高等數(shù)學自學課件81

1、一一 預(yù)備知識預(yù)備知識二二 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念三三 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限四四 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的極限及連續(xù)性多元函數(shù)的極限及連續(xù)性1.鄰域),(0 PU |0PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx0P 設(shè)設(shè)是是平面上的一個點，平面上的一個點， 是某是某一正數(shù)，與點一正數(shù)，與點距離小于距離小于 的點的點的全體，稱為點的全體，稱為點的的 鄰域，記為鄰域，記為， xoy),(000yxP ),(000yxP ),(yxP0P ),(0 PU),(0 PU的去心鄰域的去心鄰域點點 |00PPP0P一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識2. 內(nèi)點E1P

2、 .的內(nèi)點的內(nèi)點為為則稱則稱的某一鄰域的某一鄰域一個點如果存在點一個點如果存在點是平面上的是平面上的是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，設(shè)設(shè).的內(nèi)點屬于的內(nèi)點屬于EPPEPU)(PEEE.為開集為開集則稱則稱的點都是內(nèi)點，的點都是內(nèi)點，如果點集如果點集EE例如，例如，即為開即為開集集41),(22yxyxEP 3. 邊界注：0.3也可能不屬于也可能不屬于的邊界點可能屬于的邊界點可能屬于EEE0;2 的外點必定不屬于的外點必定不屬于EE10;的內(nèi)點必屬于的內(nèi)點必屬于EE的邊界點的邊界點為為），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點（點的點（點也有不屬于也有不屬于的點，的

3、點，于于的任一個鄰域內(nèi)既有屬的任一個鄰域內(nèi)既有屬如果點如果點的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為EEPEEEEEPP 4. 連通集5. 區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域開集開集且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于是連通的是連通的，則稱，則稱連結(jié)起來連結(jié)起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開集如果對于是開集如果對于設(shè)設(shè)DDDDxyo開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域xyo例如，例如，.94| ),(22yxyx例如，例如，.4| ),(22 yxyx有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo6 有界點集、

4、無界點集無界點集無界點集為有界點集，否則稱為為有界點集，否則稱為則稱則稱即即，不超過不超過的距離的距離與與使任意的使任意的，如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)的某一定點的某一定點對于點集對于點集 EEEAKKAEPAPKAP 例如，例如，4| ),(22 yxyx0| ),( yxyx7 n維空間.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ),(21nxxxP),(21nyyyQ設(shè)兩點為設(shè)兩點為nRPPPPPU,|),(00 比如比如： 當當 時，便為數(shù)軸、平面、空間兩時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離點間的距離3, 2, 1 n 設(shè)設(shè) 為取定的一個自然數(shù)，我們稱為取定的一個自然數(shù)，我們稱元數(shù)組

5、元數(shù)組的全體為的全體為維空間維空間，而每個而每個元數(shù)元數(shù)組組稱為稱為 維空間中的一個點，數(shù)維空間中的一個點，數(shù)稱為該點的第稱為該點的第 個坐標個坐標.nnnnn),(21nxxx ),(21nxxx ixi二、多元函數(shù)的概念類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)),(21nxxxfu 設(shè)D是平面上的一個點集，如果對于每個點DyxP),(，變量z按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱z是變量yx,的二元函數(shù)，記為),(yxfz （或記為 ) )(Pfz當當時時，元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).2nn多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自

6、變量、因變量等概念變量、因變量等概念1 多元函數(shù)的定義解所求定義域為所求定義域為解所求定義域為所求定義域為. 122 yx0 yx例1 求求 的定義的定義域域)ln(),(yxyxf.0| ),(yxyxD.1| ),(22yxyxD例2 求求 的定義的定義域域)arcsin(),(22yxyxf 2 二元函數(shù) 的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域為的定義域為D，對于任意，對于任意取定的取定的DyxP),(，對應(yīng)的函數(shù)值為，對應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標為橫坐標、y為縱坐為縱坐標、標、z為豎坐標在空間就確定一點為豎坐標在空間就確定一點),(z

7、yxM，當當),(yx取遍取遍D上一切點時，得上一切點時，得到到一個空間點集一個空間點集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個點集稱為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形. 說明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面說明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.如二元函數(shù)的圖形是以如二元函數(shù)的圖形是以原點為球心，半徑為的上半個球面；原點為球心，半徑為的上半個球面；222yxaza而表示以坐標原點為頂點的上而表示以坐標原點為頂點的上半個錐面半個錐面22yxz三、多元函數(shù)的極限聚點 設(shè)設(shè)E是平面上的一個點集是平面上的一個點集，P 是平面上的是平面上的一個點，如果點一個點，如果點P的任何一個鄰域內(nèi)總有無限的任何

