2012年12月6日信號與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書 (2)

1、.信 號 與 系 統(tǒng)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書長春工程學(xué)院電氣與信息學(xué)院電工電子實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心二八年二月十日;目 錄MATLAB軟件仿真實(shí)驗(yàn)部分1實(shí)驗(yàn)一 信號的根本運(yùn)算1實(shí)驗(yàn)二 周期信號的傅里葉級數(shù)及Gibbs現(xiàn)象12實(shí)驗(yàn)三 信號抽樣及信號重建19實(shí)驗(yàn)四 信號與系統(tǒng)復(fù)頻域分析26EL-SS-III實(shí)驗(yàn)箱硬件實(shí)驗(yàn)部分31一、硬件資源31二、軟件安裝及使用34三、實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)部分40實(shí)驗(yàn)一 濾波器41實(shí)驗(yàn)二 一階電路的瞬態(tài)響應(yīng)45實(shí)驗(yàn)三 一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及完全響應(yīng)50實(shí)驗(yàn)四 二階電路的瞬態(tài)響應(yīng)52實(shí)驗(yàn)五 二階網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的模擬55實(shí)驗(yàn)六 方波信號的分解59實(shí)驗(yàn)七 方波信號的合成62實(shí)驗(yàn)八 抽樣定理64實(shí)驗(yàn)九

2、 數(shù)據(jù)采集69附錄一 實(shí)驗(yàn)結(jié)果參考70附錄二 AD/DA卡調(diào)試說明83MATLAB軟件仿真實(shí)驗(yàn)部分實(shí)驗(yàn)一 信號的根本運(yùn)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、熟悉掌握常用的用于信號與系統(tǒng)時域仿真分析的MATLAB函數(shù)。2、掌握用MATLAB描繪連續(xù)時間信號和離散時間信號的方法，可以編寫MATLAB程序進(jìn)展仿真。3、熟悉實(shí)現(xiàn)各種信號的時域變換和運(yùn)算的原理和方法，并在MATLAB環(huán)境下仿真。4、利用延拓的方法將時限信號變成一個周期函數(shù)。5、利用MATLAB的卷積工具實(shí)現(xiàn)兩個信號的卷積運(yùn)算。二、實(shí)驗(yàn)原理1、在?信號與系統(tǒng)?課程中，單位階躍信號ut 和單位沖激信號t 是二個非常有用的信號。它們的定義如下 1.1a 1.1b

3、這里分別給出相應(yīng)的簡單的產(chǎn)生單位沖激信號和單位階躍信號的擴(kuò)展函數(shù)。產(chǎn)生單位沖激信號的擴(kuò)展函數(shù)為：function y = deltatdt = 0.01;y = ut-ut-dt/dt;產(chǎn)生單位階躍信號的擴(kuò)展函數(shù)為：% Unit step functionfunction y = uty = t>=0; % y = 1 for t > 0, else y = 0請將這二個MATLAB函數(shù)分別以delta 和u為文件名保存在work文件夾中，以后，就可以像教材中的方法使用單位沖激信號t 和單位階躍信號ut。2、離散時間單位階躍信號un定義為 1.2離散時間單位階躍信號un除了也可以直

4、接用前面給出的擴(kuò)展函數(shù)來產(chǎn)生，還可以利用MATLAB內(nèi)部函數(shù)ones1,N 來實(shí)現(xiàn)。這個函數(shù)類似于zeros1,N，所不同的是它產(chǎn)生的矩陣的所有元素都為1。值得注意的是，利用ones1,N 來實(shí)現(xiàn)的單位階躍序列并不是真正的單位階躍序列，而是一個長度為N單位門Gate序列，也就是un-un-N。但是在一個有限的圖形窗口中，我們看到的還是一個單位階躍序列。3、信號的根本加法和乘法運(yùn)算信號f1與f2之和瞬時和是指同一瞬時兩個信號之值對應(yīng)相加所構(gòu)成的“和信號即f3=f1+f2;信號f1與f2之積是指同一瞬時兩信號之值對應(yīng)相乘所構(gòu)成的“積信號即f3= f1*f2；離散序列相加或相乘可采用對應(yīng)樣點(diǎn)的值分別

5、相加或相乘的方法來計(jì)算。用MATLAB程序仿真下面運(yùn)算：f1=sint，f2=sint，f3=f1+f2,f4=f1*f2;x=0 1 1 1 1 1,h=2 1 3 4 1 1,y=x+h,g=x.*h;連續(xù)信號加法乘法實(shí)現(xiàn)程序 % Programt=0:0.01:4*pi;f1=sint;f2= sint;f3=f1+f2;f4=f1.*f2;subplot221;plott,f1;title'f1 signal'subplot222;plott,f2;title'f2 signal'subplot223;plott,f3;title'f1+f2 s

