教案微分中值定理

1、理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，了解柯西中值定理。、羅爾定理1.1.羅爾定理幾何意義：對于在a,b上每一點都有不垂直于X軸的切線，且兩端點的連線與X軸平行的不間斷的曲線f(X)來說，至少存在一點 C C,使得其切線平行于x軸。從圖中可以看出：符合條件的點出現(xiàn)在最大值和最小值點，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。為應用方便，先介紹費馬(FermatFermat)引理費馬引理設(shè)函數(shù)f(X)在點x0的某鄰域 U(xU(x0) )內(nèi)有定義.并且在x0處可導如果對任意x U(x0)有 f f(X)(X)_f_f (x(xo)()(或 f(x)f(x) -f(x-f(xo).那么f (Xo) =0 . 3.1微

2、分中值定理教學重點羅爾定理、拉格朗日定理的應用。教學難點羅爾定理、拉格朗日定理的應用?；A(chǔ)課備課組教法選擇教 學過教法運用及板書要點A A教學目的證明：不妨設(shè)X豈(X。)時，f(X)Wf(Xo)(若f(X)Kf(Xo)，可以類似地此表 2 2 學時填寫一份，“教學過程”不足時可續(xù)頁證明). .于是對于XgXU(Xg), ,有f(XgTX)乞f(Xg), ,從而當x 0時,f(Xox)f(Xo)；而當.X：O時,f(xf(x。x)_f(xx)_f(xo) )0；根據(jù)函數(shù)f(x)在 焉處可導及極限的保號性的得f (x0)= f *X0) )= = limlimf( +M+M) )_f(x)蘭 0

3、02+Zxf(X。)= f g = limlim 哄 x)x) -哄)o o ,所以 fOfO，證畢. . 心一事定義 導數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點( (或穩(wěn)定點，臨界點).).羅爾定理 如果函數(shù)f(x)滿足：(1 1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù).(2 2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導.(3 3)在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等， 即f(a) = f(b).那么在(a,b)內(nèi) 至少在一點(a :b).使得函數(shù) f(x)f(x)在該點的導數(shù)等于零，即f()=0證明：由于f(x)在a,b|上連續(xù)，因此必有最大值M M 和最小值m，于是有兩種可能的情形：(1)M =m，此時f(x)在a,b上必然取相同的數(shù)值 M M

4、即f(x)二M.由此得f (x)=0.因此，任?。?a,b)，有()=0.(2)Mm,由于f(a) = f(b)，所以 M M 和 m m 至少與一個不等于f (x)在區(qū) 間a,b端點處的函數(shù)值. .不妨設(shè)M =f(a)( (若m = f(a), ,可類似證明),),貝泌定 在(a,b)有一點使f()=M. .因此任取x a,b有f(x)_f(), ,從而由費馬 引理有f)= 0. .證畢【例 1 1】 驗證羅爾定理對 f(x)f(x) =x=x2 2-2x-2x -3-3 在區(qū)間-1,3-1,3上的正確性解顯然f(X)二X - 2x - 3= (x -3)(X 1)在-1,3上連續(xù)，在(-1

5、,3)上可導，且f(-1) =f (3) =0, ,又f(x)=2(x-1), ,取=1,(1(-1,3), ,有f ( ) 0. .說明：1 1 若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足，其結(jié)論可能不成立；2 2使得定理成立的可能多于一個，也可能只有一個. .【例 2 2】 證明方程x5-5x 0有且僅有一個小于 1 1 的正實根. .證明：設(shè)f(x) =x55x+1, ,則f (X)在01上連續(xù)，且f(0=1,f(1) = 3由介值定理存在X)E(0,1)使f(x)=0, ,即X0為方程的小于 1 1 的正實根. .設(shè)另有X(O,1),X1=X。，使f(Xi)=O.因為f(x)在Xo,Xi之間滿

6、足羅 爾定理的條件,所以至少存在一個-(在 X X0,X,X1之間)使得 f(f( =0.=0.但f (x) =5(x1)0,(x乏(0,1), ,矛盾，所以X0為方程的唯一實根. .在羅爾定理中，第三個條件為(iii)(iii)f (a)二f(b)，然而對一般的函數(shù)，此條不滿足，現(xiàn)將該條件去掉，但仍保留前兩個條件，這樣，結(jié)論相應地要改變, 這就是拉格朗日中值定理：定理 2 2:若函數(shù)滿足：朗日中值定理的一個特殊情況，因而用羅爾中值定理來證明之。巴f(b)-f(a)=0b af(b)-f(a)(x_a)顯然，F(xiàn)(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導，且f(b)-f(a)() r()F (a)

