大學(xué)物理_振動(dòng)

1、1第第6 6章章 振振 動(dòng)動(dòng)6.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述6.2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)6.3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量6.4 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)6.5 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振6.6 同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成同一直線上同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成6.7 同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成同一直線上不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成6.8 諧振分析諧振分析6.9 相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成2涉及的振動(dòng)類別涉及的振動(dòng)類別自由振動(dòng)自由振動(dòng) free 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)forced 無(wú)阻尼振動(dòng)無(wú)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)damped 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) SHM Simpl

2、e harmonic motion 非諧振動(dòng)非諧振動(dòng)3一一. . 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（重點(diǎn)重點(diǎn)）簡(jiǎn)諧振動(dòng)是理想化模型簡(jiǎn)諧振動(dòng)是理想化模型,許多實(shí)際的小振幅振動(dòng)許多實(shí)際的小振幅振動(dòng)都可以看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)。都可以看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)。例例. 雙原子分子雙原子分子 兩個(gè)原子之間的振動(dòng)。兩個(gè)原子之間的振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)，的振動(dòng)，可用來研究復(fù)雜的振動(dòng)?？捎脕硌芯繌?fù)雜的振動(dòng)。(Simple Harmonic Motion)x0EPxx0omxA41. 定義定義（判據(jù)判據(jù)）: : kxF (2) 彈性力彈性力 （ x 為彈簧伸長(zhǎng)量）為彈簧伸長(zhǎng)量） )cos( tAxx 可作廣義理

3、解（位移、電流、場(chǎng)強(qiáng)、溫度可作廣義理解（位移、電流、場(chǎng)強(qiáng)、溫度）(1) 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 為什么物體在其穩(wěn)定平衡位置附近的為什么物體在其穩(wěn)定平衡位置附近的 無(wú)阻尼微小振動(dòng)，總可以看成是無(wú)阻尼微小振動(dòng)，總可以看成是簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)？r0EPxx0 20000021)(!)()()(PPPPxxxE xxxExExE00 kxE)(P,)(p00 xE有有按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開5xtx222 dd(3) 動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 221kxEEEEPpkconst( (彈性力是保守力彈性力是保守力) )(4) 能量特點(diǎn)能量特點(diǎn) 2241AkAEEEEEpkpk.const或或 200210)

4、(!)()(PPxxkxExE）（有有0 xxkxExFp dd)(例子例子6【思考】【思考】設(shè)地球密度均勻，質(zhì)點(diǎn)通過穿設(shè)地球密度均勻，質(zhì)點(diǎn)通過穿過地球的直隧道的振動(dòng)是過地球的直隧道的振動(dòng)是SHM嗎嗎?72. 特征量特征量mk 由系統(tǒng)本身固由系統(tǒng)本身固有情況決定有情況決定“ 與何時(shí)開始計(jì)時(shí)有關(guān)與何時(shí)開始計(jì)時(shí)有關(guān)!”xtT0000 /2 :相差與時(shí)間差的關(guān)系：相差與時(shí)間差的關(guān)系：tT 222020 vxA kEA02 或或(2)振幅振幅A00tanxv (3)初相初相 A 、 都可都可由初始條件和系統(tǒng)本身情況決定。由初始條件和系統(tǒng)本身情況決定。(1)角（圓）頻率角（圓）頻率 8例例. 在勻加速上

5、升的電梯中有一懸掛的擺在勻加速上升的電梯中有一懸掛的擺, 角位角位 移很小時(shí)移很小時(shí),在電梯里是否可看成是簡(jiǎn)諧振動(dòng)在電梯里是否可看成是簡(jiǎn)諧振動(dòng)?lmamgsmaq q【解】【解】 直接在電梯直接在電梯(非慣性系非慣性系)中中列牛頓方程。列牛頓方程。22tmlagmdd)(q qq q 切向切向:(應(yīng)考慮慣性力應(yīng)考慮慣性力-ma )q qq qq qlS ,sin22tSmmamgddsinsin q qq q9022 q qq qlagtdd對(duì)比簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程對(duì)比簡(jiǎn)諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程0222 xtx dd 可知是簡(jiǎn)諧振動(dòng)?？芍呛?jiǎn)諧振動(dòng)。lag lmamgsmaq q22tmlagmdd)(

