初中數(shù)學(xué)-三角形內(nèi)外角平分線有關(guān)命題的證明及應(yīng)用

1、-三角形外角平分線一.命題的證明及應(yīng)用在中考常有與三角形外角平分線有關(guān)的題目，假設(shè)平時不注意總結(jié)是很難一下子解決的下面來一起學(xué)習(xí)一下命題1 如圖，點(diǎn)D是ABC兩個角平分線的交點(diǎn)，則D=90°+A證明：如圖：1，2122A180°12D=180°得：12AD由得：12=180°D把代入得：180°DADD=90°+A點(diǎn)評利用角平分線的定義和三角形的角和等于180°，不難證明.命題2 如圖，點(diǎn)D是ABC兩個角平分線的交點(diǎn)，則D=90°A證明：如圖：DB和DC是ABC的兩條外角平分線，D=180°12=180&

2、#176;DBE+DCF=180°A+4+A+3=180°A+180°=180°A90°=90°A；點(diǎn)評利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的角和等于180°，可以證明.命題3 如圖3，點(diǎn)E是ABC一個角平分線與一個外角平分線的交點(diǎn)，則E=A證明：如圖3：1=2，3=4，A+21=241+E=4×代入得：E=A點(diǎn)評利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證明.命題4如圖，點(diǎn)E是ABC一個角平分線BE與一個外角平分線CE的交點(diǎn)，證明:AE是ABC的外角平分

3、線.證明：如圖3：BE是ABC的平分線,可得：EH=EFCE是ACD的平分線, 可得：EG=EF過點(diǎn)E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.即EF=EG=EHEG=EHAE是ABC的外角平分線點(diǎn)評利用角平分線的性質(zhì)和判定能夠證明應(yīng)用上面的結(jié)論能輕松地解答一些相關(guān)的比較復(fù)雜的問題，下面來一起看例1如圖5，PB和PC是ABC的兩條外角平分線A=60°，請直接寫出P的度數(shù).三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形.解析：由命題2的結(jié)論直接得：P=90°A=90°×60°=60°根據(jù)命題2的結(jié)論P(yáng)

4、=90°A，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，則該三角形是銳角三角形點(diǎn)評此題直接運(yùn)用命題2的結(jié)論很簡單同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形例如圖6，在ABC中，延長BC到D,ABC與ACD的角平分線相較于點(diǎn)，BC與CD的平分線交與點(diǎn)，以此類推，假設(shè)A=96°，則=度解析：由命題的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律A可以直接得：=×96°=3°點(diǎn)評此題是要找出規(guī)律的但對要有命題的結(jié)論作為根底知識例203第一大題填空題第八小題，此題分如圖7，ABC的外角ACD的平分線CP的角ABC平分線BP交于點(diǎn)P，假設(shè)BPC=4

5、0°，則CAP=_解析：此題直接運(yùn)用命題的結(jié)論可以知道是ABC的一個外角平分線，結(jié)合命題的結(jié)論知道BAC=2BPC, CAP=(180°BAC )= (180°2BPC )=50°點(diǎn)評對命題3、4研究過的讀者此題不難，否則將是一道在考試的時候花時間也不一定做的出來的題目例(2003年省)如圖，在RtABC中，ACB=90°，BAC=30°，ACB的平分線與ABC的外角平分線交與E點(diǎn)，連接AE，則AEB=度解析：有題目和命題的結(jié)論可以知道AE是ABC的一個外角平分線, 結(jié)合命題2的結(jié)論知道AEB=ACBACB=90°×

6、;90°=45°點(diǎn)評從上面的做題過程來看題目中給出的“A=30°這個條件是可以不用的二.角平分線定理使用中的幾種輔助線作法一、角平分線，構(gòu)造三角形例題、如下列圖，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。求證：證明：延長BE交AC于點(diǎn)F。因為角是軸對稱圖形，對稱軸是角的平分線所在的直線， 所以AD為BAC的對稱軸，又因為BEAD于F，所以點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于AD對稱，所以BE=FE=BF，AB=AF，ABF=AFB。因為ABFFBC=ABC=3C，ABF=AFB=FBCC，所以FBCCFBC=3C，所以FBC=C，所以FB=FC，所以BE=FC=AC

