格林公式及其應(yīng)用-課件

1、。如圖一段有向曲線上由分別為：其中求)()1 , 1()0,0()3;)2;)1,2222BOOABxyxyLdyxxydxIL)(10:,:) 12為參數(shù)以解：yyyxL(1,0)(1,1)2xy 2yx 1522104104102dyydyyydyyyI。如圖一段有向曲線上由分別為：其中求)()1 , 1()0,0()3;)2;)1,2222BOOABxyxyLdyxxydxIL)(10:,:)22為參數(shù)以解：xxxyL(1,0)(1,1)2xy 2yx 1422103102102dxxxdxxdxxxI。如圖一段有向曲線上由分別為：其中求)()1 , 1()0,0()3;)2;)1,22

2、22BOOABxyxyLdyxxydxIL)(10:, 1:)(10:, 0:;)3為參數(shù)以為參數(shù)以解：yyxLxxyLLLLABOAABOA(1,0)(1,1)2xy 2yx 1102221021022dydxxdyxxydxdyxxydxIABOALL。如圖一段有向曲線上由分別為：其中求)()1 , 1()0,0()3;)2;)1,2222BOOABxyxyLdyxxydxIL(1,0)(1,1)2xy 2yx )(?22OBdyxxydx猜一猜：)(?22OBLOBdyxxydxL ：段光滑的曲線進(jìn)一步猜測：沿任意分)(所走過的路徑無關(guān)？而與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)積分值只與曲線有這樣的性質(zhì)

3、：是否所有二型線積分都LL1013/ 123/ 121010)310210)2102102) 1dxdydxxxdxxdyydyyydxxdyIL例如：與路徑無關(guān)呢？線積分在什么條件下第二型曲LQdyPdx(1,0)(1,1)2xy 2yx WBAL點(diǎn)，求重力所作的功點(diǎn)由曲線弧垂平面上沿一光滑一質(zhì)點(diǎn)受重力作用在鉛的路徑無關(guān)。它與設(shè)解：重力函數(shù)令LyymgyymgWyydytdydyttyytxxLdymgdymgdxdsTFWmgFyyytyyyytyyytLLLLABABABAB)()()(:)()(:)(0, 0211212)()()(2121),(22yx),(11yxF與路徑無關(guān)呢？線

4、積分在什么條件下第二型曲LQdyPdx是否為保守力場？怎樣判斷力場),(),(yxQyxPF 作的功與路徑無關(guān)。在保守力場中，場力所保守力場。重力場為復(fù)連通域。是單連通域，否則稱，則稱子域所圍的，內(nèi)的任意閉曲線是平面內(nèi)的區(qū)域，若對設(shè)DDDDLLDDL)()(見下圖內(nèi)有“洞”；復(fù)連通見下圖內(nèi)無“洞”；單連通DDDDLD在觀察者的左邊前進(jìn)時，沿的正向邊界稱為DLDLLDQdyPdxdyPxQDLDyxQyxPLD)1()( :,),(),(,的正向邊界曲線是則有上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圍成由分段光滑閉曲線設(shè)閉區(qū)域的正向邊界曲線。是其中，的面積，則：有界閉區(qū)域設(shè)DLydxxdyydxxdyDLLLD

5、D21)2()2()2(LDDLDDxQPFGQPLydxdydxdxdyxy同理：證：)01(,0: .1,0Dbyax的面積求橢圓12222LDydxxdybyaxbyax2120sincos1)22222式推論解：)(21)sin(cos21)sin(sincoscos2120202220算此題都較困難用定積分、二重積分計abdabdabdabba曲線。一條任意分段光滑的閉是其中計算LdyxxydxL,2200)()(222.2DDyxFGxyddPQIxQxQxPxyP由故且相等在平面內(nèi)連續(xù)解：的路徑無關(guān)？與問：LQdyPdxQdyPdxxQyPLL?0)(20:cos1sin:)3s