6、ignal'subplot224;plott,f4;title'f1*f2 signal'運(yùn)行后的結(jié)果：圖1-1 程序運(yùn)行結(jié)果圖離散序列加法乘法實(shí)現(xiàn)程序x=0 1 1 1 1 1;h=2 1 3 4 1 1;y=x+h,g=x.*h;subplot221;stemx;title'x signal'subplot222;stemh;title'h signal'subplot223;stemy;title'x+h signal'subplot224;stemg;title'x.*h signal'運(yùn)行后的結(jié)果

7、：圖1-2 程序運(yùn)行結(jié)果圖4、信號的時移信號的時移可用下面的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描繪：設(shè)一個連續(xù)時間信號為xt，它的時移yt 表示為： yt = xt - t0 1.3其中，t0為位移量。假設(shè)t0為正數(shù)，那么yt等于將xt右移t0秒之后的結(jié)果。反之，假設(shè)t0為負(fù)數(shù)，那么yt等于將xt左移t0秒之后的結(jié)果。在MATLAB中，時移運(yùn)算與數(shù)學(xué)上習(xí)慣表達(dá)方法完全一樣。對給定一個連續(xù)時間信號xt = e-0.5tut，對它分別左移2秒鐘和右移2秒鐘得到信號x1t = e-0.5t+2ut+2和x2t = e-0.5t-2ut-2。 實(shí)現(xiàn)程序：% Programclear,close all,t = -5:0.0

8、1:5;x = exp-0.5*t.*ut; % Generate the original signal xtx1 = exp-0.5*t+2.*ut+2; % Shift xt to the left by 2 second to get x1tx2 = exp-0.5*t-2.*ut-2; % Shift xt to the right by 2 second to get x2tsubplot311plott,x % Plot xtgrid on,title ' x = exp-0.5*t.*ut'subplot 312plot t,x1 % Plot x1tgrid

9、on,title ' x1 = exp-0.5*t+2.*ut+2 'subplot 313plot t,x2 % Plot x2tgrid on,title ' x2 = exp-0.5*t-2.*ut-2'xlabel 'Time t sec'程序運(yùn)行結(jié)果：圖1-3 程序運(yùn)行結(jié)果圖注意：在運(yùn)行上面的程序時，一定在所在的途徑下創(chuàng)立ut的子函數(shù)：function y = uty = t>=0; % y = 1 for t > 0, else y = 0保存名為u.m5、信號的時域反褶對一個信號xn的反褶運(yùn)算在數(shù)學(xué)上表示為 yn = x

10、-n 1.4這種反褶運(yùn)算，用MATLAB實(shí)現(xiàn)起來也是非常簡單的。有多種方法可以實(shí)現(xiàn)信號的反褶運(yùn)算。方法一，修改繪圖函數(shù)plott,x和stemn,x中的時間變量t和n，即用-t和-n替代原來的t和n，這樣繪制出來的圖形，看起來就是原信號經(jīng)時域反褶后的版本。方法二，直接利用原信號與其反褶信號的數(shù)學(xué)關(guān)系式來實(shí)現(xiàn)。這種方法最符合信號反褶運(yùn)算的實(shí)際意義。方法三，使用MATLAB內(nèi)部函數(shù)fliplr來實(shí)現(xiàn)信號的反褶運(yùn)算。其用法如下：y = fliplrx：其中x為原信號xt或xn，而y那么為x的時域反褶。需要說明的是，函數(shù)fliplr對信號作時域反褶，僅僅將信號中各個元素的次序作了一個反轉(zhuǎn)，這種反轉(zhuǎn)處理

11、是獨(dú)立于時間變量t和n的。因此，假設(shè)信號與其時間變量可以用一個數(shù)學(xué)函數(shù)來表達(dá)的話，那么建議將時間變量t和n的范圍指定在一個正負(fù)對稱的時間區(qū)間即可。分別編寫程序?qū)崿F(xiàn)m=sint;n=sin-t;xn=1 2 3 4;x-n,分析所畫信號波形，程序如下：t=0:0.01:4*pi;n=0:1:3;m=sint;x=1 2 3 4;subplot222;plott,m;title'sint signal'subplot221;plot-t,m;title'sin-t signal'subplot224;stemn,x;title'xn signal's

12、ubplot223;stem-n,x;title'x-n signal'程序運(yùn)行結(jié)果：圖1-4 程序運(yùn)行結(jié)果圖6、信號的時域尺度變換 信號xt的時域尺度變換在數(shù)學(xué)描繪為yt = xat， 1.5其中a為任意常數(shù)。根據(jù)a的不同取值，這種時域尺度變換對信號xt具有非常不同的影響。 當(dāng)a = 1時，yt = xt； 當(dāng)a = -1時，yt = x-t，即yt可以通過將xt反褶運(yùn)算而得到； 當(dāng)a > 1時，yt = xat，yt是將xt在時間軸上的壓縮而得到； 當(dāng)0 < a < 1時，yt = xat，yt是將xt在時間軸上的擴(kuò)展而得到； 當(dāng) -1 < a &l

