1.3.3函數的最大(小)值與導數

1、aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0如果在某個區(qū)間內恒有如果在某個區(qū)間內恒有 ,則則 為常數為常數.0)( xf)(xf設函數設函數y=f(x) 在在 某個區(qū)間某個區(qū)間 內可導，內可導，f(x)為為增函數增函數f(x)為為減函數減函數復習一、函數單調性與導數關系復習一、函數單調性與導數關系yxaob yf x(圖一圖一)0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bf極大值極大值f(b)點點a a叫做函數叫做函數y=f(x)的的極小值點極小值點，f(a a)叫做函數叫做函數y=f(x)的的極小值極小值.點點b b叫做函數叫做函數y=f(x)的的極大值

2、點極大值點，f(b b)叫做函數叫做函數y=f(x)的的極大值極大值.極小值點極小值點、極大值點極大值點統(tǒng)稱統(tǒng)稱極值點極值點，極大值極大值和和極小值極小值統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值極值(極值即極值即峰谷處峰谷處的值）的值）.極小值極小值f(a)復習二、函數的極值定義復習二、函數的極值定義(2)求導數f (x)；(3)求方程f (x）=0的根； (4)把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格檢查f (x)在方程根左右的符號如果左正右負（+ -），那么f(x)在這個根處取得極大值； 如果左負右正（- +），那么f(x)在這個根處取得極小值；(1) 確定函數的定義域；復習三、用導數法求解函數極值的復習三、用導數法求

3、解函數極值的步驟：步驟：4復習四、知識回顧最值問題復習四、知識回顧最值問題 一般地，設函數一般地，設函數y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數存在實數M滿足：滿足： 1最大值最大值 （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數是函數y=f(x)的的最大值最大值 52最小值最小值 一般地，設函數一般地，設函數y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數存在實數M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) =

4、M那么，稱那么，稱M是函數是函數y=f(x)的的最小值最小值 新課導入新課導入 觀察下圖，點觀察下圖，點a與點與點b處的函數值，與他處的函數值，與他們附近點的函數值有什么關系？們附近點的函數值有什么關系？ab)(bf)(af觀察下圖中的曲線觀察下圖中的曲線 a點的函數值點的函數值f(a)比其他點的函比其他點的函數值都大數值都大b點的函數值點的函數值f(b)比其他比其他點的函數值都小點的函數值都小 在某些問題中，往往關心的是函數在在某些問題中，往往關心的是函數在整個定義域區(qū)間上，哪個值最大或最小的整個定義域區(qū)間上，哪個值最大或最小的問題，這就是我們通常所說的問題，這就是我們通常所說的最值問題最值

5、問題. 導數在研究函數中的應導數在研究函數中的應用用二、新課最大值與最小值 觀察右邊一個定義在觀察右邊一個定義在區(qū)間區(qū)間a,b上的函數上的函數y=f(x)的圖象，你能找出函數的圖象，你能找出函數y=f（x）在區(qū)間）在區(qū)間a，b上上的最大值、最小值嗎？的最大值、最小值嗎？發(fā)現(xiàn)圖中， _是極小值，_是極大值，在區(qū)間上的函數的最大值是_，最小值是_。f(x2)f(b)f(x1)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6f(x3)f(x5)f(x4) f(x6)f(a) 極值反映的是函數在某一點附近的極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域的局部性質，而不是函數在整個定義域

6、的性質性質.但是，在解決實際問題或在研究函但是，在解決實際問題或在研究函數性質時，往往更關心函數在某個區(qū)間數性質時，往往更關心函數在某個區(qū)間上哪個值最大，哪個值最??？上哪個值最大，哪個值最?。刻骄刻骄?你能找出函數你能找出函數y=f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a，b上的最大值上的最大值最小值嗎？最小值嗎？ 從圖從圖3.3-13可以看出，函數可以看出，函數y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的最大值是上的最大值是f(a)，最小值是最小值是 .3f x xfy abxyoa1x2x3xo4x5xbxy xfy 143 . 3圖153 . 3圖 在上圖中，觀察在上圖中，觀察a,b上的函數上的函數y=f(x)的圖

