隨機(jī)過(guò)程習(xí)題及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、 1.1設(shè)二維隨機(jī)變量(,)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為： 試求:在時(shí),求。解： 當(dāng)時(shí)， 1.2 設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從幾何分布： 試求的特征函數(shù)，并以此求其期望與方差。解： 所以： 2.1 2.2 設(shè)隨機(jī)過(guò)程，其中是常數(shù)，與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從區(qū)間上的均勻分布，服從瑞利分布，其概率密度為 試證明為寬平穩(wěn)過(guò)程。解：（1） 與無(wú)關(guān) （2） ， 所以 （3） 只與時(shí)間間隔有關(guān)，所以為寬平穩(wěn)過(guò)程。2.32.42.53.1一隊(duì)學(xué)生順次等候體檢。設(shè)每人體檢所需的時(shí)間服從均值為2分鐘的指數(shù)分布并且與其他人所需時(shí)間相互獨(dú)立，則1小時(shí)內(nèi)平均有多少學(xué)生接受過(guò)體檢？在這1小時(shí)內(nèi)最多有4

2、0名學(xué)生接受過(guò)體檢的概率是多少（設(shè)學(xué)生非常多，醫(yī)生不會(huì)空閑） 解：令表示時(shí)間內(nèi)的體檢人數(shù)，則為參數(shù)為30的poisson過(guò)程。以小時(shí)為單位。則。3.2在某公共汽車起點(diǎn)站有兩路公共汽車。乘客乘坐1,2路公共汽車的強(qiáng)度分別為，當(dāng)1路公共汽車有人乘坐后出發(fā)；2路公共汽車在有人乘坐后出發(fā)。設(shè)在0時(shí)刻兩路公共汽車同時(shí)開(kāi)始等候乘客到來(lái)，求（1）1路公共汽車比2路公共汽車早出發(fā)的概率表達(dá)式；（2）當(dāng)=，=時(shí)，計(jì)算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽車所到來(lái)的人數(shù)分別為參數(shù)為、的poisson過(guò)程，令它們?yōu)椤?。表?的發(fā)生時(shí)刻，表示=的發(fā)生時(shí)刻。 （2）當(dāng)=、=時(shí)，法二：（1）乘車到來(lái)的人數(shù)可以看作參數(shù)為

3、+的泊松過(guò)程。令、分別表示乘坐公共汽車1、2的相鄰兩乘客間到來(lái)的時(shí)間間隔。則、分別服從參數(shù)為、的指數(shù)分布，現(xiàn)在來(lái)求當(dāng)一個(gè)乘客乘坐1路汽車后，下一位乘客還是乘坐1路汽車的概率。故當(dāng)一個(gè)乘客乘坐1路汽車后，下一位乘客乘坐2路汽車的概率為1-上面的概率可以理解為：在乘客到來(lái)的人數(shù)為強(qiáng)度+的泊松過(guò)程時(shí)，乘客分別以概率乘坐公共汽車1，以的概率乘坐公共汽車2。將乘客乘坐公共汽車1代表試驗(yàn)成功，那么有：（2）當(dāng)=、=時(shí)3.3設(shè)，是個(gè)相互獨(dú)立的Poisson過(guò)程，參數(shù)分別為。記為全部個(gè)過(guò)程中，第一個(gè)事件發(fā)生的時(shí)刻。（1）求的分布；（2）證明是Poisson過(guò)程，參數(shù)為；（3）求當(dāng)個(gè)過(guò)程中，只有一個(gè)事件發(fā)生時(shí)，

4、它是屬于的概率。解：（1）記第個(gè)過(guò)程中第一次事件發(fā)生的時(shí)刻為，。則。由服從指數(shù)分布，有（2）方法一：由為相互獨(dú)立的poisson過(guò)程，對(duì)于。這里利用了公式所以是參數(shù)為的poisson過(guò)程。方法二：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得證。（3） 3.4 證明poisson過(guò)程分解定理：對(duì)于參數(shù)為的poisson過(guò)程，可分解為個(gè)相互獨(dú)立的poisson過(guò)程，參數(shù)分別為，。解：對(duì)過(guò)程，設(shè)每次事件發(fā)生時(shí)，有個(gè)人對(duì)此以概率進(jìn)行記錄，且，同時(shí)事件的發(fā)生與被記錄之間相互獨(dú)立，個(gè)人的行為也相互獨(dú)立，以表示為到t時(shí)刻第i個(gè)人所記錄的數(shù)目?，F(xiàn)在來(lái)證明是參數(shù)為的poisson過(guò)程。獨(dú)立性證明：考慮兩種情況的情形，即只存在兩個(gè)人記錄，一個(gè)

5、以概率，一個(gè)以概率記錄，則是參數(shù)為的poisson過(guò)程，是參數(shù)為的poisson過(guò)程。得證。3.5 設(shè)是參數(shù)為3的poisson過(guò)程，試求（1）；（2）；（3）解：（1） （2） （3）3.6 對(duì)于poisson過(guò)程，證明時(shí)，解：3.7 設(shè)和分別是參數(shù)為，的Poisson過(guò)程，另，問(wèn)是否為Poisson過(guò)程，為什么？解：不是，的一維特征函數(shù)為：參數(shù)為的Poisson過(guò)程的特征函數(shù)的形式為，所以不是poisson過(guò)程。3.8 計(jì)算，的聯(lián)合分布解：3.9 對(duì)，計(jì)算。解： 3.10 設(shè)某醫(yī)院專家門診，從早上8:00開(kāi)始就已經(jīng)有無(wú)數(shù)患者等候，而每個(gè)專家只能為一名患者服務(wù)，服務(wù)的平均時(shí)間為20分鐘，且每

