點(diǎn)到直線的距離

1、.莆薄薆螀節(jié)薃蠆羆膈薂袁蝿膄薁薁肄肀薀蚃袇荿蕿螅肂芅蕿袇裊膁蚈薇肁肇蚇蠆袃蒞蚆螂聿芁蚅羄袂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膆莈艿薈羈芄羋蝕膄膀莇螃羇肆莆裊蝿莄莆蚅羅莀蒞螇袈芆莄衿肅膂莃蕿袆肈莂蟻肁莇莁螃襖芃蒀袆肀腿蒀薅袃肅葿螈肈肁蒈袀羈莀蕆薀膆芆蒆螞罿膂蒅螄膅肈薄袇羇莆薄薆螀節(jié)薃蠆羆膈薂袁蝿膄薁薁肄肀薀蚃袇荿蕿螅肂芅蕿袇裊膁蚈薇肁肇蚇蠆袃蒞蚆螂聿芁蚅羄袂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膆莈艿薈羈芄羋蝕膄膀莇螃羇肆莆裊蝿莄莆蚅羅莀蒞螇袈芆莄衿肅膂莃蕿袆肈莂蟻肁莇莁螃襖芃蒀袆肀腿蒀薅袃肅葿螈肈肁蒈袀羈莀蕆薀膆芆蒆螞罿膂蒅螄膅肈薄袇羇莆薄薆螀節(jié)薃蠆羆膈薂袁蝿膄薁薁肄肀薀蚃袇荿蕿螅肂芅蕿袇裊膁蚈薇肁肇蚇蠆袃蒞蚆螂聿芁蚅羄

2、袂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膆莈艿薈羈芄羋蝕膄膀莇螃羇肆莆裊蝿莄莆蚅羅莀蒞螇袈芆莄衿肅膂莃蕿袆肈莂蟻肁莇莁螃襖芃蒀袆肀腿蒀薅袃肅葿螈肈肁蒈袀羈莀蕆薀膆芆蒆螞罿膂蒅螄膅肈薄袇羇莆薄薆螀節(jié)薃蠆羆膈薂袁蝿膄薁薁肄肀薀蚃袇荿蕿螅肂芅蕿袇裊膁蚈薇肁肇蚇蠆 文件 sxgjieja0002.doc科目 數(shù)學(xué)年級 高中章節(jié) 關(guān)鍵詞 點(diǎn)到直線的距離/距離公式標(biāo)題 點(diǎn)到直線的距離內(nèi)容點(diǎn)到直線的距離教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握點(diǎn)到直線的距離公式及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能運(yùn)用這一公式.2.學(xué)習(xí)并領(lǐng)會尋找點(diǎn)到直線距離公式的思維過程以及推導(dǎo)方法.3.教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生研究探索的能力.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離公

3、式的研究探索過程是重點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)是難點(diǎn).教學(xué)過程師：什么是平面上點(diǎn)到直線的距離?生：(略).師：如何求平面上一點(diǎn)到一直線的距離?問題1：已知點(diǎn)P(-1，2)，和直線l：2x+y-10=0，求P點(diǎn)到直線l的距離.生：先求出過P點(diǎn)與l垂直的直線l：x-2y+5=0，再求出l與l的交點(diǎn)P(4，3)，則=即為所求.師：問題2：已知點(diǎn)P(m,n)，直線l： y=kx+b，求點(diǎn)P到l的距離d.生：可用問題1的方法，但運(yùn)算非常復(fù)雜.師：能否換一個角度去解決這個問題.(啟發(fā)學(xué)生從最基本的概念入手分析)事實(shí)上點(diǎn)到直線的距離就是求過點(diǎn)向已知直線所引垂線段的長，而通常線段的長要利用三角形來求解.如何

