第4講 機(jī)器人動力學(xué)

1、第4章 機(jī)器人動力學(xué)機(jī)器人技術(shù)公共選修課裴忠才 唐志勇2022-3-31機(jī)器人動力學(xué)機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-310. 概述機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-313 機(jī)器人機(jī)器人是主動機(jī)械裝置，原則上，它的每個(gè)自由度都具有是主動機(jī)械裝置，原則上，它的每個(gè)自由度都具有單獨(dú)傳動。從控制的觀點(diǎn)來看，機(jī)械手系統(tǒng)是冗余、多變量和單獨(dú)傳動。從控制的觀點(diǎn)來看，機(jī)械手系統(tǒng)是冗余、多變量和本質(zhì)非線性的自動控制系統(tǒng)，也是復(fù)雜的動力學(xué)耦合系統(tǒng)。每本質(zhì)非線性的自動控制系統(tǒng)，也是復(fù)雜的動力學(xué)耦合系統(tǒng)。每個(gè)控制任務(wù)本身就是一個(gè)動力學(xué)任務(wù)。因此研究機(jī)器人的動力個(gè)控制任務(wù)本身就是一個(gè)動力學(xué)任務(wù)。因此研究機(jī)器人的動力學(xué)

2、問題就是為了進(jìn)一步討論控制問題。學(xué)問題就是為了進(jìn)一步討論控制問題。 為使機(jī)器人連桿加速，驅(qū)動器必須有足夠大的力和力矩來驅(qū)動機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)，以使他們能以期望的加速度和速度運(yùn)動，否則連桿將因運(yùn)動遲緩而損失機(jī)器人的位置精度。因此必須建立決定機(jī)器人運(yùn)動的動力學(xué)關(guān)系方程，用來計(jì)算每個(gè)驅(qū)動器所需的驅(qū)動力。0. 概述機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-314方法：方法：1 1 牛頓牛頓歐拉法；歐拉法；2 2 拉格朗日方法。拉格朗日方法。 機(jī)器人動力學(xué)機(jī)器人動力學(xué)方程可以確定機(jī)器人的運(yùn)動，但實(shí)際上除方程可以確定機(jī)器人的運(yùn)動，但實(shí)際上除最簡單的情況外，求解機(jī)器人的全部動力學(xué)方程幾乎是不可最簡單的情況外，求解機(jī)器

3、人的全部動力學(xué)方程幾乎是不可能的。能的。作用：作用：1 確定力確定力和力矩，以便在機(jī)器人連和力矩，以便在機(jī)器人連桿和關(guān)節(jié)上產(chǎn)生期望的加速度；桿和關(guān)節(jié)上產(chǎn)生期望的加速度；2 考察考察不同負(fù)載對機(jī)器人的影響及不同負(fù)載對機(jī)器人的影響及根據(jù)期望的加速度來考察某些負(fù)根據(jù)期望的加速度來考察某些負(fù)載的重要性；載的重要性；0. 概述機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-315 牛頓牛頓歐拉法從運(yùn)動學(xué)出發(fā)求得加速度，并消去各內(nèi)作用力。歐拉法從運(yùn)動學(xué)出發(fā)求得加速度，并消去各內(nèi)作用力。拉格朗日方法，它只需要速度而不必求內(nèi)作用力，是比較直接拉格朗日方法，它只需要速度而不必求內(nèi)作用力，是比較直接的方法。的方法。 對于對于動

4、力學(xué)，有兩個(gè)相反的問題：一是動力學(xué)的動力學(xué)，有兩個(gè)相反的問題：一是動力學(xué)的正問題正問題：已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度。主要應(yīng)用于仿真研究；二是動力學(xué)的加速度。主要應(yīng)用于仿真研究；二是動力學(xué)的逆問題逆問題：已知機(jī)：已知機(jī)械手的運(yùn)動軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度求各關(guān)節(jié)所械手的運(yùn)動軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度、加速度求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動力或力矩。主要是實(shí)時(shí)控制的需要需要的驅(qū)動力或力矩。主要是實(shí)時(shí)控制的需要 一般一般機(jī)器人的動態(tài)方程由機(jī)器人的動態(tài)方程由6個(gè)非線性微分方程聯(lián)立表示，個(gè)非線性微分方程聯(lián)立表示，實(shí)際上除

