基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

1、“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思一、教材背景分析1.教材的地位和作用本節(jié)內(nèi)容是在系統(tǒng)的復(fù)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的。教材通過(guò)趙爽弦圖回顧基本不等式，在代數(shù)證明的基礎(chǔ)上，通過(guò)“探究”引導(dǎo)學(xué)生回顧基本不等式的幾何意義，并給出在解決函數(shù)最值和實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用，在知識(shí)體系中起著承上啟下的作用；從知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法（如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等）在各種不等式的研究中均有著廣泛的應(yīng)用；從內(nèi)容的人文價(jià)值上看，基本不等式的探究、推導(dǎo)和應(yīng)用需要學(xué)生觀察、分析、猜想、歸納和概括等

2、，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維能力和探索精神，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)和提高數(shù)學(xué)能力的良好載體.本節(jié)是復(fù)習(xí)課，不僅應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)一步理解概念，還要掌握應(yīng)用基本不等式求最值，體會(huì)基本不等式在實(shí)際生活中的指導(dǎo)作用。2.學(xué)情分析在認(rèn)知上，學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識(shí). 如何讓學(xué)生再認(rèn)識(shí)“基本”二字，是本節(jié)學(xué)習(xí)的前提. 事實(shí)上，該不等式反映了實(shí)數(shù)的兩種基本運(yùn)算（即加法和乘法）所引出的大小變化，這一本質(zhì)不僅反映在其代數(shù)結(jié)構(gòu)上，而且也有幾何意義，由此而生發(fā)出的問(wèn)題在訓(xùn)練學(xué)生的代數(shù)推理能力和幾何直觀能力上都發(fā)揮了良好的作用. 因此，必須從基本不

3、等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)和幾何意義兩方面入手，才能讓學(xué)生深刻理解它的本質(zhì).另外，在用基本不等式解決最值時(shí)，學(xué)生往往容易忽視基本不等式使用的前提條件和等號(hào)成立的條件，因此，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)借助辨誤的方式讓學(xué)生充分領(lǐng)會(huì)基本不等式成立的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用.3、教學(xué)重難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度回顧和探索基本不等式的證明過(guò)程；用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：回顧在幾何背景下抽象出基本不等式的過(guò)程；基本不等式中等號(hào)成立的條件；應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題.二、教學(xué)目標(biāo)1、利用“趙爽弦圖”回顧重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”

4、回顧基本不等式的幾何意義，通過(guò)基本不等式的回顧，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)和感悟形數(shù)統(tǒng)一的思想方法； 2、通過(guò)對(duì)教材“探究”再探究，引導(dǎo)學(xué)生拓展基本不等式，體會(huì)基本不等式的應(yīng)用；3、通過(guò)對(duì)教材中例題的變式教學(xué)，讓學(xué)生體會(huì)和感悟應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)該注意的問(wèn)題，解決基本不等式在實(shí)際中的應(yīng)用；4、利用電腦屏幕的情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；5、通過(guò)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖，深化對(duì)基本不等式的理解。三、教學(xué)對(duì)策本節(jié)作為基本不等式的復(fù)習(xí)課，一是借助弦圖和幾何畫(huà)板演示，讓學(xué)生回顧基本不等式的概念形成過(guò)程，體驗(yàn)基本不等式模型的觀察、分析、猜想和概括等系列思維活動(dòng)過(guò)程，復(fù)習(xí)基本不等式

5、的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象思維的方法；二是通過(guò)基本不等式的證明方法的探索和不同角度的欣賞，學(xué)生能用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言表述基本不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，歸納得出基本不等式中等號(hào)成立的條件及其使用條件，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法；三是要引導(dǎo)學(xué)生用基本不等式解決常見(jiàn)的最值和實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程； 四、教學(xué)過(guò)程（一）溫故知新，回顧基本不等式.情景引入：【投影顯示】趙爽弦圖。問(wèn)題1、請(qǐng)同學(xué)們重溫“趙爽弦圖”，比較正方形ABCD的面積S和里面的四個(gè)小三角形面積之和S的大小，看可以得到怎樣的不等關(guān)系？（通過(guò)對(duì)“趙爽弦圖”的觀察，使學(xué)生由形識(shí)數(shù)，從幾何圖形中得到重要不等式的代數(shù)形式：當(dāng)且僅