13、t; 0時，yt = xat，yt是將xt在時間軸上的擴(kuò)展同時翻轉(zhuǎn)而得到； 當(dāng) a < -1時，yt = xat，yt是將xt在時間軸上的壓縮同時翻轉(zhuǎn)而得到；由此可見，信號的時域尺度變換，除了對信號進(jìn)展時域壓縮或擴(kuò)展外，還可能包括對信號的時域反褶運(yùn)算。實(shí)際上，MATLAB完成式1.5的運(yùn)算，并不需要特殊的處理，按照數(shù)學(xué)上的常規(guī)方法即能完成。編寫程序?qū)崿F(xiàn)m=sint;n=sin2t;xn=1 2 3 4;x-1/2n,分析所畫信號波形程序如下：%sin2t通過改變圖形的壓縮從sint得來，x-1/2n通過展坐標(biāo)軸從xn得來。t=0:0.01:4*pi;k=2*t;n=0:1:3;g=-2*

14、n;m=sint;s=sink;x=1 2 3 4;subplot222;plott,m;title'sint signal'subplot221;plott,s;title'sin2t signal'subplot224;stemn,x;title'xn signal'subplot223;stemg,x;title'x-1/2n signal'程序運(yùn)行結(jié)果：圖1-5 程序運(yùn)行結(jié)果圖7、周期信號在?信號與系統(tǒng)?課程中，周期信號是一類非常重要的信號。給定一個信號xt或xn，假設(shè)滿足 xt = xt+kT 1.6 xn = xn+k

15、N 1.7那么該信號叫做周期信號。其中，k為任意整數(shù)，T和N為常數(shù)，通常稱為信號的根本周期或最小周期。周期信號可以看作是一個時限的非周期信號經(jīng)過周期延拓之后形成的。在數(shù)字信號處理中，周期延拓這一信號處理方法非常重要。下面的程序段，就是將一個非周期信號x1t = e-2tut-ut-2經(jīng)過周期延拓之后而得到一個周期信號。 程序如下：clear, close all;t = -4:0.001:4;T = 2; x = 0;y = exp-2*t.*ut-ut-2;for k = -2:2; x = x+exp-2*t-k*T.*ut-k*T-ut-k+1*T;end; subplot211;plo

16、tt,y;title'e-2tut-ut-2 signal'subplot212plott,x;title'e-2tut-ut-2延拓后的波形'程序運(yùn)行結(jié)果：圖1-6 程序運(yùn)行結(jié)果圖仔細(xì)閱讀該程序，可以發(fā)現(xiàn)其算法就是： 1.8 由于k無法計(jì)算到無窮，而是以有限值加以替代，反映到有限寬度圖形窗口中得到的效果完全符合要求。8、卷積的計(jì)算 卷積的計(jì)算通常可按下面的五個步驟進(jìn)展以卷積積分為例：1. 該換兩個信號波形圖中的橫坐標(biāo)，由t改為，變成函數(shù)的自變量；2. 把其中一個信號反褶，如把h變成h-；3. 把反褶后的信號做移位，移位量是t，這樣t是一個參變量。在坐標(biāo)系中，t

17、 > 0時圖形右移， t < 0時圖形左移。4. 計(jì)算兩個信號重疊部分的乘積xht-；5. 完成相乘后圖形的積分。對于兩個時限信號Time-limited signal，按照上述的五個步驟，作卷積積分運(yùn)算時，關(guān)鍵是正確確定不同情況下的積分限。只要正確地確定了積分限都能得到正確定積分結(jié)果。盡管如此，在時域中計(jì)算卷積積分，總體上來說是一項(xiàng)比較困難的工作。程序convlution_demo用來演示上述作卷積積分運(yùn)算的五個步驟。本程序較為復(fù)雜，不建議讀者讀懂該程序，只需執(zhí)行這個程序，觀看程序執(zhí)行過程中有關(guān)卷積積分的運(yùn)算過程，以便于理解這五個步驟。借助MATLAB的內(nèi)部函數(shù)conv可以很容易

18、地完成兩個信號的卷積積分運(yùn)算。其語法為：y = convx,h。其中x和h分別是兩個作卷積運(yùn)算的信號，y為卷積結(jié)果。為了正確地運(yùn)用這個函數(shù)計(jì)算卷積，這里有必要對convx,h做一個詳細(xì)說明。convx,h函數(shù)實(shí)際上是完成兩個多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算。例如，兩個多項(xiàng)式p1和p2分別為： 和 這兩個多項(xiàng)式在MATLAB中是用它們的系數(shù)構(gòu)成一個行向量來表示的，假設(shè)用x來表示多項(xiàng)式p1，h表示多項(xiàng)式p2，那么x和h分別為 x = 1 2 3 4 h = 4 3 2 1在MATLAB命令窗口依次鍵入>> x = 1 2 3 4;>> h = 4 3 2 1;>> y=conv

