馮其林中學數(shù)學中的變式教學及其應(yīng)用

1、中學數(shù)學中的變式教學及其應(yīng)用中學數(shù)學中的變式教學及其應(yīng)用 摘 要 介紹變式教學在教學過程中的作用及變式、 變式教學、數(shù)學變式教學的概念. 通過舉例，分析、討論了變式教學的變法及變式教學應(yīng)遵循的五點原則. 關(guān)鍵詞 數(shù)學變式教學；一題多變；一題多解；一題多問；多題一法新課程倡導：“教學中要根據(jù)每個學生的個性特征，允許不同學生，從不同角度認識問題，采取不同的解決方法，表示自己的想法，用不同的知識與方法解決問題，鼓勵解決問題的多樣化”1 . 在教學過程中采用變式教學可以使學生全面、深刻地理解和掌握知識，同時培養(yǎng)學生的研究、探索問題的能力. 該教學方法也是思維訓練和能力培養(yǎng)的重要手段. 顧泠沅先生指出：

2、“變式教學能使不同學習水平的學生都得到有效的訓練. 中學數(shù)學的絕大部分基本題都能通過適當改造，為不同的教學目標服務(wù)”2.1 變式教學的定義首先讓我們先共同了解“變式”、“變式教學”、“數(shù)學變式教學”.所謂變式是指：變換事物的非本質(zhì)特征而保持本質(zhì)特征不變，或變換事物的本質(zhì)特征而保持某些非本質(zhì)特征不變, 但這些變換所得的不同表現(xiàn)形式和原有的事物之間保持一定的相似性, 這些變換所得的不同表現(xiàn)形式稱為原來事物的變式. 而變式教學是指運用變式來進行教學的一種教學方式. 變式教學在數(shù)學教學中的應(yīng)用即數(shù)學變式教學是指對數(shù)學中的問題進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的探究，以暴露問題的本質(zhì)特征、揭示不

3、同知識間的內(nèi)在聯(lián)系的一種教學方法. 一般分為概念性變式和過程性變式. 其目標是：1) 概念性變式方式是利用概念變式和非概念變式揭示數(shù)學概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性.使學生獲得對數(shù)學概念的多角度理解.2) 過程性變式方式是通過變式展示知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，使學生抓住問題的本質(zhì)，加深對問題的理解，變套式為新式，變模仿為創(chuàng)新.2 數(shù)學變式教學的基本原則在數(shù)學教學中，恰當合理的變式能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，能開拓學生的視野，激發(fā)學生的思維，有助于培養(yǎng)學生的探索精神與創(chuàng)新意識. 怎樣才能做到恰當合理的變式呢？它又有什么自身的規(guī)律和要求呢？數(shù)學變式教學要遵循的一些基本原則有：1）適時性原則

4、變式教學方式應(yīng)在恰當?shù)臅r候引入到教學過程之中. 這是變式教學的技巧，熟練掌握這一技巧，要注意把握學生思維脈絡(luò)，在學生已有的認知基礎(chǔ)上，使學生不至于感到生硬和突然，使思維平衡和諧地發(fā)展.2）目的性原則變式教學要根據(jù)不同的教學實際和需要, 決定所采用的形式和手段. 教師要根據(jù)不同的教學實際和需要鉆研教材，通過目的性原則創(chuàng)設(shè)適合變式教學的教學環(huán)境，這是變式教學的關(guān)鍵. 只有明確了實際教學目的，我們才能明確哪些是知識內(nèi)容的本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，從而明確了什么可以變，什么不可以變. 不能為變而變，克服變式教學中的隨意性.3）參與性原則變式教學方式的設(shè)計中應(yīng)考慮學生的參與. 這是變式教學的設(shè)計要求，

5、依照這一要求，教師要引導學生大膽地進行模仿和猜想，師生共同參與，從而弄清原式的本質(zhì)，以及原式與這些變式之間的實質(zhì)聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，加深對知識的理解.4）啟導性原則變式教學方式中應(yīng)堅持啟發(fā)式教學觀念, 注意變化過程中的導向作用. 這是變式教學的實施方式，按照這一方式，才能讓學生的思維依據(jù)教學目的的要求循序漸進.5）適度性原則適度性原則主要體現(xiàn)在兩個方面，一是變式的使用數(shù)量要適度；二是變式的變化深度、廣度和難度應(yīng)考慮學生的接受能力，這是變式教學成功的保證.只有把握好一定的“度”，才能做到因材施教、因人施教，使變式教學達到預期的目的.3 數(shù)學變式教學的基本變法遵循變式教學原則的基礎(chǔ)上，變式教學又應(yīng)