4、構(gòu)造一個含所求線段又易于求解的三角形是解決這個問題的關(guān)鍵.我們知道，平面上點(diǎn)到直線的距離等于過這個點(diǎn)與已知直線平行的平行線直線的距離.好，這樣就可以將所求線段平行移動之后放在最佳的位置.生：過P點(diǎn)作與l平行的直線l，l與l的距離即為所求(如圖1-29).師：(板書圖形)觀察圖形特征.生：可利用兩平行線與y軸交點(diǎn)間的線段構(gòu)造三角形.師生共同完成下面過程：設(shè)過P點(diǎn)與l平行的直線為l，方程是y=kx+b，l與l分別交y軸于Q點(diǎn)、R點(diǎn)，則RQ=b-b，過點(diǎn)R作RMl于M，則RM=d.于是出現(xiàn)了直角三角形RMQ，是個好兆頭.在RtRMQ中(為直線為傾斜角)，若 (如圖1-30(1)RM=RQcos若 (

5、如圖1-30(2)RM=RQcos(-).由可知：d=b-bcos因?yàn)?cos=，所以 d=.(設(shè)法將b用已知數(shù)表示)又因?yàn)镻(m,n)在直線y=kx+b，故有n=km+b，b=n-km.所以 d=，即P點(diǎn)到直線l的距離是.(*)師：如果將問題2中的直線方程l：y=kx+b換成一般式：Ax+By+C=0，結(jié)果如何?問題3：已知點(diǎn)O(x0,y0)，直線l：Ax+By+C=0，求點(diǎn)P到直線l的距離d.學(xué)生解答：因?yàn)閗=- (B0), b=- ,代入公式(*),即得.即:平面內(nèi)一定點(diǎn)P(x0,y0)到一條定直線l： Ax+By+C=0的距離為：d=師：上述推導(dǎo)中，若B=0，公式成立嗎？生：驗(yàn)證如下，

6、P（x0，y0）到直線x=的距離d=.用公式計(jì)算：結(jié)果相等，說明時，公式仍然成立公式適用于平面內(nèi)的任意直線師：作為公式，要會應(yīng)用并記住公式的結(jié)構(gòu)特征仔細(xì)觀察：問題中的全部已知數(shù)均在公式中出現(xiàn)公式保證了d公式要求，說明、B不能同時為零.另外注意:直線l的方程是一般式,公式的應(yīng)用沒有條件限制.師:在求點(diǎn)到直線的距離的過程中,我們利用了平行線間的距離概念,那么現(xiàn)在是否會求兩行平行直線之間的距離呢?生:問題2中已經(jīng)得到:l1: y=kx+b1,l2: y=kx+b2,則l1與l2的距離d=b1-b2k2+1.師:對于一般情況呢?生:如果l1: Ax+By+C1=0, l2: Ax+By+C2=0,當(dāng)B

7、0時，d=C1-C2A2+B2;當(dāng)B=0時，易驗(yàn)證上式仍然成立.即平面上兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C1=0的距離是d=C1-C2A2+B2.例1 點(diǎn)A（,6）到直線3x-4y=2的距離等于4，求的值.解 應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式，解關(guān)于的方程：,3-26=20,所以 =2或=463.師：滿足條件的點(diǎn)A有（2，6）和（46 3，6）兩個，它們在已知直線的兩側(cè)，如圖（1-31）.由解的過程可知：當(dāng)3-260時,所求點(diǎn)在已知直線的下方,當(dāng)3-260時,所求點(diǎn)在已知直線的上方.例2 求過點(diǎn)A(-1,2),且與原點(diǎn)的距離等于2 2的直線方程.分析 因?yàn)樗笾本€方程過點(diǎn)A(-1,2).所以

8、可以用點(diǎn)斜式表示成y-2=k(x+1),問題就轉(zhuǎn)化成求斜率k,根據(jù)原點(diǎn)到直線的距離等于2 2，列出關(guān)于k的方程，問題就可以得到解決.由學(xué)生完成解題過程：設(shè)所求直線的斜率為k，則方程y-2=k(x+1)，即 kx-y+k+2=0.因?yàn)?0-0+k+2k2+1=22，所以 k2+8k+7=0 解之 k=-1或k=-7,所求直線方程為x+y-1=0或7x+y+5=0.師：可以畫圖直觀的看出結(jié)果（圖略）例3 求直線2x+11y+16=0關(guān)于點(diǎn)P（0，1）對稱的直線方程.分析 （1）中心對稱的兩條直線是互相平行的. （2）這兩條直線與對稱中心的距離相等.解 設(shè)所求直線方程為2x+11y+C=0.由點(diǎn)到直