5、了一些簡單的情況外，不可能求得方程的一般解。實(shí)際上除了一些簡單的情況外，不可能求得方程的一般解。在實(shí)際控制時(shí)往往對動態(tài)方程作出某些假設(shè)，進(jìn)行簡化處理在實(shí)際控制時(shí)往往對動態(tài)方程作出某些假設(shè)，進(jìn)行簡化處理。1. 慣性矩機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-316 首先首先，在圖，在圖41里通過把質(zhì)點(diǎn)的平移運(yùn)動改作回轉(zhuǎn)運(yùn)動的里通過把質(zhì)點(diǎn)的平移運(yùn)動改作回轉(zhuǎn)運(yùn)動的分析，來了解慣性矩的物理意義。分析，來了解慣性矩的物理意義。 若若將力將力F作用到質(zhì)量為作用到質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的平移運(yùn)動，看的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的平移運(yùn)動，看作是運(yùn)動方向的標(biāo)量，則可作是運(yùn)動方向的標(biāo)量，則可以表示為：以表示為： Fxm 式中：式中： 表示加速度

6、。若把這一運(yùn)動看作是質(zhì)量可以忽略的棒表示加速度。若把這一運(yùn)動看作是質(zhì)量可以忽略的棒長為長為r的回轉(zhuǎn)運(yùn)動，則得到加速度和力的關(guān)系式為：的回轉(zhuǎn)運(yùn)動，則得到加速度和力的關(guān)系式為： x rxrNF 1. 慣性矩機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-317 式式中，中， 和和N是繞軸回轉(zhuǎn)的角加速度和慣性力矩，將是繞軸回轉(zhuǎn)的角加速度和慣性力矩，將 和和F F代入上式得：代入上式得： 令令 ，上式上式可以變?yōu)椋嚎梢宰優(yōu)椋?（41） Nmr 22mrI IN 式式（41）是質(zhì)點(diǎn)繞固定軸進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動時(shí)的運(yùn)動方程式，）是質(zhì)點(diǎn)繞固定軸進(jìn)行回轉(zhuǎn)運(yùn)動時(shí)的運(yùn)動方程式，I相當(dāng)于平動時(shí)的質(zhì)量，稱為慣性矩。相當(dāng)于平動時(shí)的質(zhì)量，稱為

7、慣性矩。 求求質(zhì)量連續(xù)分布物體的慣性矩時(shí)，可以將其分割成假想的質(zhì)量連續(xù)分布物體的慣性矩時(shí)，可以將其分割成假想的微小物體，然后將微小物體的慣性矩加在一起，這時(shí)，微小物微小物體，然后將微小物體的慣性矩加在一起，這時(shí)，微小物體的質(zhì)量體的質(zhì)量dm及其微小物體體積及其微小物體體積dV的關(guān)系可用密度的關(guān)系可用密度 表示為：表示為： x dVdm1. 慣性矩機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-318那么，它的慣性矩為：那么，它的慣性矩為： dVrdmrdI22整個(gè)物體的慣性矩可用下式表示：整個(gè)物體的慣性矩可用下式表示： dVrdII2 例例4.1 4.1 求圖求圖4 42 2所示質(zhì)量為所示質(zhì)量為M M，長度為

8、長度為L L的勻質(zhì)桿（粗細(xì)忽的勻質(zhì)桿（粗細(xì)忽略），繞其一端回轉(zhuǎn)時(shí)的慣性矩略），繞其一端回轉(zhuǎn)時(shí)的慣性矩I I。 （42） 解：微小物體的質(zhì)量用線密度解：微小物體的質(zhì)量用線密度 （M/LM/L）表示，所以其慣性矩表示，所以其慣性矩為為 。因此將。因此將dIdI在長度方向積在長度方向積分，即可得到：分，即可得到： 20302313MLxLMdxxILL1. 慣性矩機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-319 解解：由于該桿是重心位于中：由于該桿是重心位于中心的勻質(zhì)桿，因此，可先就桿的心的勻質(zhì)桿，因此，可先就桿的一半來求解，然后再加倍即可。一半來求解，然后再加倍即可。假定假定x x為離桿中心的距離，則得為