6、q qq q 而且知道振動(dòng)角頻率為而且知道振動(dòng)角頻率為10例例. 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為m 的剛體可在重力的力矩的剛體可在重力的力矩 作用下繞水平固定軸作用下繞水平固定軸o 來回?cái)[動(dòng)（復(fù)擺）。來回?cái)[動(dòng)（復(fù)擺）。 已知?jiǎng)傮w重心已知?jiǎng)傮w重心 C 到軸到軸 o的距離為的距離為 ,對(duì)軸對(duì)軸 o的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為J。bCq qbo【解】【解】mg 剛體所受的對(duì)軸的力矩為剛體所受的對(duì)軸的力矩為 -mg bsinq q由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 JM 22sintJmgbd dd dq qq q 設(shè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，設(shè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，對(duì)小幅度自由擺動(dòng)對(duì)小幅度自由擺動(dòng)q qq q sin試證明：剛體

7、作小幅度自由擺動(dòng)時(shí)，偏角試證明：剛體作小幅度自由擺動(dòng)時(shí)，偏角q q 近似地按簡(jiǎn)諧振動(dòng)變化。近似地按簡(jiǎn)諧振動(dòng)變化。11q qq qmgbtJ 22d dd dxtx222 dd所以，所以，偏角偏角q q 近似地按簡(jiǎn)諧振動(dòng)變化。近似地按簡(jiǎn)諧振動(dòng)變化。振動(dòng)周期為振動(dòng)周期為 21 TmgbJJmgb22 思考：若一單擺的振動(dòng)周期與此相同，單擺的思考：若一單擺的振動(dòng)周期與此相同，單擺的 擺長(zhǎng)應(yīng)是多少？擺長(zhǎng)應(yīng)是多少？22sintJmgbd dd dq qq q q qq q sin12例例. 已知：已知：U 形管內(nèi)液體質(zhì)量為形管內(nèi)液體質(zhì)量為m，密度為，密度為 ， 管的截面積為管的截面積為S 。 有一定的高

8、度差有一定的高度差， 試判斷液體柱振動(dòng)的性質(zhì)試判斷液體柱振動(dòng)的性質(zhì)。忽略管壁和液體間的摩擦忽略管壁和液體間的摩擦。開始時(shí)，造成管兩邊液柱面開始時(shí)，造成管兩邊液柱面2p21)(kyygSyE 無(wú)損耗無(wú)損耗.const ESHM角頻率角頻率mSgmk 2 EP = 0S y y- y0gSk 2 解法解法1. 分析能量分析能量13解法解法2. 分析受力分析受力（壓強(qiáng)差壓強(qiáng)差）ky 令令.const2 gSk SHM角頻率角頻率mSgmk 2 S y y- y0恢復(fù)力恢復(fù)力gSyF 2 14作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，其速度，加速度作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，其速度，加速度 也作簡(jiǎn)諧振動(dòng)也作簡(jiǎn)諧振動(dòng):)cos( tAx

9、 (1)解析法解析法領(lǐng)先領(lǐng)先 或落后或落后232領(lǐng)先領(lǐng)先 或落或落后后藍(lán)藍(lán)領(lǐng)先于領(lǐng)先于紅，紅紅，紅領(lǐng)先于領(lǐng)先于綠綠。)cos(2 tAa)2cos( tAvxot = /2 A-A = 0 = /42T2T)cos( tAx3. 表示法表示法 (2)振動(dòng)曲線法振動(dòng)曲線法 15xv0 00 x0A/2用旋轉(zhuǎn)矢量法定用旋轉(zhuǎn)矢量法定 很方便。很方便。20Ax 00 v例：例：? 3 答：答：用旋轉(zhuǎn)矢量法研究振動(dòng)合成也用旋轉(zhuǎn)矢量法研究振動(dòng)合成也 很方便。很方便。(3) 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法Atx0=0av 2 2 AA txx t0 016xAA A2 * *復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)法)i(e tAx17例例: 一

10、簡(jiǎn)諧振子，初始位置為一簡(jiǎn)諧振子，初始位置為-A/2，正朝負(fù)方向，正朝負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期為運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期為2s， 1)確定初相位；確定初相位； 2)求到達(dá)平衡位置的最短時(shí)間。求到達(dá)平衡位置的最短時(shí)間。解：解：1)o-A/2？A由振幅矢量圖由振幅矢量圖，得，得32 2)由初始位置到平衡位置由初始位置到平衡位置 振幅矢量需旋轉(zhuǎn)振幅矢量需旋轉(zhuǎn)6/5 s652 Tt 需需時(shí)時(shí)184. . 同一方向上同一方向上SHM 的合成的合成(1) (1) 同頻率同頻率 )cos()cos(222111 tAxtAx)cos( tAx合成仍為合成仍為S SHMHMxxx1x2 1 2 2A1AA)cos(21221