7、AF=ACAB，所以。二、一個點(diǎn)到角的一邊的距離，過這個點(diǎn)作另一邊的垂線段如下列圖，1=2，P為BN上的一點(diǎn)，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求證：BAPBCP=180°。證明：經(jīng)過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E。因為PEAB，PDBC，1=2，所以PE=PD。在RtPBE和RtPBC中所以RtPBERtPBCHL，所以BE=BD。因為ABBC=2BD，BC=CDBD，AB=BEAE，所以AE=CD。因為PEAB，PDBC，所以PEB=PDB=90°.在PAE和RtPCD中所以PAERtPCD，所以PCB=EAP。因為BAPEAP=180°，所以BAPBCP=180&#

8、176;。三、角平分線和其上面的一點(diǎn)，過這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段例題、如下列圖，在ABC中，PB、PC分別是ABC的外角的平分線，求證：1=2證明：過點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E，PGAC于點(diǎn)G，PFBC于點(diǎn)F因為P在EBC的平分線上，PEAB，PHBC，所以PE=PF。同理可證PF=PG。所以PG=PE，又PEAB，PGAC，所以PA是BAC的平分線，所以1=2。三.角平分線-應(yīng)用三角形的角平分線是三角形的主要線段之一，它在幾何的計算或證明中，起著“橋梁的作用則如何利用三角形的角平分線解題呢.下面舉例說明一、由角平分線的性質(zhì)聯(lián)想兩線段相等EMDFCBA圖1例1 如圖1，ABAC，A的平分線與BC的垂

9、直平分線相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：BE=CF證明連結(jié)DB，DCD在A的平分線上，DE=DFD在BC的垂直平分線上，BD=DC又BED=CFD=90°，RtBDERtCDF，BE=CF二、由角平分線的軸對稱性構(gòu)造全等三角形例2如圖2，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求證：A+C=180°證明延長BA至F，使BF=BC由BD平分ABC在FBD與CBD中，BF=BCABD=CBD BD=BDFBDCBD，F(xiàn)DCBA圖2C=F，DF=CD=AD，F(xiàn)=DAF，A+C=BAD+DAF=180°三、過角平分線上一點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)成等腰三

10、角形例3：如圖3，ABC的平分線BF與ACB的平分線CF相交于點(diǎn)F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E，求證：BD+CE=DEEFCBDA圖3證明：BF是ABC的平分線 DBF=CBF 又DEBC DFB=CBFDBF=DFBBD=FD，同理CE=FEBD+CE=DF+FE=DE四、實際生活中的應(yīng)用例4 如圖4，有三條公路、兩兩相交，要選擇一地點(diǎn)建一座加油站，是加油站到三條公路的距離相等，應(yīng)如何選擇建加油站的地址.這樣的位置有幾種選擇.圖4解析：分別作ABC兩角的平分線，它們相交于一點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)知，這個點(diǎn)到三條公路的距離相等；或者分別作ABC相鄰兩外角的平分線，它們的交點(diǎn)到三條公

11、路的距離也相等，這樣點(diǎn)共有三個，所以建加油站的位置共有4種選擇五.角平分線攜“截長補(bǔ)短顯精彩 角的平分線具有其特有的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補(bǔ)短法又是解決這一類問題的一種特殊方法，利用此種方法常可使思路豁然開朗.請看幾例.eg1 . 如圖1-1，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.圖1-1分析：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法中的“截長，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而到達(dá)簡化問題的目的.證明：在CD上截取CF=BC，如圖1-2在FCE與BCE中，F(xiàn)CE

12、BCESAS,2=1.圖1-2又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4.在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADEASA，DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.eg2. ，如圖2-1，1=2，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.求證：BAP+BCP=180°.圖2-1分析：證兩個角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短進(jìn)展全等三角形的構(gòu)造.證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，如圖2-21=2，且PDB

13、C，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，圖3-22-2RtBPERtBPD(HL),BE=BD.AB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180°,BAP+BCP=180°圖3-1eg3.：如圖3-1，在ABC中，C2B，12.求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長或“補(bǔ)短都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明：方法一補(bǔ)短法圖3-2延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖3