6、該怎么“變”，從那些方面入手.接下來主要從實踐的角度談?wù)剶?shù)學變式教學的一些基本變法.1)概念的變式教學. 用不同形式的直觀材料或事例說明. 對臨近的概念進行比較, 區(qū)分它們的相同點與不同點.2)定理、命題的變式教學. 對定理和命題的非本質(zhì)特征進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變化，以突出它們的本質(zhì)特征，揭示不同知識點的內(nèi)在聯(lián)系.3)例題、習題的變式教學. 采用一題多變、一題多解、一題多問、多題一法.4 變式教學例析4.1 一題多變4.1.1 引申變換在教學中激發(fā)學生的求知欲望是教師的重要職責. 而不失時機地將課本習題進行引申，可以激發(fā)學生的求知欲，進而達到舉一反三、觸類旁通的效果.

7、這有利于擴大學生的視野，培養(yǎng)學生思維的獨立性和創(chuàng)造性.八年級第二學期第20章平行四邊形的判定，教學目標中提到：一、掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，并了解它們之間的關(guān)系；二、探索并掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別法. 下面舉一例子.案例l 原題：求證順次連結(jié)矩形四邊中點所得的四邊形是菱形. 可作如下變式：變式1(特殊化) 順次連結(jié)正方形四邊中點所得是什么圖形? 正方形； 順次連結(jié)菱形四邊中點所得是什么圖形? 矩形.變式2(一般化) 順次連結(jié)任意四邊形四邊中點所得是什么圖形? 平行四邊形；順次連結(jié)平行四邊形四邊中點所得是什么圖形? 平行四邊形. 變式

8、3(放寬條件，抓住本質(zhì)) 順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點所得的圖形是矩形(圖1)；順次連結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點所得的圖形是菱形(圖2)；順次連結(jié)對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點所得的圖形是正方形（圖3）.變式4(類 比) 順次連結(jié)三角形三邊中點所得是什么圖形? 三角形. 順次連結(jié)五邊形五邊中點所得是什么圖形? 五邊形.順次連結(jié)六邊形六邊中點所得是什么圖形? 六邊形.以上變化只是將題設(shè)稍加改變，解題方法基本相同這有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、判斷能力和分析問題、解決問題的能力.4.1.2 題型變換在教學中有意識地對題型進行變換. 這有利于擴大學生的視野，培養(yǎng)學生思維的敏捷性和靈活性

9、. 七年級第二學期第13章整式與分式. 教學目標中提到：一、理解整式運算的算理；二、掌握分解因式的方法并了解分解因式的意義. 下面舉一例子.案例2 原題：設(shè)x為整數(shù)，求證： 是一個完全平方數(shù). 可將題型作如下變式：變式1 分解因式: ；變式2 解方程: =；變式3 解不等式: ；變式4 求函數(shù) y=的定義域.評 注 4.1.1中變式1.2.3的構(gòu)造恰到好處，把握住了學生的認知基礎(chǔ). 控制好變式之間的梯度. 循序漸進，層層深入. 其目的很明確，加強學生對解題方法的認識. 同時讓學生了解連接四邊形四邊中點所得的圖形不盡相同. 通過這三個變式并幫助學生掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常

10、用判別法, 并了解它們之間的關(guān)系. 達到一定的教學目標. 而變式4的構(gòu)造似乎沒多大意義, 具有明顯的隨意性. 沒把握好目的性原則. 此變式的構(gòu)造可能是在教學設(shè)計過程中由于受到“邊數(shù)”的啟發(fā)，產(chǎn)生了靈感，即興構(gòu)造出來的. 由于設(shè)計者缺乏對問題的深入思考, 導致這些變式脫離教學目標. 4.1.2的4個變式只是在原題的基礎(chǔ)上進行題型變換. 而解題思路基本相同. 對分解因式的內(nèi)容進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的探究，以暴露問題的本質(zhì)特征、揭示不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系. 其核心是讓學生掌握分解因式的方法. 對培養(yǎng)學生的變通能力、發(fā)現(xiàn)意識和鉆研精神都有很大的幫助. 也就是在目的性、適度性等原則上把

