高等數(shù)學(xué)自學(xué)課件81

1、一一 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)二二 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念三三 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限四四 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的極限及連續(xù)性多元函數(shù)的極限及連續(xù)性1.鄰域),(0 PU |0PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx0P 設(shè)設(shè)是是平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)， 是某是某一正數(shù)，與點(diǎn)一正數(shù)，與點(diǎn)距離小于距離小于 的點(diǎn)的點(diǎn)的全體，稱(chēng)為點(diǎn)的全體，稱(chēng)為點(diǎn)的的 鄰域，記為鄰域，記為， xoy),(000yxP ),(000yxP ),(yxP0P ),(0 PU),(0 PU的去心鄰域的去心鄰域點(diǎn)點(diǎn) |00PPP0P一、預(yù)備知識(shí)一、預(yù)備知識(shí)2. 內(nèi)點(diǎn)E1P

2、 .的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)為為則稱(chēng)則稱(chēng)的某一鄰域的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)設(shè).的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于EPPEPU)(PEEE.為開(kāi)集為開(kāi)集則稱(chēng)則稱(chēng)的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集EE例如，例如，即為開(kāi)即為開(kāi)集集41),(22yxyxEP 3. 邊界注：0.3也可能不屬于也可能不屬于的邊界點(diǎn)可能屬于的邊界點(diǎn)可能屬于EEE0;2 的外點(diǎn)必定不屬于的外點(diǎn)必定不屬于EE10;的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于EE的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則稱(chēng)可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于也有不屬于的點(diǎn)，的

3、點(diǎn)，于于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為EEPEEEEEPP 4. 連通集5. 區(qū)域連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域開(kāi)集開(kāi)集且該折線(xiàn)上的點(diǎn)都屬于且該折線(xiàn)上的點(diǎn)都屬于是連通的是連通的，則稱(chēng)，則稱(chēng)連結(jié)起來(lái)連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線(xiàn)任何兩點(diǎn)，都可用折線(xiàn)內(nèi)內(nèi)是開(kāi)集如果對(duì)于是開(kāi)集如果對(duì)于設(shè)設(shè)DDDDxyo開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域xyo例如，例如，.94| ),(22yxyx例如，例如，.4| ),(22 yxyx有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo6 有界點(diǎn)集、

4、無(wú)界點(diǎn)集無(wú)界點(diǎn)集無(wú)界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否則稱(chēng)為為有界點(diǎn)集，否則稱(chēng)為則稱(chēng)則稱(chēng)即即，不超過(guò)不超過(guò)的距離的距離與與使任意的使任意的，如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)的某一定點(diǎn)的某一定點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)集對(duì)于點(diǎn)集 EEEAKKAEPAPKAP 例如，例如，4| ),(22 yxyx0| ),( yxyx7 n維空間.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ),(21nxxxP),(21nyyyQ設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為nRPPPPPU,|),(00 比如比如： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n 設(shè)設(shè) 為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱(chēng)為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱(chēng)元數(shù)組

5、元數(shù)組的全體為的全體為維空間維空間，而每個(gè)而每個(gè)元數(shù)元數(shù)組組稱(chēng)為稱(chēng)為 維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)維空間中的一個(gè)點(diǎn)，數(shù)稱(chēng)為該點(diǎn)的第稱(chēng)為該點(diǎn)的第 個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo).nnnnn),(21nxxx ),(21nxxx ixi二、多元函數(shù)的概念類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)),(21nxxxfu 設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)DyxP),(，變量z按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)z是變量yx,的二元函數(shù)，記為),(yxfz （或記為 ) )(Pfz當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，元函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù)元函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù).2nn多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自

6、變量、因變量等概念變量、因變量等概念1 多元函數(shù)的定義解所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)榻馑蠖x域?yàn)樗蠖x域?yàn)? 122 yx0 yx例1 求求 的定義的定義域域)ln(),(yxyxf.0| ),(yxyxD.1| ),(22yxyxD例2 求求 的定義的定義域域)arcsin(),(22yxyxf 2 二元函數(shù) 的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，對(duì)于任意，對(duì)于任意取定的取定的DyxP),(，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)、y為縱坐為縱坐標(biāo)、標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)),(z

