精華講義數(shù)學(xué)人教版高二必修五不等式

1、不等式（一）不等式與不等關(guān)系1、應(yīng)用不等式（組）表示不等關(guān)系；不等式的主要性質(zhì)：(1)對(duì)稱性：(2)傳遞性：(3)加法法則：；(同向可加)(4)乘法法則：；(同向同正可乘)(5)倒數(shù)法則：(6)乘方法則：(7)開(kāi)方法則：2、應(yīng)用不等式的性質(zhì)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小：作差法（作差變形判斷符號(hào)結(jié)論）3、應(yīng)用不等式性質(zhì)證明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表： 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根 無(wú)實(shí)根 R 2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式

2、，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。3、不等式的恒成立問(wèn)題：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上（三）線性規(guī)劃1、用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法由于對(duì)在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)()，把它的坐標(biāo)（)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)

3、都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）3、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在上述問(wèn)題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=ax+by是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解

4、組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解4、求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解的步驟：（1）尋找線性約束條件，列出線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）依據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)作參照直線ax+by0，在可行域內(nèi)平移參照直線求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解（四）基本不等式1若a,bR,則a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).2如果a,b是正數(shù)，那么變形： 有:a+b；ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).3如果a,bR+,a·b=P(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),a+b有最小值;如果a,bR+,且a+b=S(定值),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),ab有最大值

5、.注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，可以求它們和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的重要條件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式有：（1）(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用) ； 平方平均算術(shù)平均幾何平均調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：（2）a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）；（3）若，則（糖水的濃度問(wèn)題）。不等式主要題型講解（一） 不等式與不等關(guān)系題型一：不等式的性質(zhì)1. 對(duì)于實(shí)數(shù)中，給出下列命題： ； ； ； ； ； ； ； ，則。其中正確的命題是_題型二：比較大?。ㄗ鞑罘ā⒑瘮?shù)單調(diào)性、中間量比較，基本不等式）2. 設(shè)，試比

6、較的大小3. 比較1+與的大小4. 若，則的大小關(guān)系是 .（二） 解不等式題型三：解不等式5. 解不等式 6. 解不等式。7. 解不等式8. 不等式的解集為x|-1x2，則=_, b=_9. 關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為10. 解關(guān)于x的不等式題型四：恒成立問(wèn)題11. 關(guān)于x的不等式a x2+ a x+10 恒成立，則a的取值范圍是_ 12. 若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.13. 已知且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍。（三）基本不等式題型五：求最值14. （直接用）求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx15. （配湊項(xiàng)與系數(shù)）（1）已知，求函數(shù)的最大值。（

7、2）當(dāng)時(shí)，求的最大值。16. （耐克函數(shù)型）求的值域。注意：在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。17. （用耐克函數(shù)單調(diào)性）求函數(shù)的值域。18. （條件不等式）（1） 若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 .（2） 已知，且，求的最小值。（3） 已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x 21，求x的最大值.（4） 已知a，b為正實(shí)數(shù)，2baba30，求函數(shù)y的最小值.題型六：利用基本不等式證明不等式19. 已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：20. 正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc21. 已知a、b、c，且。求證：題型七：均值定理實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題：22. 某工廠擬建

8、一座平面圖形為矩形且面積為200m2的三級(jí)污水處理池（平面圖如圖），如果池外圈周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建筑單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)，試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。（四）線性規(guī)劃題型八：目標(biāo)函數(shù)求最值23. 滿足不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最大值24. 已知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為、,并且,則的取值范圍是 25. 已知滿足約束條件： 則的最小值是26. 已知變量（其中a>0）僅在點(diǎn)（3，0）處取得最大值，則a的取值范圍為 。27. 已知實(shí)數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)等于（ ）題型九：實(shí)際問(wèn)題28. 某