11、握的很好. 4.2 一題多解一道題采用多種解法，它們的解題思想、解題思路不盡相同.這有利于擴大學生的視野，開拓學生思維的廣闊性和深刻性.高中一年級，第一學期第一章集合教學目標中提到：一、掌握空集、子集、交集等相關(guān)概念；二、理解集合運算的算理. 下面舉一例子.案例1 已知A =1.2n，問A有幾個子集？解法1 運用分類計數(shù)的原理第一類取0個元素，則為空集即 C個；第二類取1個元素，則有C個；第三類取2個元素, 則有C個；第n+1類取n個元素，則有C個；即A的子集共有C+ C+ C+ C=2個.解法2 運用分步計數(shù)的原理.在子集合中，集合A中的每個元素只有被取和不被取兩種可能情況. 于是有2222

12、=2個.（共有n個2相乘）八年級第二學期第19章全等三角形. 教學目標中提到：一、掌握三角形的相關(guān)概念及基本性質(zhì)；二、掌握勾股定理；三、會運用“相似”、“全等”三角形的判別法進行判斷. 下面舉一例子.案例2 在RtABC中（圖4），CD是斜邊AB上的高求 證：CD =AD·BD.證法1 相似三角形法RtACDRtBCD， =.于是得AD×BC=CD.證法2 三角法tanB= ，tanACD=. B=ACD，tanB=tanACD. 于是得=，AD×BC=CD.證法3 代數(shù)法令CD=a ，AD=b，DB=c，則AB=b+c，即有AC=AD+CD=b+a，BC=CD+

13、BD=a+c，AB=(b+c)，又由b+a+a+c=(b+c)= b+2bc+c ，所以2a=2bc， a=bc.也即CD=AD×BC.評 注 案例1設(shè)計，雖只有兩種解法，卻體現(xiàn)了加法原理和乘法原理兩種不同的解題思想. 解法一很容易被學生理解、接受.在學生掌握解法一、熟知題意的基礎(chǔ)上，解法二的引入不至于讓學生感到生硬與突然. 從而使思維平衡和諧的發(fā)展. 進一步理解了集合的相關(guān)運算. 案例2的證法一與證法三的講解能完成一定的教學目的. 把握住了目的性原則.而證法二的引入似乎為時過早. 因為其內(nèi)容涉及到初三的三角函數(shù)知識. 沒把握好適時性原則. “一題多解”即用盡可能多的解法求解. 然而

14、作為老師在講解時一定要把握好兩點：1）該解法所涉及到的知識點學生是否全部學過了；2）該解題思想在此運用是否超出了學生當前的接受能力. 千萬不要按照教師自身的知識水平和接受能力去講解所想到的一切解法. 要不然，就會違背適時性原則.4.3 一題多問引導學生面對一道題應(yīng)從不同的角度去觀察、分析. 解答后反思原題，若不改變已知條件還能推出那些結(jié)果. 若修改或添加一些條件又能得到那些新結(jié)論呢？從中激發(fā)學生不斷的提出新問題，并迅速的建立自己的思路. 這有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、求異思維.八年級第二學期第19章全等三角形. 教學目標中提到: 一、掌握三角形的相關(guān)概念及基本性質(zhì)；二、掌握勾股定理；三、會運用“

15、相似”、“全等”三角形的判別法進行判斷. 下面舉一例子.案例1 在RtABC中（圖5），C=90°，D、E、F 分別是AB，BC，CA邊的中點，連結(jié)DE、EF、FD，求證：EF=DE+ DF.本題由三角形中位線性質(zhì)和勾股定理，一般學生都能求解通過對該題的感知、理解和解答，接著引導學生提出問題，做到一題多問.1）不改變條件，你還能得出哪些結(jié)論. (由一般三角形的中位線性質(zhì)可以直接得出的結(jié)論除外)結(jié)論：(1) FDE=90°，(2)四邊形CFDE是矩形.2）適當互換條件和結(jié)論，你能得出哪些新問題?新問題1：在ABC中（圖5）C=90°，EDF=90°，D、E