14、-2ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,ABDAEDAAS,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.圖3-3方法二截長法在AB上截取AF=AC，如圖3-3在AFD與ACD中,AFDACDSAS,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD. 上述兩種方法在實際應(yīng)用中，時常是互為補(bǔ)充，但應(yīng)結(jié)合具體題目恰中選擇適宜思路進(jìn)展分析。讓掌握學(xué)生掌握好“截長補(bǔ)短法對于更好的理解數(shù)學(xué)中的化歸思想有較大的幫助。如圖1所示，在ABC中，C=2B，1=2。求證：AB=ACCD。證法一：截取法。就是在較長的線段中截取

15、一段與求加法運(yùn)算的兩條線段中的一條相等，然后證明另一段等于加法運(yùn)算的另一條線段。如圖2所示，在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE。圖2在AED和ACD中所以AEDACD，所以ED=CD，3=C。因為3=B4，C=2B，所以B=4，所以BE=DE。所以AB=AEBE=ACDE=ACCD。證法二、補(bǔ)短法。就是在較短的一條線段的根底上通過延長在截取的方法將求和的兩條線段連結(jié)在一起。本種方法是延長AC，再在延長線上截取CF=CD。如圖3所示，延長AC到點(diǎn)F，使CF=CD，連結(jié)DF。圖3因為CF=CD，所以3=F。因為ACB=3F，所以ACB=2F。又因為ACB=2B，所以B=F。在ABD和AFD中所以AB

16、DAFD，所以AB=AF。因為AF=ACCF=ACCD，所以AB= ACCD。第三種方法：也是屬于補(bǔ)短法，本種方法是延長DC，再在延長線上截取CM=AC。證明：延長DC，在DC的延長線上截取CM=AC，連結(jié)AM。因為因為CM=CA，所以3=M。因為ACB=3M，所以ACB=2M=23。圖4又因為ACB=2B，所以B=M=3，所以AB=AM。因為4=B1，DAM=23，1=2所以4=DAM，所以AM=DM=DCCM=DCAC，所以AB=DCAC。圖5圖3練習(xí)：如圖5所示，在ABC中，BC邊的垂直平分線DF交BAC的外角平分線AD于點(diǎn)D，F(xiàn)為垂足，DEAB于E，并且AB>AC。求證：BEAC

17、=AE。提示：可以將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，然后利用“截長或者“補(bǔ)短法解決問題。四.角平分線中考真題角平分線的性質(zhì)與應(yīng)用一、選擇題1、2021·中考如圖，OP平分，垂足分別為A，B以下結(jié)論中不一定成立的是A. B.平分C. D.垂直平分【解析】選D.由OP平分，可得，由HL可得RtAOPRtBOP，所以可得平分，.2、(2021·中考)尺規(guī)作圖作的平分線方法如下：以為圓心，任意長為半徑畫弧交、于、，再分別以點(diǎn)、為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線由作法得的根據(jù)是ASAS BASA CAASDSSS ODPCAB【解析】選D.由作法知OC=OD,OP=OP,CP=D

18、P,所以，因此依據(jù)為SSS；3、2007·中考到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是這個三角形的三條中線的交點(diǎn)三條高的交點(diǎn)三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)三條角平分線的交點(diǎn)答案：D4、2007·義烏中考如圖，點(diǎn)P是BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PEAC于點(diǎn)EPE=3，則點(diǎn)P到AB的距離是.A3B4C5D6【解析】選A.由角平分線的性質(zhì)可得.二、填空題5、2021·中考如圖，在ABC中，C=90°,ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,假設(shè)BD=10厘米，BC=8厘米，則點(diǎn)D到直線AB的距離是_厘米。【解析】過點(diǎn)D作DE垂直于AB于E,由勾股定理得,由角平分線性質(zhì)得答案：6.6、

19、2021·中考如圖，P是菱形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，PEAB于點(diǎn)E，PE4cm，則點(diǎn)P到BC的距離是_cm. 【解析】因為，P是菱形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，PEAB于點(diǎn)E，PE4cm，有BD為ABC的角平分線，所以P到BC的距離等于PE的長等于4.答案：47、2021·中考如圖，P是AOB的角平分線上的一點(diǎn)，PCOA于點(diǎn)C，PDOB于點(diǎn)D，寫出圖中一對相等的線段只需寫出一對即可.答案：PC=PD答案不唯一三、解答題8、2021·中考如圖，P是BAC的一點(diǎn)，垂足分別為點(diǎn)求證：1；2點(diǎn)P在BAC的角平分線上【證明】1如圖，連結(jié)AP，AEP=AFP=，又AE=AF，