19、x,h在屏幕上得到顯示結(jié)果：y = 4 11 20 30 20 11 4這說明，多項(xiàng)式p1和p2的乘積為： 正如前所述，用MATLAB處理連續(xù)時間信號時，獨(dú)立時間變量t的變化步長應(yīng)該是很小的，假定用符號dt表示時間變化步長，那么，用函數(shù)conv作兩個信號的卷積積分時，應(yīng)該在這個函數(shù)之前乘以時間步長方能得到正確的結(jié)果。也就是說，正確的語句形式應(yīng)為：y = dt*convx,h。對于定義在不同時間段的兩個時限信號xt，t0 t t1，和ht，t2 t t3。 假設(shè)用yt來表示它們的卷積結(jié)果，那么yt的持續(xù)時間范圍要比xt或ht要長，其時間范圍為t0+t2 t t1+t3。這個特點(diǎn)很重要，利用這個特

20、點(diǎn)，在處理信號在時間上的位置時，可以很容易地將信號的函數(shù)值與時間軸的位置和長度關(guān)系保持一致性。根據(jù)給定的兩個連續(xù)時間信號xt = tut-ut-1和ht = ut-ut-1，編寫程序，完成這兩個信號的卷積運(yùn)算，并繪制它們的波形圖。范例程序如下：% Programt0 = -2; t1 = 4; dt = 0.01;t = t0:dt:t1;x = ut-ut-1;h = t.*ut-ut-1;y = dt*convx,h; % Compute the convolution of xt and htsubplot221plott,x, grid on, title'Signal xt&

21、#39;, axist0,t1,-0.2,1.2subplot222plott,h, grid on, title'Signal ht', axist0,t1,-0.2,1.2subplot212t = 2*t0:dt:2*t1; % Again specify the time range to be suitable to the % convolution of x and h.plott,y, grid on, title'The convolution of xt and ht', axis2*t0,2*t1,-0.1,0.6, xlabel'

22、Time t sec'程序運(yùn)行結(jié)果圖1-7 程序運(yùn)行結(jié)果圖在有些時候，做卷積和運(yùn)算的兩個序列中，可能有一個序列或者兩個序列都非常長，甚至是無限長，MATLAB處理這樣的序列時，總是把它看作是一個有限長序列，詳細(xì)長度由編程者確定。實(shí)際上，在信號與系統(tǒng)分析中所遇到的無限長序列，通常都是滿足絕對可和或絕對可積條件的信號。因此，對信號采取這種截短處理盡管存在誤差，但是通過選擇合理的信號長度，這種誤差是可以減小到可以承受的程度的。假設(shè)這樣的一個無限長序列可以用一個數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的話，那么，它的長度可以由編程者通過指定時間變量n的范圍來確定。例如，對于一個單邊實(shí)指數(shù)序列xn = 0.5nun，通過

23、指定n的范圍為0 n 100，那么對應(yīng)的xn的長度為101點(diǎn)，雖然指定更寬的n的范圍，xn將與實(shí)際情況更相符合，但是，注意到，當(dāng)n大于某一數(shù)時，xn之值已經(jīng)非常接近于0了。對于序列xn = 0.5nun，當(dāng)n = 7時，x7 = 0.0078，這已經(jīng)是非常小了。所以，對于這個單邊實(shí)指數(shù)序列，指定更長的n的范圍是沒有必要的。當(dāng)然，不同的無限長序列具有不同的特殊性，在指定n的范圍時，只要可以反映序列的主要特征就可以了。9、關(guān)于MATLAB工具在信號處理中應(yīng)用的補(bǔ)充在繪制信號的波形圖時，有時我們需要將假設(shè)干個圖形繪制在圖一個圖形窗口中，這就需要使用MATLAB的圖形分割函數(shù)subplot，其用法是在

24、繪圖函數(shù)stem或plot之前，使用圖形分割函數(shù)subplotn1,n2,n3，其中的參數(shù)n1，n2和n3的含義是，該函數(shù)將把一個圖形窗口分割成n1xn2個子圖，即將繪制的圖形將繪制在第n3個子圖中。常用的圖形控制函數(shù)axisxmin,xmax,ymin,ymax：圖型顯示區(qū)域控制函數(shù)，其中xmin為橫軸的顯示起點(diǎn)，xmax為橫軸的顯示終點(diǎn)，ymin為縱軸的顯示起點(diǎn)，ymax為縱軸的顯示終點(diǎn)。有時，為了使圖形具有可讀性，需要在所繪制的圖形中，加上一些網(wǎng)格線來反映信號的幅度大小。MATLAB中的grid on/grid off可以實(shí)如今你的圖形中加網(wǎng)格線。grid on：在圖形中加網(wǎng)格線。gri