6、in21 ()cos2(2223擺線一拱其中ttyttxLdyyxxydxxyxyIL不易積出！、顯然計算太繁且（直接法）：解)sinsin()sincos(sin)cos1 ()sin( 3)sinsin()cos1 (21 )cos1)(sincos()cos1 ()cos1)(sin(2120222023tttttdtttttttdttttttttI)(? .1FG：該題能否用問題)()2?.).()12111易于計算？封閉且可用最簡單，使得：怎樣才能補(bǔ)充曲線問題LQdyPdxFGLLLaxyL20:, 0:1取a2)(20:cos1sin:)3sin21 ()cos2(2223擺線一拱

7、其中ttyttxLdyyxxydxxyxyIL00)03sin021 ()cos002(,20:, 0:).(220222311aLdxxxdxxxQdyPdxaxyLFG則：取補(bǔ)線解法a2LLLLLLLLQdyPdxIDLL111101的正向邊界曲線，故：構(gòu)成而00)(6cos23sin21cos26cos2.2222231DDyxFGLLxyddPQQdyPdxIxyxyQyxxyQxyxyPxyxyP而又a2。計算用補(bǔ)線法由常數(shù)，則可以考慮如果的積分：對于非閉曲線注LLQdyPdxFGyPxQQdyPdxL.,1為逆時針。點(diǎn)的任意閉曲線，方向是不過其中求)0 , 0(,22OLyxydx

8、xdyIL22222222222222)(;)(yxxyQyxxQyxxyPyxyPPQLDxyyx圍成的區(qū)域，易驗(yàn)證是由解：設(shè))(? .FG問：該題能否用論點(diǎn)不連續(xù)，要分情況討在否！OyxxyPQyx22222)(DODO為逆時針。點(diǎn)的任意閉曲線，方向是不過其中求)0 , 0(,22OLyxydxxdyIL22222222222222)(;)(yxxyQyxxQyxxyPyxyPPQLDxyyx圍成的區(qū)域，易驗(yàn)證是由解：設(shè)DO00)(,)/()(,)1.22222DDyxFGyxddPQIDDyxxyPQDO故：為單連域內(nèi)連續(xù)，在則為逆時針。點(diǎn)的任意閉曲線，方向是不過其中求)0 , 0(,2

9、2OLyxydxxdyIL內(nèi)連續(xù)在且，圍成逆時，使得作輔助曲線圓11222,:,)2DPQDlLlDlryxlDOyxDOr的正向邊界曲線構(gòu)成且11,DlLDOQdyPdxQdyPdxIllLllL2sincos00)(202222211drrrQdyPdxddPQQdyPdxlDDyxlL參數(shù)法而DODOyxydxxdyIL2022即：如何？為橢圓：此例中，若選取問題1:12222byaxl會比選取圓困難一些。結(jié)果一樣，但計算起來？應(yīng)如何選?。簩栴}lyxydxxdyL2222)20:,2sin,cos(2222ryrxryxl為：應(yīng)選取易于計算。時要注意使其中：選取之間用與，在來挖去奇點(diǎn)線

10、叫奇點(diǎn)，可以用作輔助不連續(xù)點(diǎn)有所圍成的閉區(qū)域內(nèi)：如果在注逆逆逆順llDllLLQdyPdxlPdxQdydyPxQFGlLyxlyxyPxQL1)(: .),(),(,20000)2()1(2221112121,),(),(),(),(MMMMLLGGyxMyxMGyxQyxPG、內(nèi)的任意兩曲線若對、內(nèi)連續(xù)，在、是開域，設(shè)1M2M1M) 2(21MML2M) 1 (21MML，有：為起、終點(diǎn)、都是以)2(21)1(21)(21MMMMLLQdyPdxQdyPdxMM),(),(22112121yxyxLLQdyPdxQdyPdxGQdyPdxMMMM簡記內(nèi)與路徑無關(guān)，此時：在則稱:),(),(

11、上內(nèi)連續(xù)，則在在單連通開域、設(shè)GGxQypyxQyxP0,)2() 1 (LxyQdyPdxGLQP有：分段光滑、閉曲線與路徑無關(guān)有：、起、終點(diǎn)相同的兩曲線)2211)2(21)1(212121,(),()2()1(,)3(yxyxLLMMMMQdyPdxQdyPdxQdyPdxGLLMMMMxxyyyxyxyyxxyxyxyxdxyxPdyyxQQdyPdxyxudyyxQdxyxPQdyPdxyxuGyxQuPuQdyPdxduGyxGyxyxuu00000000),(),(),(),(),(),(),(),(,),(,),(),()4(0)3(),(),(0)3(),(),(00或且有：