20、AP=AP，RtAEPRtAFP，PE=PF2RtAEPRtAFP，EAP=FAP，AP是BAC的角平分線，故點(diǎn)P在BAC的角平分線上9、(2021·中考)如圖，表示兩條相交的公路，現(xiàn)要在的部建一個物流中心設(shè)計時要求該物流中心到兩條公路的距離相等，且到公路穿插處點(diǎn)的距離為1 000米1假設(shè)要以的比例尺畫設(shè)計圖，求物流中心到公路穿插處點(diǎn)的圖上距離；2在圖中畫出物流中心的位置【解析】111 000米=100 000厘米，100 000÷50 000=2厘米；(2)10、2021·中考如圖，ABCD(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線CP，CP交AB于點(diǎn)E(保存作圖痕跡，不寫作

21、法)(2)在(1)中作出的線段CE上取一點(diǎn)F，連結(jié)AF。要使ACFAEF，還需要添加一個什么條件.請你寫出這個條件(只要給出一種情況即可；圖中不再增加字母和線段；不要求證明)?！窘馕觥?1)作圖略；(2)取點(diǎn)F和畫AF正確(如圖)；添加的條件可以是：F是CE的中點(diǎn)；AFCE；CAF=EAF等。(選一個即可)，五.最后-角平分線、垂直平分線知識考點(diǎn)：了解角平分線、垂直平分線的有關(guān)性質(zhì)和定理，并能解決一些實際問題。精典例題：【例題】如圖，在ABC中，ABAC，B300，AB的垂直平分線EF交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，求證：CF2BF。分析一：要證明CF2BF，由于BF與CF沒有直接聯(lián)系，聯(lián)想題設(shè)中

22、EF是中垂線，根據(jù)其性質(zhì)可連結(jié)AF，則BFAF。問題轉(zhuǎn)化為證CF2AF，又BC300，這就等價于要證CAF900，則根據(jù)含300角的直角三角形的性質(zhì)可得CF2AF2BF。分析二：要證明CF2BF，聯(lián)想B300，EF是AB的中垂線，可過點(diǎn)A作AGEF交FC于G后，得到含300角的RtABG，且EF是RtABG的中位線，因此BG2BF2AG，再設(shè)法證明AGGC，即有BFFGGC。分析三：由等腰三角形聯(lián)想到“三線合一的性質(zhì)，作ADBC于D，則BDCD，考慮到B300，不妨設(shè)EF1，再用勾股定理計算便可得證。以上三種分析的證明略。探索與創(chuàng)新：【問題】請閱讀下面材料，并答復(fù)所提出的問題：三角形角平分線性

23、質(zhì)定理：三角形的角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應(yīng)成比例。如圖，ABC中，AD是角平分線。求證：。分析：要證，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似，現(xiàn)在B、D、C在同一條直線上，ABD與ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。我們注意到在比例式中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CEAD交BA的延長線于E，從而得到BD、CD、AB的第四比例項AE，這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化為證AEAC。證明：過C作CEAD交BA的延長線于E CEADE3AEAC CEAD1上述證明過程中，用了哪些定理寫出兩個定理即可；2在上述分析、證明過程中，主要用

24、到了三種數(shù)學(xué)思想的哪一種.選出一個填入后面的括號 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想 分類討論思想答案：轉(zhuǎn)化思想3用三角形角平分線性質(zhì)定理解答問題：AD是ABC中BAC的角平分線，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，求BD的長。答案：cm評注：此題的目的主要在于考察學(xué)生的閱讀理解能力。跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、如圖，A520，O是AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn)，則OCB。2、如圖，ABAC，A440，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則DBC。3、如圖，在ABC中，C900，B150，AB的中垂線DE交BC于D點(diǎn)，E為垂足，假設(shè)BD8，則AC。4、如圖，在ABC中，ABAC，DE是AB的垂直平分線，BCE的周長為24，BC10，則AB。5、如圖，EG、FG分別是MEF和NFE的角平分線，交點(diǎn)是G，BP、CP分別是MBC和NCB的角平分線，交點(diǎn)是P，F(xiàn)、C在AN上，B、E在AM上，