2020-2021學年北師大版必修14.2實際問題的函數(shù)建模學案

1、2 實際問題的函數(shù)建模2. 1 實際問題的函數(shù)刻畫2. 2 用函數(shù)模型解決實際問題2. 3 函數(shù)建模案例1傑前基訊茂電梳理知識學習目標|1. 了解數(shù)學建模的過程，進一步感受函數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，強化用數(shù)學 解決實際問題的意識.2嘗試用函數(shù)刻畫實際問題，通過研究函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.竹知倶萌理1用數(shù)學思想、方法、知識解決實際問題的過程叫作 數(shù)學建模，可以用圖 示表示數(shù)學建模的過程.2.常用到的函數(shù)模型正比例函數(shù)模型：y = kx(0)；k(2) 反比例函數(shù)模型： 爛(& 0)；(3) 次函數(shù)模型：y= kx+ b(kM0)；(4) 二次函數(shù)模型：y = ax2+ bx+ c(a 工 0

2、);(5) 指數(shù)函數(shù)模型：y= max+ b(a0 且 a 1，mH0)；(6) 對數(shù)函數(shù)模型：y= mlogax+ c(mH0， a0 且 aH1)；(7) 幕函數(shù)模型：y= kxn+ b(kH0).解決應用題應遵循什么步驟？閱讀理引入符運用數(shù)學代入實際解認真 - 號建立 方法解決-T 問題核查審題模型1 數(shù)學模型 11 說明作答12傑堂互動傑究規(guī)律總結(jié)1竹典綠緣商店每月按出廠價每瓶 3 元購進一種飲料，根據(jù)以前的統(tǒng)計數(shù) 據(jù)，若零售價定為每瓶 4 元，每月可銷售 400 瓶；若每瓶售價每降低 0.05 元, 則可多銷售 40 瓶，在每月的進貨量當月銷售完的前提下，請你給該商店設(shè)計一 個方案：

3、銷售價應定為多少元和從工廠購進多少瓶時，才可獲得最大的利潤？【解】 設(shè)銷售價為 x 元/瓶，則根據(jù)題意(銷售量等于進貨量)，正好銷售完即 400(9 2x)瓶.此時所得的利潤為 f(x) = 400(9-2x)(x- 3) =400(- 2x2+ 15x-27)(元)(3x0,所以 0 x12,則利潤 y = (480 40 x)(1 + x) 200=40 x111 2 3 4 5 6 7+ 1 490(0 x12)，所以當 x= 5.5 時，利潤最大，即當每桶水的價格為 11.5 元時，利潤最大值為 1 490 元.疑近醫(yī)學上為研究傳染病傳播中病毒細胞的發(fā)展規(guī)律及其預防，將病毒細胞注入一只

4、小白鼠體內(nèi)進行實驗， 經(jīng)檢測，病毒細胞的增長數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記 錄如下表.已知該種病毒細胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過 108的時候，小白鼠將會死亡如注射某種藥物，可殺死其體內(nèi)該病毒細胞的98%.天數(shù) t病毒細胞總數(shù) N112234485166321 為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥 物？(精確到天)2 第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？(精確到天, 已知：lg 2= 0.301 0)【解】 由題意知，病毒細胞的個數(shù)關(guān)于時間 t 的函數(shù)為 y= 2t則由 2f1 108兩邊取對數(shù)得(t 1)lg 28,得 t27.6.即第一次最遲應在第27 天注射該種藥

5、物.(2)由題意知，注射藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細胞數(shù)為226X2%，再經(jīng)過 x 天后小白鼠體內(nèi)病毒細胞數(shù)為 226X2%X2x.由題意 226X2%X2x108，兩邊取對數(shù)得 26lg 2+ lg 2 2 + xlg 28,得x 6.2.即再經(jīng)過 6 天必須注射藥物，即第二次應在第 33 天注射藥物.【方法總結(jié)】隨著新課標的逐漸鋪開（如計算器的廣泛使用），以往對于指 數(shù)運算的困難便已不再是困難.換句話說，指數(shù)函數(shù)的應用型問題將可以堂而皇 之地進入到各級各類考試中就本題而言，難度并不大，在讀懂題意的基礎(chǔ)上， 只需要最基本的歸納推理能力和觀察能力，便能發(fā)現(xiàn)病毒細胞個數(shù)關(guān)于時間的函 數(shù)關(guān)系式，在