25、d off：取消圖形中的網(wǎng)格線。x = inputType in signal xt in closed form:三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟實(shí)驗(yàn)前，必須首先閱讀本實(shí)驗(yàn)原理，讀懂所給出的全部范例程序。實(shí)驗(yàn)開場時，先在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行這些范例程序，觀察所得到的信號的波形圖。并結(jié)合范例程序應(yīng)該完成的工作，進(jìn)一步分析程序中各個語句的作用，從而真正理解這些程序。實(shí)驗(yàn)前，一定要針對下面的實(shí)驗(yàn)工程做好相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備工作，包括事先編寫好相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)程序等事項(xiàng)。練習(xí)1：結(jié)合編寫的階躍函數(shù)編寫一門函數(shù)門寬為4幅度為1寫出程序并會出門函數(shù)信號的波形； 練習(xí)2：結(jié)合實(shí)驗(yàn)原理的信號的根本運(yùn)算的程序，編寫程序繪制m=sint;g=s

26、in2t-pi/2;xn=1 2 5 6 3 ;x1/2n-1;的四個信號的波形，并分析圖形的變換過程。練習(xí)3：根據(jù)周期函數(shù)的定義以及實(shí)驗(yàn)原理中延拓的方法實(shí)現(xiàn)脈沖函數(shù)脈沖寬度1周期2幅度1并繪制其圖形；練習(xí)4：利用MATLAB內(nèi)部所帶的卷積工具對兩個門函數(shù)進(jìn)展卷積，分別繪制出兩個門函數(shù)和卷積后的波形，并分析門函數(shù)卷積的規(guī)律，一個門函數(shù)門寬為1幅度1另一個門函數(shù)門寬為2幅度為1，進(jìn)展兩者卷積四、實(shí)驗(yàn)報告要求1、按要求完好書寫你所編寫的全部MATLAB程序2、詳細(xì)記錄實(shí)驗(yàn)過程中的有關(guān)信號波形圖存于自帶的U盤中，圖形要有明確的標(biāo)題。全部的MATLAB圖形應(yīng)該用打印機(jī)打印，然后貼在本實(shí)驗(yàn)報告中的相應(yīng)位

27、置，制止復(fù)印件。3、實(shí)事求是地答復(fù)相關(guān)問題，嚴(yán)禁抄襲。實(shí)驗(yàn)二 周期信號的傅里葉級數(shù)及Gibbs現(xiàn)象一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、掌握連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)的物理意義和分析方法；2、觀察截短傅里葉級數(shù)而產(chǎn)生的“Gibbs現(xiàn)象，理解其特點(diǎn)以及產(chǎn)生的原因；3、掌握連續(xù)周期時間信號傅里葉變換的分析方法及其物理意義；二、實(shí)驗(yàn)原理及方法1、連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)CTFS分析任何一個周期為T1的正弦周期信號，只要滿足狄利克利條件，就可以展開成傅里葉級數(shù)。其中三角傅里葉級數(shù)為： 2.1或： 2.2其中，稱為信號的根本頻率Fundamental frequency，分別是信號的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度

28、，為合并同頻率項(xiàng)之后各正弦諧波分量的幅度和初相位，它們都是頻率的函數(shù)，繪制出它們與之間的圖像，稱為信號的頻譜圖簡稱“頻譜，圖像為幅度譜，圖像為相位譜。三角形式傅里葉級數(shù)說明，假設(shè)一個周期信號xt，滿足狄里克利條件，那么，它就可以被看作是由很多不同頻率的互為諧波關(guān)系harmonically related的正弦信號所組成，其中每一個不同頻率的正弦信號稱為正弦諧波分量 Sinusoid component，其幅度amplitude為。也可以反過來理解三角傅里葉級數(shù)：用無限多個正弦諧波分量可以合成一個任意的非正弦周期信號。指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為： 2.3其中，為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，按如下公式

29、計(jì)算： 2.4指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)告訴我們，假設(shè)一個周期信號xt，滿足狄里克利條件，那么，它就可以被看作是由很多不同頻率的互為諧波關(guān)系harmonically related的周期復(fù)指數(shù)信號所組成，其中每一個不同頻率的周期復(fù)指數(shù)信號稱為根本頻率分量，其復(fù)幅度complex amplitude為。這里“復(fù)幅度complex amplitude指的是通常是復(fù)數(shù)。上面的傅里葉級數(shù)的合成式說明，我們可以用無窮多個不同頻率的周期復(fù)指數(shù)信號來合成任意一個周期信號。然而，用計(jì)算機(jī)或任何其它設(shè)備合成一個周期信號，顯然不可能做到用無限多個諧波來合成，只能取這些有限個諧波分量來近似合成。假設(shè)諧波項(xiàng)數(shù)為N，那么上面