9、線的距離公式可得：0+11+16 2 2+11 2=0+11+C2 2+11 2,C=16（已知直線）或C=-38.所以，所求直線為2x+11y-38=0.師：利用圖形的幾何性質(zhì)，結(jié)合代數(shù)運(yùn)算，簡而明地解決了問題.小結(jié)：（學(xué)生回答）這節(jié)課我們討論了平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行直線之間的距離公式.師：點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化成兩條平行直線之間的距離來求，最終兩條平行直線之間的距離又利用了點(diǎn)到直線的距離公式，可見二者有著密切的聯(lián)系.通過公式的推導(dǎo)，請同學(xué)們認(rèn)真體會利用圖形特點(diǎn)解題的好處.作業(yè)：1課本：第42頁1，2，3題，第44頁12，13，15題.2補(bǔ)充：（1） 已知平行線2x+3y-3=0與2

10、x+3y-9=0，求與它們等距離的平行線的方程.（2）求平行于直線x-y-2=0，并且與它的距離為22的直線方程.（3）過原點(diǎn)和點(diǎn)A（1，3）作兩條平行直線，使它們的距離等于5，求這兩條平行線的方程.設(shè)計(jì)說明點(diǎn)到直線的距離公式是解決理論和實(shí)際問題的一個重要工具，教學(xué)中理應(yīng)予以重視.但在以往的教學(xué)過程中遇到的最大困難是：思路自然的則運(yùn)算很繁，而運(yùn)算較簡單的解法則思路又很不自然.這樣就造成了教學(xué)中通常采用“滿堂灌”、“注入式”，學(xué)生的思維得不到應(yīng)有的訓(xùn)練，學(xué)生的主體作用也不能充分體現(xiàn)出來.為避免這個問題，有必要很好地探討一下，“點(diǎn)到直線的距離公式”的教學(xué)如何更合理，怎樣把教學(xué)過程變成師生共同探索、

11、發(fā)現(xiàn)公式的過程，怎樣使推導(dǎo)過程自然而簡練.本節(jié)課是“兩條直線的位置關(guān)系”的最后一個內(nèi)容，在復(fù)習(xí)引入時，有意識地涉及兩直線垂直、兩直線的交點(diǎn)等知識，既幫助學(xué)生整理、復(fù)習(xí)已學(xué)知識的結(jié)構(gòu)，也讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中自己“發(fā)現(xiàn)”尚未解決的問題，使新授知識在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到生長點(diǎn)，自然地引出新問題，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生形成合理、完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).教學(xué)過程中，逐步逼近目標(biāo)，在這過程中展示了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的思維過程.學(xué)生能夠自覺地、主動地參與進(jìn)來，教師的主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體作用都得以充分體現(xiàn)，經(jīng)常這樣做，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力必獎逐步得到提高.在教學(xué)中還可以采用其他的方法推導(dǎo)“點(diǎn)到直線的距離”公式.只要抓住“構(gòu)

12、造一個可用的三角形”這個關(guān)鍵，就能突破難點(diǎn)，易于學(xué)生的理解和掌握.比如問題2中：(1) QMd=tan QMd=tan(-)QM=dk RQ=b-bd2+(dk)2=b-b2，所以 d=b-bk2+1.在公式的推導(dǎo)過程中，必須充分利用圖形的特征，根據(jù)平面幾何的有關(guān)知識，使問題得到解決.分析 點(diǎn)P到直線l的距離是P點(diǎn)到直線l的垂直線段的長，即該點(diǎn)與垂足Q間的距離.由圖1-32可聯(lián)想：利用平面幾何中的射影定理，使PQ成為一直角三角形斜邊上的高.通過解直角三角形使問題得到解決.具體方法如下：直線l： Ax+By+C=0，點(diǎn)P(x0,y0).設(shè)A0,B0,這時l和x軸、y軸都相交，如圖(1-33)，過