6、此基礎(chǔ)上問題的解決只是計算上的問題了.JgF 字二攜 U 在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v（單位：m/s）和燃料的質(zhì)量 M（單位：kg），火箭（除燃料外）的質(zhì)量 m（單位：kg）滿足ev=M1 + m2 000（e 為自然對數(shù)的底）（1）當燃料質(zhì)量 M 為火箭（除燃料外）質(zhì)量 m 兩倍時，求火箭的最大速度（單位: m/s）;（2）當燃料質(zhì)量 M 為火箭（除燃料外）質(zhì)量 m 多少倍時，求火箭的最大速度是否可以達到 8 km/s?（結(jié)果精確到個位,數(shù)據(jù)：e2.718, e454.598, In 3= 1.099）v=ln 1+m2 000=2 000ln1+M，當燃料質(zhì)量 M 為火箭（除

7、燃料外）質(zhì)量 m 兩倍時，即 M = 2m， v=2 000l n 32 000X1.099=2 198（m/s）.當燃料質(zhì)量 M 為火箭質(zhì)量 m 兩倍時，火箭的最大速度為 2 198 m/s.2 000e 18 000M 2 0004 = e 1= e4 1 54.598- 1 54,m，當燃料質(zhì)量 M 為火箭質(zhì)量 m 的 54 倍時，火箭最大速度可以達到函數(shù)模型擬合問題解:(1)vev=2 000(2)vev=8km/s.t、120 t、130 t.為了預測今后各個月的月產(chǎn)量，需要以這三個月的月產(chǎn)量為根 據(jù)，用一個函數(shù)來模擬月產(chǎn)量 y（t）與月序數(shù) x 之間的關(guān)系.對此模擬函數(shù)可以選 用二

8、次函數(shù) f(x) = ax2+ bx+ c(a, b, c 均為待定系數(shù)，x N+)或函數(shù) g(x)= pqx+ r(p, q, r 均為待定系數(shù)，x N+)現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品的第四個月的月產(chǎn) 量為 137 t，試問：選用這兩個函數(shù)中的哪一個作為模擬函數(shù)較好？【解】 對于兩個模擬函數(shù)中的前者，將前三個月的已知數(shù)據(jù)分別代入其中， 得f(1) = a+ b+ c= 100，f(2) = 4a+ 2b + c= 120，f(3) = 9a+ 3b + c= 130.解由此形成的關(guān)于 a，b，c 的三元一次方程組，得a= 5， b = 35， c= 70.所以 f(x) = 5x2+ 35x+ 7

9、0.同理可得 g(x) = 80X0.5x+ 140.為了比較兩個模擬函數(shù)的優(yōu)劣，只需將 x=4 分別代入式與式，得f(4)= 5X42+35X4+70=130(t)，g(4)= 80X0.54+140=135(t).因為與 f(4)相比，g(4)與實際第四個月的月產(chǎn)量在數(shù)值上更為接近，所以， 作為模擬函數(shù)，式比式更好.故選用函數(shù) g(x) = pqx+ r 作為模擬函數(shù)較好.【方法總結(jié)】 問題中給出函數(shù)關(guān)系式，且關(guān)系式中帶有需確定的參數(shù)，這些參數(shù)需要根據(jù)問題的內(nèi)容或性質(zhì)來確定，然后再通過運用函數(shù)使問題本身獲 解.“負 1 茁用打 I某村電費收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：方案一：每戶每月收取管

10、理費 2 元，月用電量不超過 30 度時，每度 0.5 元； 超過 30 度時，超過部分按每度 0.6 元收取；方案二：不收管理費，每度 0.58 元.(1) 求方案一 L(x)收費(元)與用電量 x(度)間的函數(shù)關(guān)系；(2) 老王家九月份按方案一交費 35 元，問老王家該月用電多少度？(3) 老王家該月用電量在什么范圍內(nèi)，選擇方案一比選擇方案二更好？某化工廠開發(fā)研制的一種新產(chǎn)品，在前三個月的月產(chǎn)量依次為100解：當 0Wx30 時，L(x) = 2 + 30X0.5+ (x30)X0.6=0.6x1,2+ 0.5x, 0 x30.(2) 當 0Wx30 時， L(x) =0.6x1 = 35