7、像，它們在的圖像，它們在a,b上是否有最大值上是否有最大值最小值？如果有，分別是多少？最小值？如果有，分別是多少？ 一般地，如果在區(qū)間一般地，如果在區(qū)間a,b上函上函數數y=f(x)的圖像是一條的圖像是一條連續(xù)不斷連續(xù)不斷的的曲線，那么它必有曲線，那么它必有最大值最大值和和最小值最小值.觀察下列圖形,你能找出函數的最值嗎？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在開區(qū)間內在開區(qū)間內的連續(xù)函數的連續(xù)函數不一定有最不一定有最大值與最小大值與最小值值. 在閉區(qū)間在閉區(qū)間上的連續(xù)函上的連續(xù)函數必有最大數必有最大值與最小值值與最

8、小值因此：該函數沒因此：該函數沒有最值。有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函數在如何求出函數在a,b上的最值？上的最值？一般的如果在區(qū)間，一般的如果在區(qū)間，a,b上函數上函數y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。必有最大值和最小值。 (2) 將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)(端點處端點處) 比較比較,其中最大的一個為最大值，最小的其中最大的一個為最大值，最小的 一個最小值一個最小值. 求求f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的最值的

9、步驟：上的最值的步驟：(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內極值內極值(極大值或極小值極大值或極小值)；注意注意:1.在定義域內在定義域內, 最值唯一最值唯一;極值不唯一極值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. 21233,3fxxx 解：1、求出所有導數為、求出所有導數為0的點；的點；2、計算；、計算；3、比較確定最值。、比較確定最值。3( )6123 3f xxx例1:求函數在， 上的最大值與最小值. 0,22fxxx 令解得：或(2)22( 2)10(3)15,( 3)3ffff 又，3( )6 123310.f xxx函數在，上的最大值為22，最小值為題型：求函數

10、的最大值和最小值題型：求函數的最大值和最小值 求函數求函數 在在 0,3上的最大值與最小值上的最大值與最小值. . 31f x =x - 4x + 43 42.33:4,0,3,x = 2,f x =1x -4x+43f 解 由例 可知 在上 當時 f 0 = 4,f 3 =1,又由于因此，函數因此，函數f(x)在在0,3上的最大值上的最大值是是4，最小值是，最小值是 .43有極小值，并且極小值為有極小值，并且極小值為oxy23 4x4x31xf3163.1圖圖 上述結論可從函數上述結論可從函數f(x)在在0,3上的上的圖像得到直觀的驗證圖像得到直觀的驗證. 求函數求函數f(x)=x2-4x+

11、6在區(qū)間在區(qū)間1，5內的極值與最值內的極值與最值 .解解: f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2.x1（1，2）2（2，5）50y-+3112y 故函數故函數f(x) 在區(qū)間在區(qū)間1，5內的極小內的極小值為值為3，最大值為，最大值為11，最小值為，最小值為. 求函數求函數y=x4-2x2+5在區(qū)間在區(qū)間-2,2上上的最大值與最小值的最大值與最小值.動動手動動手解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y當當x變化時變化時, 的變化情況如下表的變化情況如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2y

12、 -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13從上表可知從上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.練一練：練一練：函數函數 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的上的最大值為最大值為 ,最小值為最小值為 .分析分析: 由由 f (x)=3x +6x9=0,所以，區(qū)間所以，區(qū)間4 , 4 端點處的函數值為端點處的函數值為 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1 函數值為函數值為f (3)=27, f (1)=576-5當當x變化時，變化時，y 、 y的變化情況如下表：的變化情況如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0

13、y2027-576比較以上各函數值，可知函數在比較以上各函數值，可知函數在4 , 4 上的最大上的最大值為值為 f (4) =76，最小值為，最小值為 f (1)=5練習：練習：求下列函數在給定區(qū)間上的最大值與最小值：求下列函數在給定區(qū)間上的最大值與最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 42, 2x54-5422-102-18aa-40例5 求函數f(x)=x2-4x+3在區(qū)間-1，4內的最值。 故函數f(x) 在區(qū)間-1，4內的最大值為8，最小值為-1. 解:f (x)=2x-4令f (x