13、點(diǎn)P(x0,y0)作直線l的垂線交l于Q，令PQ=d，過P作x軸的平行線交l于R(x1,y0)，作y軸的平行線交l于S(x0,y2)，有： Ax1+By0+C=0, Ax0+By2+C=0.得出： x1=-By0-CA, y2=-Ax0-CB.所以 PR=x0-x1=Ax0+By0+CA,PS=y0-y2=Ax0+By0+CB,RS=PR2+PS2=A2+B2ABAx0+By0+C.因?yàn)?dRS=PRRS，所以 d=Ax0+By0+CA2+B2,易證A=0或B=0時也成立.平面解析幾何的研究方法就是用代數(shù)方法來研究幾何問題，上面的推導(dǎo)方法突出了這種思想方法，巧妙地運(yùn)用了平面幾何的知識，構(gòu)造了三

14、角形，使繁雜的計(jì)算簡化了.例1雖然是一個簡單的公式應(yīng)用，自然解出兩個結(jié)果，為什么會有兩個滿足條件的點(diǎn)A，由圖很直觀地得到解釋，從公式結(jié)構(gòu)看是由于絕對值符號產(chǎn)生的兩個不同解.那么當(dāng)點(diǎn)P在直線l的某一側(cè)時，就可去掉絕對值符號：當(dāng)Ax0+By0+C0時， d=Ax0+By0+C-A2+B2,當(dāng)Ax0+By0+C0時，d=Ax0+By0+C-A2+B2.而Ax+By+C0，Ax+By+C0，分別表示整個平面被直線Ax+By+C=0分成的兩個半面平，我們只需要判定點(diǎn)P在哪個半平面上就可以脫去絕對值符號.由此還可加深對圖形的理解和認(rèn)識.例如下面的問題：(1)求到已知直線3x+2y-6=0距離等于13的點(diǎn)的

15、軌跡.(2)求與平行線3x+2y-6=0和6x+4y-3=0等距離的點(diǎn)的軌跡.第(1)題中的“點(diǎn)”不能確定在已知直線的哪一側(cè)，因此在已知直線的兩側(cè)都有滿足條件的點(diǎn)，故得出軌跡是：與已知直線平行且距離是213的兩條平行直線：3x+2y+7=0和3x+2y-19=0.第(2)題中的“點(diǎn)”必在直線3x+2y-6=0和直線6x+4y-3=0之間，也就是說滿足條件的點(diǎn)只能在已知直線的同一側(cè).因此軌跡是與兩條平行線等距離的一條平行線.可先求出兩條直線在y軸上的截距的平均值b.因?yàn)?b1=3,b2=34，所以 b=b1+b2=3+342=158.再由斜截式可得出所求直線的方程是：y=-32x+158，即 1

16、2x+8y-15=0.第(2)題還可以直接用公式：設(shè)動點(diǎn)P(x，y)到兩條平行線的距離相等，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得到3x+2y-63222=6x+4y-362+42.化簡：23x+2y-6=6x+4y-3.由于動點(diǎn)在直線3x+2y-6=0的下方，同時在直線6x+4y-3=0的上方.故可得到：2(3x+2y-6)=(6x+4y-3),所以 軌跡方程為12x+8y-15=0.通過對本節(jié)課教學(xué)的探討，力求打破照本宣科、滿堂灌、注入式的舊模式，希望達(dá)到較好的效果，使學(xué)生的思維得到有效訓(xùn)練，并能充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用.(北京市新源里中學(xué) 吳苓) 芆螈聿膄蒂螄肈莇芄蝕肇肆薀薆蚃腿莃蒂蚃芁薈螁螞羈莁蚇螁肅薆薂螀膅荿蒈蝿羋膂袇螈肇蒈螃螇腿芀蠆螇節(jié)蒆薅螆羈艿蒁螅肄蒄螀襖膆芇蚆袃羋蒂薂袂羈芅薈袁膀薁蒄袁芃莄螂袀羂蕿蚈衿肅莂薄袈膇薇蒀羇艿莀蝿羆罿膃蚅羅肁莈蟻羅芄膁薇羄羃蕆蒃羃肅芀螁羂膈蒅蚇羈芀羋薃肀羀蒃葿聿肂芆螈聿膄蒂螄肈莇芄蝕肇肆薀薆蚃腿莃蒂蚃芁薈螁螞羈莁蚇螁肅薆薂螀膅