16、分別是AB、BC的中點，F(xiàn)是AC上一點，求證：F是AC中點.(易證四邊形DECF是矩形，可得CF=DE，從而CF=AC，所以F是AC中點)新問題2：在ABC中（圖5）C=90°，D是AB的中點，E、F分別是BC、AC上的點，且四邊形DFCE是矩形，求證：EF是ABC的中位線(由平行線分線段成比例定理證得)八年級第二學期第20章四邊形的判定，教學目標中提到：一、掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，并了解它們之間的關(guān)系；二、探索并掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別法. 下面舉一例子.案例2 在平行四邊形ABCD中（圖6），兩對角線AC、BD交于點

17、O，E、F分別是OA、OC的中點，求證：BEDF.證 明 四邊形ABCD是平行四邊形， AO=OC ,BO=OD.又E、F分別是OA、OC的中點，EO=OF.又EOB=DOF，BOEDOF（SAS）.于是有BE=DF，EBO=FDO. 可得EBDF，BEDF.1）不改變條件，創(chuàng)設(shè)新問題.新問題 求證：四邊形BEDF是平行四邊形.略 證 由上題可得BEDF，所以四邊形BEDF是平行四邊形.2）適當改變條件和結(jié)論，得出新問題.新問題1：延長BE、DF分別與AD、BC交于點H、G（圖7），求證：四邊形BHDG是平行四邊形.略 證 由上題可得BEDF，又可證得AEHCFG，從而EH=FG，可得BHDG

18、，所以四邊形BHDG是平行四邊形.新問題2：延長BE、DF分別與AD、BC交于點H、G（圖7）求證： .證明提示：該題從入手證明.其中新問題2可以根據(jù)需要拆成5個新問題.評 注 該變法最能體現(xiàn)參與性原則和啟導性原則. 教師應(yīng)積極引導學生參與到教學過程中，啟發(fā)學生不斷提出新問題. 從而弄清原式的本質(zhì)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò). 案例1設(shè)計的很好.案例2的設(shè)計，把求證中位線、平行四邊形、面積比這三類題放在一起能讓學生全面的掌握該題所包函的知識點. 既拓寬了廣度，又加深了難度. 這兩個案例加強了學生對三角形、平行四邊形相關(guān)性質(zhì)的掌握.4.4 多題一法多題一法就是能夠從不同的題目中找出它們所共有的本質(zhì)特征，從而用

19、同一種思想方法、同一種解題模式來解答. 這有利于培養(yǎng)學生的聚合思維、求同思維.七年級第二學期第15章整式與分式. 教學目標中提到：一、理解整式運算的算理；二、掌握分解因式的方法并了解分解因式的意義.三、通過“平方差公式”、“完全平方公式”的逆向變形，進一步發(fā)展學生觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力. 下面以二次根式化簡的內(nèi)容為例討論變式.知識準備：完全平方式a±2ab+b=(a+b)在二次根式中的變形公式：a±2+b= ().原題： 化 簡 （1） ,（2）.解 （1）原式；（2）原式=.分 析 以上是直接套用變形公式求解. 保持其解題思想、解題方

20、法不變的條件下可進行以下變式.變式1 改變被開方數(shù)的項數(shù)化 簡 （1），(2).解 (1）原式=；（2）原式=.變式2 隱含“2倍”化 簡 （1），(2).解 （1）原式=；（2）原式=.變式3 改變被開方數(shù)的項數(shù)、隱含“2倍”、填加 “2”以外的因子化 簡 （1），（2）.解 （1）原式=；（2）原式=.變式4 字母代替數(shù)化 簡 （1），（2）.解 （1）原式=；（2）原式=.上面4種變式、8道題都是用同一種解題方法. 就是拆項、構(gòu)成完全平方公式的結(jié)構(gòu). 然后利用完全平方公式把被開方數(shù)化成完全平方式. 從而去掉根號，求出結(jié)果.評 注 該案例的四個變式目的很明確，讓學生掌握拆項、構(gòu)建模型等解題方法. 變式1至變式4的構(gòu)造既把握住了學生的認知基礎(chǔ)，做到各種變式的構(gòu)造都限制在學生的最近發(fā)展區(qū). 又按照一定的梯度循序漸進，層層深入. 符合人的認知規(guī)律. 該案例的構(gòu)造在目的性，適度性等原則上都把握的很好. 此案例的四個變式對發(fā)展學生觀察、歸納、類比、概括等能力有促進作用.總之，在數(shù)學變式教學實施中通過改變題目的條件、結(jié)論或背景，或者將條件一般化，或者變換