14、)=0，即2x-4=0，得x=2x-1（-1，2）2（2，4）4 y，0y-+83-1例5、求函數f(x)=x2-4x+3在區(qū)間-1，4內 的最大值和最小值 另解: 將二次函數f(x)=x2-4x+3配方，利用二次函數單調性處理1下列說法正確的是( )A.函數的極大值就是函數的最大值 B.函數的極小值就是函數的最小值C.函數的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定存在最值2.函數y=f(x)在區(qū)間a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f(x) ( )A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能課堂練習DA3.函數 ，在1，1上的最小值為( )A.0 B.2 C.1 D.4

15、32111432yxxx1312A求下列函數在指定區(qū)間內的最大值和最小值。4,2,71862)() 1 (23xxxxxf練 習最大值 f (1)=3，最小值 f (3)= 61解:.cos21)(xxf 當x變化時, 的變化情況如下表:yy , 從上表可知,最大值是,最小值是0.2 , 0sin21y2上的最大值與最小值在區(qū)間、求函數xx令 ,解得0)( xf.34,3221 xxx 0f(x) )(xf )32, 0( )34,32( 32 34 )2 ,34( 2+-+000233 2332 的取值范圍。三個交點，求函數的圖像有相異與、直線axxxfay3)()3(3。的圖像有三個相異交

16、點與時，所以當是極小值是極大值，可得單調區(qū)間和極值點及由解：xxyayaffxfxfxxxxf3222) 1 (2) 1(0)(0)() 1)(1(333)(32的取值范圍。恒成立，求實數時，當、設mmxfxxxxxf0)(2 , 25221)(4232022年4月1日4時12分37 2 2、 函數函數y=xy=x3 3-3x-3x2 2，在，在2 2，4 4上的上的最大值為最大值為( )( )A.-4 B.0 C.16A.-4 B.0 C.16D.20D.20C C練練 習習2022年4月1日4時12分384153.已知函數y=-x2-2x+3在區(qū)間a,2上的最大值為 ，則a等于（ ）A.

17、B. C. D. 或2321212321典型例題典型例題 322( )262 2371a2( )2 2f xxxaf x例題 ：已知函數在， 上有最小值求實數 的值；求在， 上的最大值。反思：本題屬于逆向探究題型：反思：本題屬于逆向探究題型： 其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數值其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數值大小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。大小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。 21( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或( 240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)( )2, 2fx由知在的 最 大 值 為 3.(0),fa(2)

18、8fa 21x402fxx3討論函數（ ）=4x在， 的最值情況。動手試試動手試試2( )1281(21)(61)fxxxxx 1( )( )6f xf最大值沒有最小值 應用應用( 2009年天津（文）21T )處的切線的斜率；設函數 其中 ,131223Rxxmxxxf. 0m（1）當 時，求曲線 在點 1m xfy 1, 1 f（2）求函數 的單調區(qū)間與極值。 xf答:（1）斜率為1; .1 ,1,1,1內是增函數減函數，在內是，在mmmmxf ;313223mmxf極小 313223mmxf極大(2)（0404浙江文浙江文2121）（本題滿分）（本題滿分1212分）分）已知已知a a為實

19、數，為實數，（）求導數）求導數 ；（）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若）若 在（在（-，-2-2和和22，+）上）上都是遞增的，求都是遞增的，求a a的取值范圍。的取值范圍。)(4()(2axxxf )(xf 0)1( f)(xf)(xf2( )324fxxax12a maxmin9450( 1),( )2327ffff 2( )32402,2fxxax兩個根在22a 2022年4月1日4時12分43知識要點：知識要點： .函數的最大與最小值函數的最大與最小值 設設y = f(x)是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間a , b上的函數上的函數,y = f(