9、離桿中心的距離，則得到：到： 2203202121322MLxLMdxxILLC例例4 42 2 試求上例的桿繞重心回轉(zhuǎn)時(shí)的慣性矩試求上例的桿繞重心回轉(zhuǎn)時(shí)的慣性矩I IC C。2. 牛頓、歐拉運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3110圖圖4 43 3所示的單一剛體的運(yùn)動方程式可用下式來表示：所示的單一剛體的運(yùn)動方程式可用下式來表示： 式式中，中，m m（標(biāo)量）是剛體的質(zhì)量；標(biāo)量）是剛體的質(zhì)量； 是繞重心是繞重心C C的慣性矩陣；的慣性矩陣；F FC C是作用于重心的平動力；是作用于重心的平動力；N N是慣性力矩；是慣性力矩；VcVc是重心的平移速度；是重心的平移速度； 為為角速角速度

10、。度。 式式（4 43 3）及式（）及式（4 44 4）分別被稱為牛頓運(yùn)動方程式及歐）分別被稱為牛頓運(yùn)動方程式及歐拉運(yùn)動方程式。拉運(yùn)動方程式。IcIc的各元素表示對應(yīng)的力矩元素和角加速度元的各元素表示對應(yīng)的力矩元素和角加速度元素間的慣性矩素間的慣性矩。 CCFvmNIICC)(33RIC（43） （44） 2. 牛頓、歐拉運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3111 下面下面我們來求圖我們來求圖4 44 4所示所示1 1自由度自由度機(jī)械手的運(yùn)動方程式。這種場合，由機(jī)械手的運(yùn)動方程式。這種場合，由于關(guān)節(jié)軸制約連桿的運(yùn)動，所以可以于關(guān)節(jié)軸制約連桿的運(yùn)動，所以可以把式（把式（4 44 4）的

11、運(yùn)動方程式看作是繞）的運(yùn)動方程式看作是繞固定軸的運(yùn)動。假定繞關(guān)節(jié)軸的慣性固定軸的運(yùn)動。假定繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩為矩為I I，取垂直紙面的方向?yàn)槿〈怪奔埫娴姆较驗(yàn)閆 Z軸，則軸，則得到：得到： II000000000II 2. 牛頓、歐拉運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3112 式式中：中：g g為重力常數(shù)；為重力常數(shù)； 是在第三行第三列是在第三行第三列上具有繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩陣，把這些公式代入（上具有繞關(guān)節(jié)軸的慣性矩陣，把這些公式代入（4 44 4），提取只有），提取只有z z分量的回轉(zhuǎn)則得到：分量的回轉(zhuǎn)則得到： cos00CmgLN33RI2. 牛頓、歐拉運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課

12、2022-3-3113式中：式中：cosCmgLI 2CCmLII 對于對于一般形式的連桿，由于一般形式的連桿，由于I I 除第三分量以外，其它分除第三分量以外，其它分量皆不為零，所以量皆不為零，所以 I I 不是零向量。不是零向量。 I I 的第的第1 1，2 2分量成分量成了改變軸方向的力矩，但在固定軸的場合，與這個(gè)力矩平衡了改變軸方向的力矩，但在固定軸的場合，與這個(gè)力矩平衡的約束力的約束力生成，式生成，式N N的第的第1 1，2 2分量，不產(chǎn)生運(yùn)動。分量，不產(chǎn)生運(yùn)動。 由于由于機(jī)器人是具有分布質(zhì)量的三維、多自由度機(jī)構(gòu)，利機(jī)器人是具有分布質(zhì)量的三維、多自由度機(jī)構(gòu)，利用牛頓力學(xué)建模非常困難，

13、拉格朗日力學(xué)成為主要的動力學(xué)用牛頓力學(xué)建模非常困難，拉格朗日力學(xué)成為主要的動力學(xué)分析方法。分析方法。 （45） 3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3114 拉格朗日拉格朗日運(yùn)動方程式僅僅包涵能量項(xiàng)運(yùn)動方程式僅僅包涵能量項(xiàng)對系統(tǒng)變量和時(shí)間的微分，結(jié)構(gòu)簡單，因?qū)ο到y(tǒng)變量和時(shí)間的微分，結(jié)構(gòu)簡單，因此多數(shù)教科書利用該方程進(jìn)行動力學(xué)推導(dǎo)此多數(shù)教科書利用該方程進(jìn)行動力學(xué)推導(dǎo)。 拉格朗日拉格朗日力學(xué)以兩個(gè)方程為基礎(chǔ)：一力學(xué)以兩個(gè)方程為基礎(chǔ)：一個(gè)是直線運(yùn)動，另一個(gè)針對旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。個(gè)是直線運(yùn)動，另一個(gè)針對旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3115拉格朗日運(yùn)