8、一個鄰域內(nèi)總有無限多個點屬于點集多個點屬于點集E，則稱則稱P為E 的聚點的聚點.內(nèi)點一定是聚點；內(nèi)點一定是聚點； 邊界點可能是聚點邊界點可能是聚點10| ),(22 yxyx例(0,0)既是既是邊界點也是聚點邊界點也是聚點定義1 設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域為),(,000yxPD是其聚點，如果對于任意給定的正數(shù)e e，總存在正數(shù) ，使得對于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的一切點，都有e e |),(|Ayxf成立，則稱 A A 為函數(shù)),(yxfz 當0 xx，0yy時的極限， （或)0(),(r rAyxf這里|0PP r r）. 記為 Ayxfyyxx),(lim00說

9、明：（1 1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似證證例例1 1 求證求證 01sin)(lim222200yxyxyx2222221sinyxyxyx0, 0e當22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx時時e01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立證證例例2 2 求證求證 0lim22200 yxyxyx0222 yxyx222yxyx y , 0 e e,e e 當當 時，時， 22

10、)0()0(0yx22yx 所以結(jié)論成所以結(jié)論成立立e 0222yxyx證證其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在例例3 3 證明證明 不存在不存在 24200limyxyxyx取取2kxy 24200limyxyxyx4242202limxkxkxxkxyx21kk（2） 令令),(yxP沿沿kxy 趨向于趨向于),(000yxP，若若極限值與極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在有關(guān)，則可斷言極限不存在； 確定極限不存在的方法：1（ ）找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),

11、(000yxP處極限不存在處極限不存在),(lim00yxfyx 設(shè)設(shè)n元元函函數(shù)數(shù)),()(yxfPf 的的定定義義域域為為點點集集),(,000yxPD是是 其其 聚聚 點點 且且DP 0， 如如 果果)()(lim00PfPfPP , ,則則稱稱n元元函函數(shù)數(shù))(Pf在在點點0P處處連連續(xù)續(xù). . 1 1 定義定義上連續(xù)上連續(xù)在在就稱函數(shù)就稱函數(shù)的每一點都連續(xù)，那么的每一點都連續(xù)，那么在在如果函數(shù)如果函數(shù)DDyxf) yxf,(),(四、多元函數(shù)的連續(xù)性例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) ) 0 , 0 (),(, 0) 0 , 0 (),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf在

12、在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 e e,e e 當當 時，時， 22)0()0(0yx故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 01sin)(lim222200 yxyxyxe e 01sin)(2222yxyx例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 222203limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同

13、而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù) 設(shè)設(shè)0P是函數(shù)是函數(shù))(Pf的定義域的聚點，如果的定義域的聚點，如果)(Pf在點在點0P處不連續(xù)，則稱處不連續(xù)，則稱0P是函數(shù)是函數(shù))(Pf的的間斷點間斷點.2 間斷點函數(shù)的間斷點的判定（只要滿足下列一條）：函數(shù)的間斷點的判定（只要滿足下列一條）：（1）函數(shù)在此點處無定義）函數(shù)在此點處無定義；（2）函數(shù)在此點處有定義，但無極限）函數(shù)在此點處有定義，但無極限；（3）函數(shù)在此點處有定義，有極限，但極限函數(shù)在此點處有定義，有極限，但極限不等于函數(shù)值不等于函數(shù)值注意：（1）多元函數(shù)的間斷點有可能是一點，）多元函數(shù)的間斷點

14、有可能是一點，也可能形成一條曲線；也可能形成一條曲線；（2）多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是）多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定連續(xù)函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域義域內(nèi)的區(qū)域一般地，求時，一般地，求時，)(lim0PfPP如果是如果是)(Pf初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點則初等函數(shù)，且是的定義域的內(nèi)點則)(Pf0P在點處連續(xù)，在點處連續(xù)，)(Pf0P于是于是)()(lim00PfPfPP解解例例6 6 求求222002limyxyxyx函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域2222),(yxyxyxf0),(22yxyxD顯然顯然D)0 , 1 (故故222002limyxyxyx21例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 例例8 8.)1(lim100 xyxxy 求求解解1)1(lim100 yx