7、二f (a)(a - a)二f (a)b af(b)f(a)(b-arf(a)b - a、 拉格朗日(i)(i)f (X)在a,b上連續(xù)；(ii)(ii)f(x)在(a,b)上可導;則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f()二f(b) -f(a)b -a即 f(b)-f(b)- f(a)=f(a)=f f 致)(b)(b - - a)a)若此時，還有f(a)二f(b),f ( H 0?？梢娏_爾中值定理是 拉格證明：上式又可寫為作一個輔助函數(shù)：F (x) = f (x)-b aF(b)二f(b)-(1(1) )=F(a)二F(b)，所以由羅爾中值定理，在(a,b)內(nèi)至少存在一點, ,使得F ( )

8、=0。又F (x)二f (X)-f (b) - f(a)b - af()_f(b)-f(a)=o或b -a注 1 1 :拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣;2 2:定理中的結(jié)論，可以寫成f (b) _ f (a) = f)(b - a) (a : b),此式也稱為拉格朗日公式，其中可寫成:二a v(b a) (01)=f (b) - f (a) = f (a v(b -a)(b -a)若令b = a h, = f (a h)一f (a) = f (a vh)h3 3：若a b，定理中的條件相應地改為：f(x)在b,a上連續(xù)，在(b,a)內(nèi)可導，則結(jié)論為：f(a) - f (b) = f)(a

9、 -b)也可寫成f(b) - f (a)二f ( )(b -a)可見，不論a,b哪個大，其 拉格朗日公式總是一樣的。這時， 為介于a,b之 間的一個數(shù)，(4)(4)中的h不論正負，只要f (x)滿足條件，(4)(4)就成立。4 4 :設(shè)在點X處有一個增量-X，得到點X -X，在以X和X LX為端點的 區(qū)間上應用拉格朗日中值定理，有f(X：=X)- f(X)二f(X n：x) ：X (0：: v : 1)即Ay = f (x Mx)這準確地表達了7和.x這兩個增量間的關(guān)系，故該定理又稱為微分中值定理。5 5：幾何意義：如果曲線y = f (x)在除端點外的每一點都有不平行于y軸的切線，則曲線上至

10、少存在一點，該點的切線平行于兩端點的連線。由定理還可得到下列結(jié)論：推論 1 1:如果y = f (x)在區(qū)間I上的導數(shù)恒為 0 0,則f (x)在I上是一個常數(shù)。證明：在I中任取兩點 知x2(x(：x2),y =f (x)在X!, x2連續(xù)，在(xX2)可導，由拉格朗日中值定理，則在(xX2)內(nèi)至少存在一點，使得f(X2)- f(X1)= f ( )(X2-Xj()=f(b)-f(a)。b -a由假設(shè)可知在I上，f (x)三0,從而在(X1, X2)上，f (x)三0,由于f(x)=f(0)=0，f(x)=1+ln(1 + x) - Ln 1ln(1 + x)即-又由于0 x x 1+ x所以

11、ln(1 + x)1即x In (1 + x) x1 + x注：(1 1)構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)；( 2 2)正三、柯西中值定理定理 3 3:若f(x), F(x)滿足:(1)(1)在a,b上連續(xù)；(2)(2)在(a,b)內(nèi)可導；(3)(3)-x (a,b) F (x) = 0f ( ) _ f(b)- f(a)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點 ，使得F()(b)-F(a)。證明：令(x) =f(b)f (a)F(x)- f(x)，顯然，(x)在a,b上連續(xù),F(b) F(a)且(x)在(a,b)內(nèi)可導，更進一步還有：(a)二(b)，事實上,W = fF(b)-f(b)fF(a)+f(a)=HS(F

12、-F(a)-(f(b)-f(a)=0所以;：(x)滿足羅爾定理的條件，故在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得所以f (x) f(Xo)=0=f(x) = f(x)，可見，f(x)在I上的每一點都有：f(x) = f(X0)(常數(shù))。證：設(shè)f(x) = ln(1 + x),顯然f(x)在0 0 , X X上滿足拉格朗日中值定理x? (0,x)使f(x)- f(0)= f &)x - 0 x【例3】證明當0時亍 ln(1 + x) x. .條件，故至少存在一點( )=0 ,又A(x) =f(b)-f(a)卩(x)_(x)二f (b)-f(a)F牡)_ f()=0因為F(b) _F(a)F(b)

13、 _F(a)f ( ) _ f(b) - f(a)F(廠F(b) -F(a)注 1 1 :柯西中值定理 是拉格朗日中值定理的推廣，事實上，令F(x) =x，就得到拉格朗日中值定理;X =f (x)(a蘭x蘭b)表示曲線c，則其幾何意Y=F (x)義同前一個?！纠?4 4】 證明arcsin x - arccosx(-1 _x_ 1)。21 1證：令f(x) = arcs in x arccosx，f (x)0，胡口心x23T3T由推論知 f(x)=f(x)=常數(shù)！再由f(0)，故arcsinx arccosx = 22【例 5 5】若方程a0 xn aixn亠 亠anx=0有一個正根x = x0，證明方程