14、動方程式可表示為：拉格朗日運(yùn)動方程式可表示為： 式式中，中，q是廣義坐標(biāo)，是廣義坐標(biāo)， 是廣義力，當(dāng)為直線運(yùn)動時(shí)，是廣義力，當(dāng)為直線運(yùn)動時(shí)， 為力為力的單位，當(dāng)為轉(zhuǎn)動時(shí)，它為力矩的單位。的單位，當(dāng)為轉(zhuǎn)動時(shí)，它為力矩的單位。拉格朗日運(yùn)動方程式拉格朗日運(yùn)動方程式也可表示為：也可表示為： qLqddLdtdPKL這里，這里，L L是拉格朗日算子；是拉格朗日算子；K K是動能；是動能；P P是勢能。是勢能。 （46） （47） 3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3116例：用拉格朗日運(yùn)動方程式推導(dǎo)下圖所示的單自由度系統(tǒng)力例：用拉格朗日運(yùn)動方程式推導(dǎo)下圖所示的單自由度系統(tǒng)力和加速

15、度的關(guān)系，車輪的質(zhì)量忽略不計(jì)：和加速度的關(guān)系，車輪的質(zhì)量忽略不計(jì)： 小車的動能為：小車的動能為：222121xmmvK小車系統(tǒng)的勢能為：小車系統(tǒng)的勢能為： 221kxP 拉格朗日算子為：拉格朗日算子為：222121kxxmPKL3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3117kxxL拉格朗日函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：拉格朗日函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為： 因此小車系統(tǒng)的運(yùn)動方程為：因此小車系統(tǒng)的運(yùn)動方程為： xmxLxmxmdtd )(kxxmF 3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3118 現(xiàn)現(xiàn)就前面講的就前面講的1 1自由度機(jī)械手來具體求解。假定自由度機(jī)械手來具體求解。假定 為

16、廣義為廣義坐標(biāo)，則有：坐標(biāo)，則有： 由于由于 221IK sinCmgLPILsin212CmgLILcosCmgLL（48） 3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3119所以用所以用 置換式（置換式（4 46 6）的廣義坐標(biāo)后得到下式：）的廣義坐標(biāo)后得到下式： cosCmgLI 它它與前面的結(jié)果完全一致。與前面的結(jié)果完全一致。 下面下面推導(dǎo)圖推導(dǎo)圖4 45 5所示的所示的2 2自由自由度機(jī)械手的運(yùn)動方程式。度機(jī)械手的運(yùn)動方程式。 在在推導(dǎo)時(shí)，把推導(dǎo)時(shí)，把 1 1， 2 2當(dāng)作廣當(dāng)作廣義坐標(biāo)，義坐標(biāo)， 1 1， 2 2當(dāng)作廣義力求拉當(dāng)作廣義力求拉格朗日算子，代入式（格朗日

17、算子，代入式（4 46 6）即）即可得到?？傻玫?。 （49） 3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3120第第1 1個(gè)連桿的動能個(gè)連桿的動能K K1 1、勢能勢能P P1 1可分別表示為：可分別表示為： 21111112121CCTCIppmK1111SgLmPC22122222)(2121CCTCIppmK)(1221122SLSLgmPC（410） 3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3121（411） 式中，式中， 是第是第i i個(gè)連桿質(zhì)量中心的位置向量。個(gè)連桿質(zhì)量中心的位置向量。 TCiyCixCippP,111CLpCxC111SLpCyC

18、122112CLCLpCxC122112SLSLpCyC3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3122（412） 應(yīng)該應(yīng)該注意到各連桿的動能可用質(zhì)量中心平移運(yùn)動的動能和注意到各連桿的動能可用質(zhì)量中心平移運(yùn)動的動能和繞質(zhì)量中心回轉(zhuǎn)運(yùn)動的動能之和來表示。繞質(zhì)量中心回轉(zhuǎn)運(yùn)動的動能之和來表示。 由由式（式（4 41111），得到式（），得到式（4 41010）中的質(zhì)量中心速度平方）中的質(zhì)量中心速度平方和為：和為： 利用式（利用式（4 41010）和式（）和式（4 41212），（），（4 41313），通過下式），通過下式 212111CCTCLPP)(2)(21212212212

19、2212122CLLLLppCCCTC（413） 3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3123式中：式中： 可可求出拉格朗日算子求出拉格朗日算子L L，把它代入式（把它代入式（4 46 6）的拉格朗日運(yùn)）的拉格朗日運(yùn)動方程式，整理后可得：動方程式，整理后可得： 2121PPKKL)(),()(gcM 22211211)(MMMMM21),(ccc21)(ggg3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3124222122212)(CCCICLLLmM1221MM222222CCILmM)2(212222121SLLmcC22212221212111)2(1