6、名患者的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的指數(shù)分布。則8:00到12:00門診結(jié)束時(shí)接受過(guò)治療的患者平均在醫(yī)院停留了多長(zhǎng)時(shí)間。解：從門診部出來(lái)的患者可以看作服從參數(shù)為3的泊松過(guò)程（以小時(shí)為單位）。 則在小時(shí)內(nèi)接受治療的患者平均停留時(shí)間為：當(dāng)時(shí)，平均等待停留時(shí)間為。.11 是強(qiáng)度函數(shù)為的非齊次Poisson過(guò)程，是事件發(fā)生之間的間隔時(shí)間，問(wèn)：（1）諸是否獨(dú)立?（2）諸是否同分布？解：（1）。 從上面看出、不獨(dú)立。 以此類推，不獨(dú)立。 （2）； 分布不同。3.12 設(shè)每天過(guò)某路口的車輛數(shù)為：早上7:00 8:00,11:0012:00為平均每分鐘2輛，其他時(shí)間平均每分鐘1輛。則早上7:3011:20平均有多少輛

7、車經(jīng)過(guò)此路口，這段時(shí)間經(jīng)過(guò)路口的車輛數(shù)超過(guò)500輛的概率是多少？解：（1）記時(shí)刻7:00為時(shí)刻0，以小時(shí)為單位。經(jīng)過(guò)路口的車輛數(shù)為一個(gè)非齊次poisson過(guò)程，其強(qiáng)度函數(shù)如下： 則在7：3011：20時(shí)間內(nèi)，即時(shí)， 代表這段時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車輛數(shù)，它服從均值為如下的poisson分布。即：，在給定的時(shí)間內(nèi)平均通過(guò)的車輛數(shù)為280。 （2）。3.13 0,t時(shí)間內(nèi)某系統(tǒng)受到?jīng)_擊的次數(shù)，形成參數(shù)為的poisson過(guò)程。每次沖擊造成的損害，獨(dú)立同指數(shù)分布，均值為。設(shè)損害會(huì)積累，當(dāng)損害超過(guò)一定極限A時(shí)，系統(tǒng)將終止運(yùn)行。以記系統(tǒng)運(yùn)行的時(shí)間（壽命），試求系統(tǒng)的平均壽命。解：在內(nèi)某系統(tǒng)受到的總損害為一個(gè)復(fù)合po

8、isson過(guò)程，其中。 系統(tǒng)的平均壽命為14 某商場(chǎng)為調(diào)查顧客到來(lái)的客源情況，考察了男女顧客來(lái)商場(chǎng)的人數(shù)。假設(shè)男女顧客來(lái)商場(chǎng)的人數(shù)分別獨(dú)立地服從每分鐘2人與每分鐘3人的泊松過(guò)程。（1） 試求到某時(shí)刻時(shí)到達(dá)商場(chǎng)的總?cè)藬?shù)的分布；（2） 在已知時(shí)刻以有50人到達(dá)的條件下，試求其中恰有30位婦女的概率，平均有多少個(gè)女性顧客？解：設(shè)分別為（0,t）時(shí)段內(nèi)到達(dá)商場(chǎng)的男顧客數(shù)、女顧客數(shù)及總?cè)藬?shù)。（1） 由已知，為強(qiáng)度的泊松過(guò)程，為強(qiáng)度的泊松過(guò)程；故，為強(qiáng)度的泊松過(guò)程；于是， （5分）（2） （5分） 一般地， 故平均有女性顧客 人 （4分） 4.1（1）對(duì) （2）錯(cuò) 當(dāng)時(shí)，有可能小于t（3）錯(cuò)，時(shí)，可能等于

9、n。4.2 更新過(guò)程的來(lái)到間隔服從參數(shù)為的分布。（1）試求的分布；（2）試證。解：（1） （2）由強(qiáng)大數(shù)定律： ，以概率1成立。 ， ，。 則：，故。4.3 對(duì)于Poisson過(guò)程證明定理4.1. 解： ； 。4.4 設(shè)，計(jì)算，。解：（1）（2） （3）4.5 一個(gè)過(guò)程有個(gè)狀態(tài)，最初在狀態(tài)1，停留時(shí)間為，離開(kāi)1到達(dá)2停留時(shí)間為，再達(dá)到3，最后從回到1，周而復(fù)始，并且過(guò)程對(duì)每一個(gè)狀態(tài)停留時(shí)間的長(zhǎng)度是相互獨(dú)立的。試求設(shè)且為非格點(diǎn)分布。解：記過(guò)程處于狀態(tài)i記為開(kāi)，從狀態(tài)i+1到n，經(jīng)過(guò)n再回到1，再到i-1這一過(guò)程記為關(guān)。 則有，。 設(shè)初始狀態(tài)從1第一次到i需要時(shí)間。 則 。4.6 用交錯(cuò)更新過(guò)程原理計(jì)算t時(shí)刻的壽命與剩余年齡的極限分布。解：為t時(shí)刻剩余壽命，為t時(shí)刻年齡。 若假設(shè)更新過(guò)程是將一個(gè)部件投入使用而一旦失效即更換所產(chǎn)生的，則表示在時(shí)刻t部件所使用的年齡，而表示它的剩余壽命。 令，即表示兩次相鄰更新的時(shí)間間隔，我們要計(jì)算，為此我們將一個(gè)開(kāi)-關(guān)的循環(huán)對(duì)應(yīng)于一個(gè)更新區(qū)間，且若在t時(shí)刻的年齡小于或等于x，就說(shuō)系統(tǒng)在時(shí)刻t“開(kāi)著”。換言之，在兩次相鄰的時(shí)間為的時(shí)間內(nèi)，前x時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)“開(kāi)著”，而其余時(shí)間“關(guān)著”。 那么若的