9、餅店制作的豆沙月餅每個(gè)成本35元，售價(jià)50元；鳳梨月餅每個(gè)成本20元，售價(jià)30元?，F(xiàn)在要將這兩種月餅裝成一盒，個(gè)數(shù)不超過(guò)10個(gè)，售價(jià)不超過(guò)350元，問(wèn)豆沙月餅與鳳梨月餅各放幾個(gè)，可使利潤(rùn)最大？又利潤(rùn)最大為多少？復(fù)習(xí)不等式的基本知識(shí)參考答案高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容練習(xí)-不等式1. ；2. ；3. 當(dāng)或時(shí)，1+；當(dāng)時(shí)，1+；當(dāng)時(shí)，1+4. （ R>Q>P。5. 6. 或；7. ）；8. 不等式的解集為x|-1x2，則=_-6_, b=_6_9. ）.10. 解：當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為；2分當(dāng)a0時(shí)，a(x)(x1)0；當(dāng)a0時(shí)，原不等式等價(jià)于(x)(x1)0不等式的解集為；6分當(dāng)0a1時(shí)，1

10、，不等式的解集為；8分當(dāng)a1時(shí)，1，不等式的解集為；10分當(dāng)a1時(shí)，不等式的解為12分11. _0x4_12. ）13. 14. 解：（1）y3x 22 值域?yàn)椋?） （2）當(dāng)x0時(shí)，yx22；當(dāng)x0時(shí)， yx= （ x）2=2值域?yàn)椋ǎ?2，+）15. （1）解，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。（2）當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。16. 解析一： 當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）。解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2即x1時(shí)取“”號(hào)）。17. 解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

11、因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?8. （條件不等式）（1） 解： 都是正數(shù)，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是6（2） 解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)，（3） 解：xx x·下面將x，分別看成兩個(gè)因式：x· 即x·x （4） 解：法一：a， ab·b 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 當(dāng)且僅當(dāng)t4，即b3，a6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u則u22u300， 5u3 3，ab18，y19. 已知為兩兩不相等的

12、實(shí)數(shù)，求證：20. 正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc21. 已知a、b、c，且。求證：證明：a、b、c，。同理，。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。22. 解：若設(shè)污水池長(zhǎng)為x米，則寬為 （米）水池外圈周壁長(zhǎng)： （米）中間隔墻長(zhǎng)： （米）池底面積：200（米2）目標(biāo)函數(shù)： 23. 424. 25. 126. 。27. 5 28. 解：設(shè)一盒內(nèi)放入x個(gè)豆沙月餅，y個(gè)鳳梨月餅，利潤(rùn)為z元 則x，y必須滿足， 目標(biāo)函數(shù)為z15x10y 在可行區(qū)內(nèi)的頂點(diǎn)附近zf ( x，y ) 的最大值， 所以，一盒內(nèi)裝2個(gè)豆沙月餅8個(gè)鳳梨月餅或4個(gè)豆沙月餅5

13、個(gè)鳳梨月餅，可得最大利潤(rùn)110元。絕對(duì)值不等式的解法：方法1：利用絕對(duì)值性質(zhì)： 一般的： 特別地： 練習(xí)1：不等式的解集為_(kāi)2、 解不等式3、不等式的解集是 4、不等式的解集是_方法2：利用絕對(duì)值定義：將不等式同解變形為不等式組（即分類討論思想）上面5題都可用此法方法3：零點(diǎn)分區(qū)間法，（含有多個(gè)絕對(duì)值的不等式時(shí)可用此法）練習(xí)1、解不等式 . 方法4：平方法：若不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)，對(duì)其兩邊同時(shí)平方，再解不等式。（切記：若用平方法，則不等式兩邊必須都是非負(fù)數(shù),只有這樣，才能運(yùn)用平方法。） 練習(xí)1、不等式的解集為_(kāi)2、不等式的解集是 絕對(duì)值不等式性質(zhì)定理的運(yùn)用：，特別是用此定理求函數(shù)的最值。練習(xí)1、不等式對(duì)任意