20、x)在在(a , b)內有導數內有導數,求函數求函數y = f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a , b上的最大最小值上的最大最小值,可分兩步進行可分兩步進行:求求y = f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內的極值內的極值; 將將y = f(x)在各極值點的極值與在各極值點的極值與f(a), f(b)比較，比較，其中最大的一個為最大值其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值。最小的一個為最小值。 若函數若函數f(x)在區(qū)間在區(qū)間a , b上單調遞增上單調遞增(減減),則則f(a) 為最小為最小(大大)值值,f(b)為最大為最大(小小)值。值。 小結小結 （1）極值是僅對某一點的附近）極值是僅對某一點的附近而

21、言，是在而言，是在局部局部范圍內討論問題，范圍內討論問題，而最值是對而最值是對整個整個定義域而言，是在定義域而言，是在整體范圍內討論問題整體范圍內討論問題 . 極大（小）值與極大（小）值極大（?。┲蹬c極大（小）值的區(qū)別是什么？的區(qū)別是什么？ （2）函數在其定義域上的最大值）函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個，而函數的極與最小值至多各有一個，而函數的極值則可能不止一個，也可能沒有極值值則可能不止一個，也可能沒有極值,并且極大值（極小值）不一定就是最并且極大值（極小值）不一定就是最大值（最小值）大值（最小值）.知識要點知識要點 一般地，求函數一般地，求函數y=f(x)在在a,b上的最大上

22、的最大值與最小值的步驟如下：值與最小值的步驟如下：（1）求函數）求函數y=f(x)在在a,b內的極值內的極值；（2）將函數）將函數y=f(x)的各極值與端點處的的各極值與端點處的函數值函數值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值最大值，最小的一個是最小值.知識拓展知識拓展求函數的最值時求函數的最值時,應注意應注意: 閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數一定有最上的連續(xù)函數一定有最值值.開區(qū)間開區(qū)間(a,b)內的可導函數不一定有最內的可導函數不一定有最值值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極值必是函則此極值必是函數的最值數的最值.課堂小結課堂小結

23、 一般地，求函數一般地，求函數y=f(x)在在a,b上的最大上的最大值與最小值的步驟如下：值與最小值的步驟如下：（1）求函數求函數y=f(x)在在a,b內的極值內的極值；（2）將函數）將函數y=f(x)的各極值與端點處的的各極值與端點處的函數值函數值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值最大值，最小的一個是最小值. 函數的極值是在局部范圍內討論問函數的極值是在局部范圍內討論問題，是一個局部概念，而函數的最值是題，是一個局部概念，而函數的最值是對整個定義域而言，是在整體范圍內討對整個定義域而言，是在整體范圍內討論問題，是一個整體性的概念論問題，是

24、一個整體性的概念.高考鏈接高考鏈接（全國卷全國卷）已知已知a 0 ，函數函數f(x) = （ -2ax ） 2xxe ，當，當X為何值時，為何值時，f(x)取得最小值？取得最小值？證明你的結論證明你的結論. 解解:對函數對函數 求導數得求導數得 ,f(x)2xf (x) = (x +2x-2ax-2a)e 令令 解得解得 f (x) = 0, 2212x = a-1-a +1,x = a-1+a +1當當x變化時變化時,f(x),f(x) 的變化如下表的變化如下表:x),(1x1x),(21xx2x),(2x)(xf )(xf + 0 0 +遞增極大值遞減 極小值 遞增 所以當所以當 時，時，

25、f(x)取得最小值取得最小值.112aax1( )21(0),f xxxx( )f x（2008安徽文）安徽文）設函數設函數 則則 （ ） A有最大值有最大值 B有最小值有最小值 C是增函數是增函數D是減函數是減函數B隨堂練習隨堂練習1. 已知已知f(x)=2x3-6x2+m（m為常數），在為常數），在-2 , 2上有最大值上有最大值3，函數在，函數在-2 , 2上的最小值上的最小值_.-372. 函數函數f(x)=x3+ax+b，滿足，滿足f(0)=0，且在，且在x=1時取得極小值，則實數時取得極小值，則實數a的值為的值為_.-33. 函數函數f(x)=x-3x+1在閉區(qū)間在閉區(qū)間-3,0上的上的最大值、最小值分別是（最大值、最小值分別是（ ）A. 1，1 B. 1，-17 C. 3，-17 D. 9，-19C4. 函數函數f(