11、2221 AAAAA22112211coscossinsintan AAAA 19重要的特例重要的特例: :同相同相2112)2, 1, 0()12(AAAkk 反相反相2112)2, 1, 0(2AAAkk xxx1x2 1 2 2A1AA20例例. . 已知：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)平行于同一直線并排作簡(jiǎn)已知：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)平行于同一直線并排作簡(jiǎn) 諧運(yùn)諧運(yùn)動(dòng)，它們的頻率、振幅相同。在振動(dòng)過程中，每當(dāng)它動(dòng)，它們的頻率、振幅相同。在振動(dòng)過程中，每當(dāng)它們經(jīng)過振幅一半的地方時(shí)相遇，且運(yùn)動(dòng)方向相反。們經(jīng)過振幅一半的地方時(shí)相遇，且運(yùn)動(dòng)方向相反。求：它們的相差。求：它們的相差?！窘饨狻? () )( () )212 tAtA

12、Acoscos由由3,321 tt32, 012 ? 解析法解析法.x0A-A21旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法.02A1A2Ax 3212 取取運(yùn)動(dòng)方向相反運(yùn)動(dòng)方向相反x0A-A按題目的已知條件按題目的已知條件,畫出兩個(gè)畫出兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量。旋轉(zhuǎn)矢量。很易可以看出很易可以看出32 22若有若有 n 個(gè)個(gè)SHM : : 振幅相等振幅相等, ,初相依次差常量初相依次差常量 , , )1(cos)2cos()cos()cos(321 ntaxtaxtaxtaxn合成合成 ( ( 仍是仍是SHM)cos( tAx 212sin2sin nnaA o oaA A 23aA Rn oR 22， nRAsin22 si

13、nRa 又又22 sinsinnaA24重要的特例重要的特例: : 可得可得naA )2, 1, 0(2 kk 各分振動(dòng)同相各分振動(dòng)同相各分振動(dòng)的初相差為各分振動(dòng)的初相差為nk 2, ,k（ 為為 不不 等等 于于 nk 的整數(shù)的整數(shù)) )可得可得 封閉多邊形封閉多邊形! !0 A例例. . n4 4 時(shí)時(shí)7, 6, 5),4( , 3, 2, 1),0(, kk =1=1k =3=3k =2=225（2 2）不同頻率不同頻率21AA，同向時(shí)，同向時(shí)， A = Amax = A1+A2反向時(shí)反向時(shí)，21AA，|21minAAAA （若（若 A1= A2 則則 A=0）0 x2A1AA2 21

14、1A 的大小在變化，的大小在變化，)cos()cos(22221111 tAxtAx合成的旋轉(zhuǎn)矢量在合成的旋轉(zhuǎn)矢量在 x 軸上的投影不是軸上的投影不是SHM26)cos()cos(2211 tAxtAx合成也是非簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成也是非簡(jiǎn)諧振動(dòng) ttAxxx2cos2cos2121221變化快變化快變化慢變化慢( (起調(diào)制作用起調(diào)制作用 信息信息) )若若 1 1， 2 2 均較大，而差值較小，則合振動(dòng)均較大，而差值較小，則合振動(dòng)的的 振幅振幅 時(shí)而大（為時(shí)而大（為 2A），時(shí)而?。椋瑫r(shí)而?。?0 0）當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的振幅相等而且在兩個(gè)分振動(dòng)矢量當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的振幅相等而且在兩個(gè)分振動(dòng)矢量重合的時(shí)

15、刻開始計(jì)時(shí)重合的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)27|21vvv 拍拍|2121 這種兩個(gè)頻率都較大但是相差又很小、同方向這種兩個(gè)頻率都較大但是相差又很小、同方向 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，合振動(dòng)有忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象，簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，合振動(dòng)有忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象， 稱為稱為“拍拍”。單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)（或減弱）的次數(shù)叫單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)（或減弱）的次數(shù)叫拍頻。拍頻。28tx1 2=6tx2 1=7 = 1 - 2 拍頻拍頻tx（可測(cè)頻，或得到更低頻的振動(dòng)）（可測(cè)頻，或得到更低頻的振動(dòng)）295. . 相互垂直的相互垂直的 SHM 的合成的合成(1) (1) 同頻率同頻率)(cos)(cos2211 tAytAx將兩式聯(lián)立，消去將兩式聯(lián)