12、有對是否為保守力場？判別力場？求原函數(shù)已知全微分簡單且易積比求：注：該定理有三個用法),(),(),()3(),(,),(),()2()() 1 (11yxQyxPyxFyxuudyyxQdxyxPduLLQdyPdxQdyPdxLL4432210221010dyyydydydyyydxxx)432sin21 ()cos002(22102/0)2(3中定理21LLLQdyPdxI10:, 2/:; 2/0:, 0:,2121yxLxyLLLL其中：取與路徑無關(guān)原積分故I上連續(xù)且它們在解：取GQxyxyPyxxyQxyxyPRGxy,cos263sin21,cos2,222232的一段。上由為：

13、其中，求)1 , 2/()0 , 0(2)3sin21 ()cos2(22223BOyxLdyyxxydxxyxyIL22yx1L2L1L2L2cos,sin1xyeQyyePxx：由解法內(nèi)連續(xù)，且在21cosRQyePxxy)0 ,0(),()3(300yx式，取的根據(jù)定理yxxxyxdyxyedxeyxu00),()0 , 0()2cos()00sin(),(yyyxdydyxydye0002cosyxyyex2sin),()2cos()sin(yxuudyxyedxyyeduxx的求滿足),()2cos()sin(yxuudyxyedxyyeduxx的求滿足yyePuxxsin2 ：解法

14、dxyyeyxuxx)sin(),(積分：兩邊對)(sin),(yCxyyeyxuxQyCxyeuyxy)(cos求偏導(dǎo)：兩邊對2cos)(cosxyeyCxyexx即：yyCyC2)(2)(yxyyeyxux2sin),(故：),()2cos()sin(yxuudyxyedxyyeduxx的求滿足dyxyedxyyeduxx)2cos()sin(3：由解法dyxdyydxydyeydxeduxx2)(cossin)2()()sin(sinydxydydeydexx)2()()sin(ydxydyedx)2sin(yxyyedx2),(2sin),(RyxyxyyeyxuxxyQyPxyQyx

15、P242,)1 (22解：sinsin2,coscos2)3(;,)2(;42,)1 (),(),(2222yxxyxyyxFxxyFxyyxFyxQyxPF：力所作的功與路徑無關(guān)試判別下列各力場的場當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在場內(nèi)移動時，設(shè)有力場與路徑無關(guān)；xyQPxyQxxPxQxyP2,)2(2與路徑有關(guān)； xyQPyxxyQxyyxPsinsin2,coscos2)3(22xyQyxxyPsin2cos2與路徑無關(guān)。xyQP為全微分方程。，則稱若對一階微分方程：）（) 1 (),(0),(),(1QdyPdxduyxuudyyxQdxyxP是全微分方程一階微分方程）（01 QdyPdx),(GyxxQyP

16、，其中：是一階微分方程的通解且Cyxu),(yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0或一階微分方程的通解。求0)23()35(222324dyyxyyxdxyxyx22232433;35yxyyxQyxyxP解：由22),(36RyxQyxyPxy原方程為全微分方程yxyxdyyxQdxxPQdyPdxyxu00),()0, 0(),()0 ,(),(yxdyyxyyxdxxx02220324)33 ()0035 (332253123yxyyxxCyxyyxxCyxu332253123),(即：，通解為：的一個積分因子

17、。為則稱但如果設(shè)0),()()(0),(,0QdyPdxyxxQyPyxxQyPQdyPdx)/(1/10222yxyxdyydx有積分因子例如：一。注：積分因子一般不唯有同解。所以上式與而這是因?yàn)椋?, 0),(0)(,(QdyPdxyxQdyPdxyxQdyPdx; 0) 1 ( xdyydx求微分方程的通解：CxyxyyxuxydxdyydxduQPxQyPxy通解為：即：由湊微分法：個方程是全微分方程，即第解：),()() 1 (1,) 1 ( ; 0)2( xdyydx求微分方程的通解：)(01)2(略分離變量后積出即可；：法解 xdyydx0)2(22yxdyydx題式：法0yxd