20、CCCCICLLLLmILmMC3. 拉格朗日運(yùn)動方程式機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3125 是慣性力；是慣性力； 是離心力；是離心力； 表示加在機(jī)械手上的表示加在機(jī)械手上的重力項(xiàng)，重力項(xiàng)，g g是重力加速度常數(shù)。是重力加速度常數(shù)。 對于對于多于多于3 3個(gè)自由度的機(jī)械手，也可用同樣的方法推導(dǎo)出個(gè)自由度的機(jī)械手，也可用同樣的方法推導(dǎo)出運(yùn)動方程式，但隨自由度的增多演算量將急劇增加。運(yùn)動方程式，但隨自由度的增多演算量將急劇增加。 2122122SLLmcC)(1221121111CLCLgmCgLmgCC12222CgLmgC )(M),( c)(g4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課

21、2022-3-3126 在分析了二連桿機(jī)械手的基礎(chǔ)上，我們分析由一組A變換描述的任何機(jī)械手，求其動力學(xué)方程。分以下5步進(jìn)行推導(dǎo)： （1） 計(jì)算任一連桿上任一點(diǎn)的速度；計(jì)算任一連桿上任一點(diǎn)的速度； （2） 計(jì)算各連桿的動能和機(jī)械手的總動能；計(jì)算各連桿的動能和機(jī)械手的總動能； （3） 計(jì)算各連桿的位能和機(jī)械手的總位能；計(jì)算各連桿的位能和機(jī)械手的總位能； （4） 建立機(jī)械手系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；建立機(jī)械手系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)； （5）對拉格朗日函數(shù)求導(dǎo)，以得到動力學(xué)方程。對拉格朗日函數(shù)求導(dǎo)，以得到動力學(xué)方程。4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3127下圖表示一個(gè)四連桿機(jī)械手的結(jié)構(gòu)。

22、我們先從這個(gè)例子出發(fā)，求得此機(jī)械手某個(gè)連桿（例如連桿3）上某一點(diǎn)（P）的速度、質(zhì)點(diǎn)和機(jī)械手的動能與位能、拉格朗日算子，求系統(tǒng)的動力學(xué)方程。然后，由特殊到一般，導(dǎo)出任何機(jī)械手的速度、動能、位能和動力學(xué)方程的一般表達(dá)式。4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3128 圖中連桿3上點(diǎn)P的位置為：pprTr330式中， 為基坐標(biāo)系中的位置矢量； 為局部（相對關(guān)節(jié)O3）坐標(biāo)系中的位置矢量； T3為變換矩陣，包括旋轉(zhuǎn)和平移變換。對于任一連桿i上的一點(diǎn)，其位置為：pr0pr3rTrii0（414） 1、速度的計(jì)算、速度的計(jì)算4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3129點(diǎn)

23、P的速度為 pppprTrTdtdrdtdv333300)()(jjjqqTdtdTT31333pjjjprqqTv33130)(對于連桿i上任一點(diǎn)的速度為：rqqTdtdrviijjj13)(（415） 4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3130P點(diǎn)的加速度pkjjkkjpjjjpkjjkkjpjjjpjjjppprqqqqTrqqTrqqqqTrqdtdqTrqqTdtdrTdtdvdtda331313233133313132331333133300)()()()()()()( 4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3131速度的平方：對于任一機(jī)械手

24、上一點(diǎn)的速度平方為（416） 4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3132令連桿3上任一質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為dm，則其動能為： 2、動能和位能的計(jì)算、動能和位能的計(jì)算4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3133任一機(jī)械手連桿i上位置矢量 的質(zhì)點(diǎn)，其動能為ri對連桿3積分dK3，得連桿3的動能為：4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3134式中， 積分稱為連桿的偽慣量矩陣，并記為：任何機(jī)械手上任一連桿i的動能為：（417） 4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3135（417） 式中，Ii為偽慣量矩陣，其表達(dá)式為：4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3136物體的轉(zhuǎn)動慣量、矢量積以及一階矩量為：如果令4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-31374. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3138于是可把Ii表示為（4.18)：4. 機(jī)械手動力學(xué)方程機(jī)器人技術(shù)公共選修課2022-3-3139具有n個(gè)連桿的機(jī)械手總的動能為