11、,得 x= 60,老王家該月用電 60 度.(3) 設(shè)方案二收費為 F(x),貝 U F(x)= 0.58x.當 0Wx30 時，由 L(x)F(x),得 2 + 0.5x25, 25x30 時，由 L(x)F(x)，得 0.6x 10.58x,解得 x50, 30 x50,綜上，25x50.故老王家用電量在(25,50)范圍內(nèi)時， 選方案一比方案二好.ABCD 中，已知 AB= a, BC= b(bva)，在 AB,AH, CG, CF，且 AE = AH = CG = CF = x.【錯解】 設(shè)四邊形 EFGH 的面積為 S,121則 S= ab 2 2x + 2 a x b x=衣+ (

12、a+ b)x= 2 x ab 2+根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,【錯因分析】 實際問題中，應考慮函數(shù)的定義域，錯解中直接利用二次函 數(shù)的性質(zhì)求解，從而導致出錯.【正解】設(shè)四邊形 EFGH 的面積為 S,則S= ab 2 x2+ 2 a x b x = 2x2+ (a+ b)x= 2 x +b2+ 蔦匕,x (0, b.箱如圖所示，在矩形AD, CD , CB 上分別截取 AE,問：當 x 為何值時，四邊形EFGH 的面積最大？并求出最大面積.a+ b8x=寧時,S 有最大值a+ b8因為 0vbva,所以 0vbva+ b2當學Wb, 即卩 a3b 時,易知 S(x)在(0，b上是增函數(shù)，x= b

13、時，S 有最大值 ab b2.2a+ ba+ b綜上，當 a3b，x= b 時，S 有最大值 ab b2.3基編知識達標穩(wěn)操勝券|知識點一指數(shù)型苗斂1.某工廠 2000 年的產(chǎn)值為 a 萬元，預計產(chǎn)值每年以 n%遞增，則該廠到 2012 年的產(chǎn)值(單位：萬元)是()A. a(1 + n%)13萬元C . a(1 + n %)11萬元答案：B知識點二二次函數(shù)的應用2.某商品進貨價為每件 40 元，當售價為 50 元時，一個月能賣出 500 件.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件商品的單價每提高 1 元，則商品一個月的銷售量會減少10 件，商店為使銷售該商品的月利潤最高，應將每件商品定價為()B. 55 元

14、D. 70 元解析：設(shè)當商品定價為 x 元時，商店的銷售利潤為 y 元,則有 y= (x 40)500 10(x 50)=(x 40)(1 000 10 x)=1 農(nóng) + 1 400 x 40 000(x 50)，當 x= 70 時，y 有最大值.答案：D3.某旅店有客床 100 張，各床每天收費 10 元時可全部客滿，若每床每天收所以當B. a(1 + n%)12萬元D. a(1 n%)12萬元C. 65 元費每提高 2 元，則減少 10 張客床租出這樣為了減少投入多獲利，每床每天收 費應提高_ .解析：設(shè)每床每天收費提高 2x 元(x N+),則收入為 y= (10+ 2x)(10010

15、x) =20(5+x)(10 x),A當 x= 2 或 3 時，y 取最大值，當 x= 2 時，y= 1 120,當 x =3 時，y= 1 120.為了滿足減少投入要求應在獲利相同條件下多空出床位，故 x =3.答案：6知識點三指數(shù)型函數(shù)的應用4已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量 y 與月份 x 滿足關(guān)系 y= a(0.5)x+ b， 現(xiàn)已知該廠今年 1 月、2 月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為 1 萬件、1.5 萬件，則該廠 3 月份 產(chǎn)品的產(chǎn)量為1 = 0.5a+ b，解析：由1.5= 0.25a+ b， y= 2(0.5)x+ 2， 3 月份產(chǎn)品的產(chǎn)量為 y= 2(0.5)3+ 2= 1.75(萬件).答案：1.75 萬件5某食品的保鮮時間 y(單位：小時)與儲藏溫度 x(單位：C)之間滿足函數(shù) 關(guān)系y= ekx+b(e= 2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b 為常數(shù))已知該食品在 0C的保鮮時間為 160 小時，在 20 C 的保鮮時間為