6、當(dāng)，a=b時(shí)，取得等號(hào)。）問(wèn)題3、那么在使用基本不等式時(shí)，對(duì)實(shí)數(shù)a、b有什么要求呢？（）下面請(qǐng)大家打開(kāi)課本第98頁(yè)，看探究中的圖3.4-3。 問(wèn)題5、讓D點(diǎn)動(dòng)起來(lái)，請(qǐng)大家指出等號(hào)成立的條件.鏈接1：幾何畫(huà)板趙爽弦圖 (以數(shù)構(gòu)形，讓學(xué)生在實(shí)際圖形中感受基本不等式的幾何解釋。)（二）探究“探究”，利用基本不等式證明.鏈接2：幾何畫(huà)板單位圓中解讀基本不等式及其變形形式的幾何意義問(wèn)題6、過(guò)C做CE垂直與OD與E，過(guò)O做OF垂直于AB交圓O于F，連接FC,請(qǐng)大家計(jì)算DE和FC的長(zhǎng)度. 剛剛我們計(jì)算出的，在數(shù)學(xué)中稱之為調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)。問(wèn)題7、請(qǐng)大家比較它們的大小關(guān)系，用不等號(hào)將，連接起來(lái). 由,.

7、問(wèn)題8、在這個(gè)鏈狀不等式中，有三處等號(hào)，這三個(gè)等號(hào)能否同時(shí)成立呢？(設(shè)計(jì)意圖：對(duì)圖形進(jìn)行進(jìn)一步分析，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)。讓學(xué)生體會(huì)到我們不僅能以數(shù)構(gòu)形，尋找到數(shù)量關(guān)系的幾何解釋，更重要的是，對(duì)圖形的觀察分析可以以形識(shí)數(shù)，發(fā)現(xiàn)和完備我們的代數(shù)結(jié)論。)問(wèn)題9、當(dāng)然，僅僅通過(guò)觀察得到圖形中的感性認(rèn)識(shí)是不夠的，下面讓我們一起完成上面這個(gè)不等式鏈的代數(shù)證明。問(wèn)題10、首先請(qǐng)一個(gè)同學(xué)說(shuō)說(shuō)你的具體證明要分幾個(gè)步驟？（設(shè)計(jì)意圖：在剛才的探究過(guò)程中，我們對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)得到了拓展，并且對(duì)它的理解在從由形到數(shù)，由數(shù)到形的過(guò)程中，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。）（三）課本變式，利用均值不等式求最值.將

8、課本打開(kāi)到第99頁(yè)的題目做一些修改，大家重新思考。 對(duì)于例2，我們改為：變式1、某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級(jí)污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示），如果池四周圍墻建造單價(jià)為400元/米，中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米，池底建造單價(jià)為，水池所有墻的厚度忽略不計(jì)。（1） 試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)；（2） 若由于地形限制，該池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16米，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使得總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)。 （設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不等式在例題和變式中的應(yīng)用，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)基本不等式的內(nèi)涵及外延的理解，培養(yǎng)了學(xué)生發(fā)散與收斂思維的能力；）

9、（四）歸納總結(jié)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖.（五）方法提煉，數(shù)學(xué)思想升華.六、教學(xué)反思形數(shù)結(jié)合是我們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的重要思想。.本課的設(shè)計(jì)思路是：“從趙爽弦圖引出基本不等式利用代數(shù)知識(shí)證明基本不等式從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度發(fā)掘基本不等式的變形形式數(shù)學(xué)建模，利用基本不等式求最值實(shí)際應(yīng)用，利用基本不等式指導(dǎo)生活實(shí)踐”。從幾何圖形中提煉和挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)，完成從感性認(rèn)識(shí)逐步上升為以抽象概括為主的理性認(rèn)識(shí)，然后指導(dǎo)生活實(shí)踐. 在整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程中，始終體現(xiàn)以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)問(wèn)和引導(dǎo)，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，為增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，在設(shè)計(jì)之初精心安排“趙爽弦圖”的背景，同時(shí)在后續(xù)探究中，不斷的讓學(xué)生從單位圓中發(fā)現(xiàn)基本不等式的變形形式，到后面讓學(xué)生用代數(shù)知識(shí)證明不等式鏈，讓學(xué)學(xué)生探究問(wèn)題的過(guò)程中既復(fù)習(xí)了數(shù)學(xué)知識(shí)，又培養(yǎng)了他們形數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；在思維拓展中，利用課本變式，引導(dǎo)學(xué)生用基本不等式求最值，訓(xùn)練了學(xué)生的建模思想，體會(huì)了不等式的應(yīng)用；最后圍繞電腦屏幕問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)以致用，真正感受到數(shù)學(xué)無(wú)窮的魅力所在；以上種種正好體現(xiàn)出新課程的新理念.成功之處：在本節(jié)課教學(xué)中，一是問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)與生成