利用柱面坐標(biāo)和球面ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 利用柱面坐標(biāo)和球面利用柱面坐標(biāo)和球面 坐標(biāo)計算三重積分坐標(biāo)計算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分,0 r,20 . z的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)個數(shù)個數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分 .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為: :

2、為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平面平面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系中的如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為體積元素為,dzrdrddv 解解 zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為. 3 4 , 22222所所圍圍的的立立體體與與是是球球面面其其中中計計算算zyxzyxzdxdydzI , sincos zzryrx 由由例例1 1 I.413 ，面上，如圖所示面上，如圖所示投影到

3、投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy .20, 3043:22 rrzr， 2324 2 0 3 0 rrzdzrdrd 解解 . 82 2 22立體如圖所示立體如圖所示所圍成的所圍成的，兩平面兩平面與與曲面曲面 zzzyx . 8, 2 2 )( 2222所所圍圍的的立立體體與與兩兩平平面面曲曲面面是是，其其中中計計算算 zzzyxdxdydzyxI例例2 2:2D, 422 yx.222020:22 zrr :1D,1622 yx,824020:21 zrr 所圍成立體的投影區(qū)域如下圖，所圍成立體的投影區(qū)域如下圖， 2D1D 128 2 1DrfdzrdrdI ,345 222 2 2Drfdzr

4、drdI ,625 8 24 0 2 0 22rdzrrdrd 2 22 0 2 0 22rdzrrdrd 21III ,)()(212222 dxdydzyxdxdydzyx 623455 I原式原式.336 的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，這樣的三個數(shù)這樣的三個數(shù)面上的投影，面上的投影，在在為點(diǎn)為點(diǎn)這里這里的角，的角，段段逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來確定，其中來確定，其中，三個有次序的數(shù)三個有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，

5、則點(diǎn)設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計算三重積分,0 r.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定： 為常數(shù)為常數(shù)r為為常常數(shù)數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平半平面面Pxyzo),(zyxMr zyxA .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：如下圖，如下圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸上的投影為軸上的投影為在在點(diǎn)點(diǎn)，面上的投影為面上的投影為在在設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)AxPPxoyM.

6、,zPMyAPxOA 則則 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如下圖，如下圖，az ,cos ar 222zyx ,4 .20,40,cos0: ar解法一解法一. )0( )( 22222所圍成的立體所圍成的立體與平面與平面面面是錐是錐，其中，其中計算計算 aazzyxdxdydzyxI采用球面坐標(biāo)采用球面坐標(biāo)例例3 3 dxdydzyxI)(22drrdda 4 0 cos 0 342 0 sin da

7、)0cos(51sin2554 0 3 .105a .20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd 2 0 2 0 adrrar 0 3)(2 54254aaa .105a 222zyx , rz ,20 ,0 , : arazr解法二解法二采用柱面坐標(biāo)采用柱面坐標(biāo), :222ayxD 解解,2ar ,4 .20,40,20: ar. 2 222222所所圍圍成成的的立立體體體體積積與與求求曲曲面面yxzazyx . 用球面坐標(biāo)用球面坐標(biāo)由錐面和球面圍成，利由錐面和球面圍成，利 22222 azyx 由由22yxz 例例4 4 adrrddV2 0 2 0 2 0 sin4 4 0 33)2(sin2 da.)12(343a , dxdydzV由三重積分的性質(zhì)可知由三重積分的性質(zhì)可知.20,40,20: ar,2 dvzIxy 三、三重積分的運(yùn)用三、三重積分的運(yùn)用 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量,2 dvxIyz ,2 dvyIzx ,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 d