30、的和成式為： 2.5顯然，N越大，所選項(xiàng)數(shù)越多，有限項(xiàng)級數(shù)合成的結(jié)果越逼近原信號xt。本實(shí)驗(yàn)可以比較直觀地理解傅里葉級數(shù)的物理意義，并觀察到級數(shù)中各頻率分量對波形的影響包括“Gibbs現(xiàn)象：即信號在不連續(xù)點(diǎn)附近存在一個幅度大約為9%的過沖，且所選諧波次數(shù)越多，過沖點(diǎn)越向不連續(xù)點(diǎn)靠近。這一現(xiàn)象在觀察周期矩形波信號和周期鋸齒波信號時可以看得很清楚。例題1、給定一個周期為T1 = 2s的連續(xù)時間周期方波信號，如以下圖，其一個周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：112-1-2x(t)t0圖2.1 周期方波信號 解：首先，我們根據(jù)前面所給出的公式，計(jì)算該信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。 因?yàn)椋簑0 = 2/T1 = ，代入上

31、式得到：在MATLAB命令窗口，依次鍵入：>> k = -10:10;>> ak = -j.k.* sink+eps*pi/2./k+eps*pi % The expression of akak = Columns 1 through 4 -0.0000 0 + 0.0354i -0.0000 0 + 0.0455i Columns 5 through 8 -0.0000 0 + 0.0637i -0.0000 0 + 0.1061i Columns 9 through 12 -0.0000 0 + 0.3183i 0.5000 0 - 0.3183i Columns

32、 13 through 16 -0.0000 0 - 0.1061i -0.0000 0 - 0.0637i Columns 17 through 20 -0.0000 0 - 0.0455i -0.0000 0 - 0.0354i Column 21 -0.0000 從MATLAB命令窗口，我們得到了該周期信號從到共21個系數(shù)。緊接著再鍵入以下命令：>> subplot221>> stemk,absak,'k.'>> title'The Fourier series coefficients'>> xlabel&

33、#39;Frequency index k'就得到一幅如右圖所示的描繪與k之間的關(guān)系的圖形。以上是我們通過手工計(jì)算得到的這個周期信號的傅里葉級數(shù)表達(dá)式及其頻譜圖，下面給出完成傅里葉級數(shù)系數(shù)計(jì)算的相應(yīng)MATLAB范例程序。% Program2_1% This program is used to evaluate the Fourier series coefficients ak of a periodic square waveclear, close allT = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;x1 = ut - ut-1-dt; x = 0;for m

34、 = -1:1 % Periodically extend x1t to form a periodic signal x = x + ut-m*T - ut-1-m*T-dt;endw0 = 2*pi/T;N = 10; % The number of the harmonic componentsL = 2*N+1;for k = -N: N; % Evaluate the Fourier series coefficients ak akN+1+k = 1/T*x1*exp-j*k*w0*t'*dt;endphi = angleak; % Evaluate the phase o

35、f ak執(zhí)行程序Program2_1后，就完成了信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的計(jì)算，在命令窗口鍵入>> ak命令窗口就可以顯示傅里葉級數(shù)的21個系數(shù)：ak = Columns 1 through 4 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0354i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0455i Columns 5 through 8 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0637i 0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.1061i Columns 9 through 12 0.0000 - 0.0000i 0.0

36、000 + 0.3183i 0.5000 0.0000 - 0.3183i Columns 13 through 16 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.1061i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0637i Columns 17 through 20 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0455i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0354i Column 21 0.0000 - 0.0000i將這里的ak之值同前面手工計(jì)算得到的ak比較，可見兩者是完全一樣的。再次特別提示：程序中，時間變量的變化步長dt

37、的大小對傅里葉級數(shù)系數(shù)的計(jì)算精度的影響非常大，dt越小，精度越高，本程序中的dt之所以選擇0.00001就是為了進(jìn)步計(jì)算精度。但是，計(jì)算機(jī)所花的計(jì)算時間越長。在程序Program2_1中添加相應(yīng)的計(jì)算| ak |和繪圖語句，就可以繪制出信號的幅度譜和相位譜的譜線圖。2、周期信號的合成以及Gibbs現(xiàn)象從傅里葉級數(shù)的合成式Synthesis equation可以看出，用無窮多個不同頻率和不同振幅的周期復(fù)指數(shù)信號可以合成一個周期信號。然而，我們無法用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)對無窮多個周期復(fù)指數(shù)信號的合成。但是，用有限項(xiàng)來合成卻是可行的，在實(shí)際應(yīng)用中，多半也就是這么做的。然而，這樣做的一個必然結(jié)果，就是引入了誤差