18、題式的通解。為)2(Cyx0)1 ()1 ()3(xdyxyydxxy求微分方程的通解：0)()3()3(xdyydxxyxdyydx題式：解Cxyyx1ln)3(題式的通解為：即：)( xydxdyydx題式有積分因子：)3(1022yxQdyPdx010)(22ydyxdxxydxyxdyydxyxxyd01ln0)(ln)(ln1xyyxdydxdxyddxxfeyxxfxQyPQ)(),()()(1) 1 (時，若dyygeyxygyPxQP)(),()()(1)2(時，若可以用比較系數(shù)法確定、式中的則存在時，、的若有滿足：nmyxyxnmyPxQxymyQnxPnm,),()()3(

19、子?？赡苁窃摲匠痰姆e分因就有、的項(xiàng)時，若方程中出現(xiàn)有形如。例如：通過觀察來求積分因子在某些簡單情況下，可222222221111)(),(),(),(ln,)4(yxxyyxxdyydxxydydxxdyyxddydxyxarctgdyxxdyydxyxdxyxdyydxyxdyxdyydxyxdxxdyydx的通解求0)532()246(222dyyxdxxyxxyQxPyxQxyxP4532, 246222解：Cyyyxxxyyyxxxdyyxdxxyxuyx52225222)532()26(),(32332302202故所求方程的通解為：的通解求02)12(22ydydxxyxyQxyx

20、P2, 1222解：是一個積分因子無關(guān)與但原方程不是全微分方程xdxxyeeyxyyyxQyPQQyP)1(),(1)02(21)(102Cyxeeydyedxxyxeexxxxx)(302) 12(2222：的一般方法求得通解為以下可按例分方程易驗(yàn)證它是一個全微乘原方程得：用的通解求0) 1() 1(dyyxdxyx原方程不是全微分方程解：xQyPyxQyxP11)1(, 1為原方程的隱式通解。將方程變形得：Cyxyxyxdyxyxdyxdyxddydxyxdydxdyyxdxyx)ln()(ln()()()()()()(DLDbababaabbaLLLbabaxxxxybaDdyPPdxd

21、yPdxxxPxxPdxxxPdxxxPdxxxPdxxxPPdxPdxPdxLLLdxxxPxxPdxyxPdyPdxdyPxyxbxayxDYXD即：，且：而型域型域又是既是設(shè))(,()(,()(,()(,()(,()(,()(,()(,(|),()()(,|),()11221212112)()()()(21212121)(1下L3L4L)(2下L)(1上L3L4L)(2上LDDDLDLdyPxQdyPdxQQdyPdydxQQdy)(同理可證：證畢！處理。型域的情形也可以類似型域或非非，上下，上下圍成下下由圍成；上上由：復(fù)連通域：由復(fù)變單得：一般區(qū)域下下上上下下上上由YXbLLLLLLL

22、LLdxyxPPdxPdxPdxPdxPdxdyPdyPdyPLLLLLDLLLLLDDDDDaDLLLLLLLLLLLLLLLDDDDDDD)()()()(),()()()()()()221222111)()()()()()()()()1324124231121212132414231212121)(1下L3L4L)(2下L)(1上L3L4L)(2上L”。的負(fù)向時取“是”；的正向時取“是式中的其中圍成的閉區(qū)域是由設(shè)證：DLDLddyPxQQdyPdxLDGLGyxQPDDLFGxy(*)00)(,),(: )2() 1 ()1(*).積分與路徑無關(guān)。故：內(nèi)閉曲線積分為在：任意分段光滑曲線，則為終點(diǎn)的為起點(diǎn)都是以、設(shè)證：212121)0(0),(),(:)3()2()2(221121LLLLLLQdyPdxQdyPdxGQdyPdxQdyPdxQdyPdxyxByxALL成立。