基本不等式公開課

1、基本不等式:授課人:祁玉瑞 授課類型：新授課一、知識與技能：使學(xué)生了解基本不等式的代數(shù)、幾何背景，學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；學(xué)會應(yīng)用基本不等式解決簡單的數(shù)學(xué)問題。過程與方法：通過探索基本不等式的過程，讓學(xué)生體會研究數(shù)學(xué)問題的基本思想方法，學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會探究。情感態(tài)度與價值觀：在探索過程中，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，大膽猜想，并能對猜想進行證明，增強學(xué)生的信心，獲得探索問題的成功情感體驗。逐步養(yǎng)成學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣。同時通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、重點及難

2、點重點：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程。難點：基本不等式等號成立條件。三、教學(xué)過程1.課題導(dǎo)入基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2.講授新課1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由

3、于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。2得到結(jié)論：一般的，如果3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為 當(dāng)所以，即41）從幾何圖形的面積關(guān)系認識基本不等式特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫作： 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明： 3）理解基本不等式的幾何意義探究：課本第98頁的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的

4、幾何解釋嗎？易證tADtDB，那么D2A·B即D.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合，即ab時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”.在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).四、范例講解課本p99頁，例1 五、課時小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一