38、。假設(shè)一個周期信號在一個周期有內(nèi)斷點(diǎn)存在，那么，引入的誤差將除了產(chǎn)生紋波之外，還將在斷點(diǎn)處產(chǎn)生幅度大約為9%的過沖Overshot，這種現(xiàn)象被稱為吉伯斯現(xiàn)象Gibbs phenomenon。為了可以觀察到合成信號與原信號的不同以及Gibbs現(xiàn)象，我們可以利用前面已經(jīng)計(jì)算出的傅里葉級數(shù)的系數(shù)，計(jì)算出截短的傅里葉級數(shù)：這個計(jì)算可用L = 2N+1次循環(huán)來完成：其中r作為循環(huán)次數(shù)，x2在循環(huán)之前應(yīng)先清零。完成這一計(jì)算的MATLAB程序?yàn)椋簒2 = 0; L = 2*N+1;for r = 1:L; x2 = x2+akr*expj*r-1-N*w0*t;end;完成了所有的計(jì)算之后，就可以用繪圖函數(shù)

39、：plot和stem將計(jì)算結(jié)果包括x1, x2, absak和angleak以圖形的形式給出，便于我們觀察。觀察吉伯斯現(xiàn)象的最好的周期信號就是圖2-1所示的周期方波信號，這種信號在一個周期內(nèi)有兩個斷點(diǎn)，用有限項(xiàng)級數(shù)合成這個信號時，吉伯斯現(xiàn)象的特征非常明顯，便于觀察。例題2：修改程序Program2_1，使之可以用有限項(xiàng)級數(shù)合成例題2-1所給的周期方波信號，并繪制出原始周期信號、合成的周期信號、信號的幅度譜和相位譜。為此，只要將前述的for循環(huán)程序段和繪圖程序段添加到程序Program2_1中即可，范例程序如下：% Program2_2% This program is used to comp

40、ute the Fourier series coefficients ak of a periodic square waveclear,close allT = 2; dt = 0.00001; t = -2:dt:2;x1 = ut-ut-1-dt; x = 0;for m = -1:1 x = x + ut-m*T - ut-1-m*T-dt; % Periodically extend x1t to form a periodic signalendw0 = 2*pi/T;N = input'Type in the number of the harmonic compone

41、nts N = :'L = 2*N+1;for k = -N:1:N; akN+1+k = 1/T*x1*exp-j*k*w0*t'*dt;endphi = angleak;y=0;for q = 1:L; % Synthesiz the periodic signal yt from the finite Fourier series y = y+akq*expj*-L-1/2+q-1*2*pi*t/T;end;subplot221,plott,x, title'The original signal xt', axis-2,2,-0.2,1.2,subplo

42、t223, plott,y, title'The synthesis signal yt', axis-2,2,-0.2,1.2, xlabel'Time t',subplot222k=-N:N; stemk,absak,'k.', title'The amplitude |ak| of xt', axis-N,N,-0.1,0.6subplot224stemk,phi,'r.', title'The phase phik of xt', axis-N,N,-2,2, xlabel'Inde

43、x k'N=12時，程序運(yùn)行結(jié)果：圖2-1 程序運(yùn)行結(jié)果在用這個程序觀察吉伯斯現(xiàn)象時，可以反復(fù)執(zhí)行該程序，每次執(zhí)行時，輸入不同之N值，比較所的圖形的區(qū)別，由此可以觀察到吉伯斯現(xiàn)象的特征。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和要求實(shí)驗(yàn)前，必須首先閱讀本實(shí)驗(yàn)原理，讀懂所給出的全部范例程序。實(shí)驗(yàn)開場時，先在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行這些范例程序，觀察所得到的信號的波形圖。并結(jié)合范例程序應(yīng)該完成的工作，進(jìn)一步分析程序中各個語句的作用，從而真正理解這些程序。實(shí)驗(yàn)前，一定要針對下面的實(shí)驗(yàn)工程做好相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備工作，包括事先編寫好相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)程序等事項(xiàng)。練習(xí)1、周期信號的傅里葉級數(shù)給定如下兩個周期信號：1、手工計(jì)算x1t傅里葉級數(shù)的系數(shù)：

44、信號x1t 在其主周期內(nèi)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：計(jì)算x1t 的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的計(jì)算過程如下： 僅供參考 x1t=t+1*ut+1-ut+1-t*ut-ut-1計(jì)算小程序：k = -10:10;ak = 的表達(dá)式 % The expression of ak通過計(jì)算得到的x1t的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是：2、用MATLAB計(jì)算的傅里葉級數(shù)的系數(shù)ak從-10到10共21個系數(shù)。仿照程序Program2_1，編寫程序以計(jì)算x1t的傅里葉級數(shù)的系數(shù)。程序如下：執(zhí)行程序后，就完成了信號的傅里葉級數(shù)的系數(shù)的計(jì)算，在命令窗口鍵入>> ak命令窗口就可以顯示傅里葉級數(shù)的21個系數(shù)：3、通過執(zhí)行程序