16、立，消去t,可得可得)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx1 1） 合振動(dòng)為合振動(dòng)為線線振動(dòng)。振動(dòng)。, 012 2 2） 合振動(dòng)為合振動(dòng)為正橢圓正橢圓。212 3 3） 一般情況下，合振動(dòng)為一般情況下，合振動(dòng)為斜橢圓斜橢圓且當(dāng)且當(dāng) A1=A2 時(shí)時(shí),即為即為圓圓30軌跡的旋轉(zhuǎn)矢量作圖法軌跡的旋轉(zhuǎn)矢量作圖法: :以以412 為例為例(y相位相位領(lǐng)先領(lǐng)先)1 12 23 34 45 56 67 78 80 00 00 01 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 67 77 78 88 8xyyxy相位領(lǐng)先相位領(lǐng)先, ,則為右旋則為右旋! !相

17、位領(lǐng)先相位領(lǐng)先, ,則為左旋則為左旋! !x 在半個(gè)周期在半個(gè)周期里看，誰(shuí)先里看，誰(shuí)先達(dá)到最大值，達(dá)到最大值，誰(shuí)領(lǐng)先。誰(shuí)領(lǐng)先。31 = 12 不同，橢圓形狀、旋向也不同。不同，橢圓形狀、旋向也不同。 = 3 /2 = 7 /4 = /2 = /4PQ = 0yx = 3 /4y 領(lǐng)先，右旋領(lǐng)先，右旋x 領(lǐng)先，左旋領(lǐng)先，左旋 = 5 /432合成運(yùn)動(dòng)又具有合成運(yùn)動(dòng)又具有穩(wěn)定的封閉軌跡穩(wěn)定的封閉軌跡, ,稱為李薩如圖稱為李薩如圖例如例如. .)(cos)(cosyyyxxxtAytAx 右圖：右圖：23 yx yxAyAxo-Ax- Ay達(dá)達(dá)到到最最大大值值的的次次數(shù)數(shù)達(dá)達(dá)到到最最大大值值的的次次

18、數(shù)數(shù)yxyxyx 具體的圖形與具體的圖形與yx ,有關(guān)有關(guān), ,可以畫出可以畫出當(dāng)兩個(gè)頻率有微小差別時(shí)當(dāng)兩個(gè)頻率有微小差別時(shí), ,位相在緩慢變化位相在緩慢變化, ,軌跡形狀也會(huì)緩慢變化軌跡形狀也會(huì)緩慢變化, ,不穩(wěn)定不穩(wěn)定(2) 不同頻率不同頻率,但有簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)但有簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)33 利用付里葉分解，可將任意振動(dòng)利用付里葉分解，可將任意振動(dòng) 分解成若干分解成若干SHM 的疊加。的疊加。 對(duì)周期性振動(dòng)：對(duì)周期性振動(dòng)：)cos(2)(10kkktkAatx T=2 T 周期，周期，k = 1 基頻（基頻（ ） （決定（決定音調(diào)）音調(diào)）k = 2 二次諧頻（二次諧頻（2 ） k = 3 三次諧頻（三

19、次諧頻（3 ）（決定（決定音色）音色）高次高次諧頻諧頻二二. .諧振諧振分析分析34 x0 +x1tx0=a0 /20 x3t0 x5t0 x0ta0Tx0 +x1+x3+x5t0T例如：例如： 對(duì)對(duì)方波方波35三三. . 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng))cos(e00 tAxt稱為衰減因子稱為衰減因子t e1.弱阻尼（弱阻尼（ 0 0）3. 3.臨界阻尼（臨界阻尼（ = = 0 0 ）為非周期振動(dòng)。為非周期振動(dòng)。剛能作非周期振動(dòng)，剛能作非周期振動(dòng)， 且回到平衡位置的時(shí)間最短。（電表設(shè)計(jì)）且回到平衡位置的時(shí)間最短。（電表設(shè)計(jì)）音叉、鋼琴弦音叉、鋼琴弦- Q 103例例. 無(wú)線電震蕩回路無(wú)線電震蕩回路-Q 102激光器光學(xué)諧振腔激光器光學(xué)諧振腔- Q 107過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼欠阻尼xt038三三. . 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)若系