7、yxM，當(dāng)當(dāng)),(yx取遍取遍D上一切點(diǎn)時(shí)，得上一切點(diǎn)時(shí)，得到到一個(gè)空間點(diǎn)集一個(gè)空間點(diǎn)集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個(gè)點(diǎn)集稱(chēng)為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形. 說(shuō)明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面說(shuō)明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.如二元函數(shù)的圖形是以如二元函數(shù)的圖形是以原點(diǎn)為球心，半徑為的上半個(gè)球面；原點(diǎn)為球心，半徑為的上半個(gè)球面；222yxaza而表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的上而表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的上半個(gè)錐面半個(gè)錐面22yxz三、多元函數(shù)的極限聚點(diǎn) 設(shè)設(shè)E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P 是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)P的任何一個(gè)鄰域內(nèi)總有無(wú)限的任何

8、一個(gè)鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集E，則稱(chēng)則稱(chēng)P為E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)； 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)10| ),(22 yxyx例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)定義1 設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)?,(,000yxPD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e e，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的一切點(diǎn)，都有e e |),(|Ayxf成立，則稱(chēng) A A 為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)0 xx，0yy時(shí)的極限， （或)0(),(r rAyxf這里|0PP r r）. 記為 Ayxfyyxx),(lim00說(shuō)

9、明：（1 1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似證證例例1 1 求證求證 01sin)(lim222200yxyxyx2222221sinyxyxyx0, 0e當(dāng)22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx時(shí)時(shí)e01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立證證例例2 2 求證求證 0lim22200 yxyxyx0222 yxyx222yxyx y , 0 e e,e e 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22

10、)0()0(0yx22yx 所以結(jié)論成所以結(jié)論成立立e 0222yxyx證證其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在例例3 3 證明證明 不存在不存在 24200limyxyxyx取取2kxy 24200limyxyxyx4242202limxkxkxxkxyx21kk（2） 令令),(yxP沿沿kxy 趨向于趨向于),(000yxP，若若極限值與極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在有關(guān)，則可斷言極限不存在； 確定極限不存在的方法：1（ ）找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使存在，存在，但兩者不相等，此時(shí)也可斷言但兩者不相等，此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),

11、(000yxP處極限不存在處極限不存在),(lim00yxfyx 設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù)),()(yxfPf 的的定定義義域域?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)集集),(,000yxPD是是 其其 聚聚 點(diǎn)點(diǎn) 且且DP 0， 如如 果果)()(lim00PfPfPP , ,則則稱(chēng)稱(chēng)n元元函函數(shù)數(shù))(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處連連續(xù)續(xù). . 1 1 定義定義上連續(xù)上連續(xù)在在就稱(chēng)函數(shù)就稱(chēng)函數(shù)的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么在在如果函數(shù)如果函數(shù)DDyxf) yxf,(),(四、多元函數(shù)的連續(xù)性例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) ) 0 , 0 (),(, 0) 0 , 0 (),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf在

12、在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 e e,e e 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 01sin)(lim222200 yxyxyxe e 01sin)(2222yxyx例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 222203limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同

13、而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù) 設(shè)設(shè)0P是函數(shù)是函數(shù))(Pf的定義域的聚點(diǎn)，如果的定義域的聚點(diǎn)，如果)(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處不連續(xù)，則稱(chēng)處不連續(xù)，則稱(chēng)0P是函數(shù)是函數(shù))(Pf的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).2 間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)的判定（只要滿(mǎn)足下列一條）：函數(shù)的間斷點(diǎn)的判定（只要滿(mǎn)足下列一條）：（1）函數(shù)在此點(diǎn)處無(wú)定義）函數(shù)在此點(diǎn)處無(wú)定義；（2）函數(shù)在此點(diǎn)處有定義，但無(wú)極限）函數(shù)在此點(diǎn)處有定義，但無(wú)極限；（3）函數(shù)在此點(diǎn)處有定義，有極限，但極限函數(shù)在此點(diǎn)處有定義，有極限，但極限不等于函數(shù)值不等于函數(shù)值注意：（1）多元函數(shù)的間斷點(diǎn)有可能是一點(diǎn)，）多元函數(shù)的間斷點(diǎn)

14、有可能是一點(diǎn)，也可能形成一條曲線(xiàn)；也可能形成一條曲線(xiàn)；（2）多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是）多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定連續(xù)函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域義域內(nèi)的區(qū)域一般地，求時(shí)，一般地，求時(shí)，)(lim0PfPP如果是如果是)(Pf初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點(diǎn)則初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點(diǎn)則)(Pf0P在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)處連續(xù)，)(Pf0P于是于是)()(lim00PfPfPP解解例例6 6 求求222002limyxyxyx函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域2222),(yxyxyxf0),(22yxyxD顯然顯然D)0 , 1 (故故222002limyxyxyx21例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 例例8 8.)1(lim100 xyxxy 求求解解1)1(lim100 yx