45、所得到的x1t的傅里葉級數(shù)的ak從-10到10共21個系數(shù)與你手工計(jì)算的ak相比較，是否一樣，如有不同，是何原因造成的？答：練習(xí)2、反復(fù)執(zhí)行程序Program2_2，每次執(zhí)行該程序時，輸入不同的N值，并觀察所合成的周期方波信號。分析吉伯斯現(xiàn)象的特點(diǎn)，觀察合成的信號波形中，是否會產(chǎn)生Gibbs現(xiàn)象？為什么？； 答：四、實(shí)驗(yàn)報告要求1、按要求完好書寫你所編寫的全部MATLAB程序2、詳細(xì)記錄實(shí)驗(yàn)過程中的有關(guān)信號波形圖存于自帶的U盤中，圖形要有明確的標(biāo)題。全部的MATLAB圖形應(yīng)該用打印機(jī)打印，然后貼在本實(shí)驗(yàn)報告中的相應(yīng)位置，制止復(fù)印件。3、實(shí)事求是地答復(fù)相關(guān)問題，嚴(yán)禁抄襲。本實(shí)驗(yàn)完成時間： 年 月

46、 日實(shí)驗(yàn)三 信號抽樣及信號重建一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、進(jìn)一步理解信號的抽樣及抽樣定理；2、進(jìn)一步掌握抽樣信號的頻譜分析；3、掌握和理解信號抽樣以及信號重建的原理；二、實(shí)驗(yàn)原理及方法1、信號的抽樣及抽樣定理抽樣Sampling，就是從連續(xù)時間信號中抽取一系列的信號樣本，從而，得到一個離散時間序列Discrete-time sequence，圖3-1給出了信號理想抽樣的原理圖：圖3-1 (a) 抽樣原理圖，(b) 帶限信號的頻譜(a)(b)上圖中，假設(shè)連續(xù)時間信號是一個帶限信號Bandlimited Signal，其頻率范圍為，抽樣脈沖為理想單位沖激串Unit Impulse Train，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

47、 3.1由圖可見，模擬信號xt經(jīng)抽樣后，得到已抽樣信號Sampled Signalxst，且： 3.2將pt的數(shù)學(xué)表達(dá)式代入上式得到： 3.3顯然，已抽樣信號xst 也是一個沖激串，只是這個沖激串的沖激強(qiáng)度被xnTs 加權(quán)了。從頻域上來看，pt 的頻譜也是沖激序列，且為： 3.4根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理，時域兩個信號相乘，對應(yīng)的積的傅里葉變換等于這兩個信號的傅里葉變換之間的卷積。所以，已抽樣信號xst的傅里葉變換為： 3.5表達(dá)式4.5告訴我們，假設(shè)信號xt的傅里葉變換為Xjw，那么已抽樣信號xst 的傅里葉變換Xsjw等于無窮多個加權(quán)的移位的Xjw之和，或者說，已抽樣信號的頻譜等于原連續(xù)

48、時間信號的頻譜以抽樣頻率ws為周期進(jìn)展周期復(fù)制的結(jié)果。如圖3-2所示：圖3-2 信號抽樣及其頻譜圖 3.6在MATLAB中，對信號抽樣的仿真，例題 設(shè)連續(xù)時間信號為一個正弦信號 xt = cos0.5t，抽樣周期為Ts = 1/4秒，編程序繪制信號xt和已抽樣信號xn的波形圖。范例程序Sampling如下：% Samplingclear, close all,t = 0:0.01:10;Ts = 1/4; % Sampling periodn = 0:Ts:10; % Make the time variable to be discretex = cos0.5*pi*t;xn = cos0.

49、5*pi*n; % Samplingsubplot221plott,x, title'A continuous-time signal xt', xlabel'Time t'subplot222stemn,xn,'.', title'The sampled version xn of xt', xlabel'Time index n'執(zhí)行該程序后，得到的波形圖如圖3-3所示。圖3-3 連續(xù)時間信號及其抽樣后的離散時間序列在這個范例程序中，先將連續(xù)時間t進(jìn)展離散化，使之成為以Ts = 1/4秒的離散時間n，然后，將n

50、代入到信號xt 的數(shù)學(xué)表達(dá)式中計(jì)算，就完成了抽樣過程，且得到了抽樣后的離散時間序列xn。2、 信號抽樣過程中的頻譜混疊為了可以觀察到已抽樣信號的頻譜是否會存在混疊現(xiàn)象，或者混疊程度有多么嚴(yán)重，有必要計(jì)算并繪制出已抽樣信號的傅里葉變換。根據(jù)式3.5可計(jì)算出已抽樣信號的頻譜。其中，主要利用了一個for循環(huán)程序完成周期延拓運(yùn)算。% Programclear, close all,tmax = 4; dt = 0.01; t = 0:dt:tmax;Ts = 1/10; ws = 2*pi/Ts;w0 = 20*pi; dw = 0.1;w = -w0:dw:w0;n = 0:1:tmax/Ts; x = exp-4*t.*ut;xn = exp-4*n*Ts;subplot221plott,x, title'A conti