間的凈相關(guān)時(shí)，當(dāng)控之間的凈相關(guān)時(shí)，當(dāng)控制了變量制了變量x3的線性作用后，的線性作用后，x1和和x2之間的之間的一階一階偏相關(guān)系偏相關(guān)系數(shù)數(shù)定義為：定義為： 2.7多重相關(guān)多重相關(guān)n 多重相關(guān)系數(shù)多重相關(guān)系數(shù)(multiple correlation coefficient; coefficient of total correlation) 又稱又稱復(fù)相關(guān)系數(shù)復(fù)相關(guān)系數(shù)，反映，反映一個(gè)一個(gè)因變量因變量與一組自變量與一組自變量(兩個(gè)或兩個(gè)以上兩個(gè)或兩個(gè)以上)之間相關(guān)程度之間相關(guān)程度的的指標(biāo)指標(biāo)。n 多重相關(guān)系數(shù)是包含所有多重相關(guān)系數(shù)是包含所有變量變量在內(nèi)的在內(nèi)的相關(guān)系數(shù)