第十章能量法1

1、2022-3-30材料力學1第十章第十章能量法與超靜定系統(tǒng)能量法與超靜定系統(tǒng)2022-3-30材料力學210-1 概概 述述 在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性變形能彈性變形能，簡稱變，簡稱變形能。形能。 物體在外力作用下發(fā)生變形，物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能物體的變形能在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所在數(shù)值上等于外力在加載過程中在相應(yīng)位移上所做的功做的功，即，即 U=WU=W 能量方法：能量方法： 利用這種功能關(guān)系分析計算可變形固利用這種功能關(guān)系分析計算可變形固體的位移、變形

2、和內(nèi)力的方法稱為體的位移、變形和內(nèi)力的方法稱為能量方法能量方法。 2022-3-30材料力學3一、桿件產(chǎn)生基本變形時的變形能一、桿件產(chǎn)生基本變形時的變形能1 1、軸向拉伸或壓縮、軸向拉伸或壓縮PL LoB LPAEALFWUN2210-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能式中式中 軸力，軸力， A A 截面面積截面面積NF2022-3-30材料力學4由拉壓桿件組成的桿系的變形能：由拉壓桿件組成的桿系的變形能：niiiiNiniiiiiAELFAELPU121222P12345受力復(fù)雜桿受力復(fù)雜桿( (軸力沿桿的軸線變化軸力沿桿的軸線變化) )的變形能的變形能qLLNLEAdxxFdUU2)(2xdx10

3、-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學52 2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)MnLMnoBMnA圓截面桿的變形能圓截面桿的變形能pnGILMmWU2212式中式中 Mn圓桿橫截面上的扭矩；圓桿橫截面上的扭矩； 圓桿橫截面對圓心的極慣性矩。圓桿橫截面對圓心的極慣性矩。 pI10-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學6受力復(fù)雜的圓截面桿受力復(fù)雜的圓截面桿( (扭矩沿桿的軸線為變量扭矩沿桿的軸線為變量) )LpnLGIdxxMdUU2)(2 xdxLtAB10-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學73 3、平面彎曲、平面彎曲EILMmWU2212純彎

4、曲梁的變形能：純彎曲梁的變形能：式中式中 M梁橫截面上的彎矩；梁橫截面上的彎矩； I梁橫截面對中性軸的慣性矩梁橫截面對中性軸的慣性矩LmmoBAm10-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學8橫力彎曲梁橫力彎曲梁( (彎矩沿梁的軸線為變量彎矩沿梁的軸線為變量) )的變形能的變形能LLEIdxxMdUU2)(2Pm=PaACBaa一般實心截面的細長梁一般實心截面的細長梁: :剪切變形能遠小于其彎剪切變形能遠小于其彎曲變形能，通常忽略不計。曲變形能，通常忽略不計。10-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學9LQLGAdxFkdUU2)(2式中式中一般實心截面的細長梁一

5、般實心截面的細長梁: :剪切變形能遠小于其彎剪切變形能遠小于其彎曲變形能，通常忽略不計。曲變形能，通常忽略不計。 k k 由截面的幾何形狀決定由截面的幾何形狀決定: : 矩形截面矩形截面: :k k=1.2,=1.2, 圓截面圓截面: : k k=10/9,=10/9,圓環(huán)形截面圓環(huán)形截面: :k k=2=2。4 4、剪切、剪切10-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學10NFNFnMnM)(xM)(xMLLLpnLNEIdxxMGIdxxMEAdxxFU2)(2)(2)(222組合變形時的應(yīng)變能組合變形時的應(yīng)變能 10-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學11

6、FAAl12 引引求節(jié)點求節(jié)點A A的鉛垂位移的鉛垂位移 的兩條研究途徑的兩條研究途徑 方法一方法一1 1212,NNFlFlllEAEA 21221cossintansincosllFlEA 方法二方法二222211221cos222sincosNNFlFlF lVEAEAEA 2FW 221cossincosFlEA 12sin,tanNNFFFF 拉拉 壓壓10-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學12問題問題：（1 1）求節(jié)點）求節(jié)點A的位移，哪種方法優(yōu)越？的位移，哪種方法優(yōu)越？（3 3）為什么要研究能量法？）為什么要研究能量法？（2 2）如何求）如何求BC桿的轉(zhuǎn)角？桿

7、的轉(zhuǎn)角？FABC2022-3-30材料力學13二、外力功的表達式二、外力功的表達式思考：外力功在思考：外力功在P- 曲線上的幾何意義曲線上的幾何意義?線彈性小變形下的外力功線彈性小變形下的外力功PPdW2100PdW觀察加載過程，加載路徑與外力功關(guān)系？觀察加載過程，加載路徑與外力功關(guān)系？載荷載荷- -位移位移(P-(P-曲線曲線靜加載下的外力功靜加載下的外力功10-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能2022-3-30材料力學1410-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能 對于桿件單軸拉伸，桿件上的任一單元體上，外力與變形對于桿件單軸拉伸，桿件上的任一單元體上，外力與變形分別為：分別為：1, 11lF拉桿加載過程

8、中，單元體上外力所做的功為：拉桿加載過程中，單元體上外力所做的功為：10dW 因此在拉桿加載過程中，單元體積蓄的應(yīng)變能，即應(yīng)變能因此在拉桿加載過程中，單元體積蓄的應(yīng)變能，即應(yīng)變能密度為：密度為：EEdEdve22121210011 類似的，可推導(dǎo)出梁彎曲和軸扭轉(zhuǎn)的單元體積蓄的應(yīng)變能，類似的，可推導(dǎo)出梁彎曲和軸扭轉(zhuǎn)的單元體積蓄的應(yīng)變能，應(yīng)變能密度為：應(yīng)變能密度為：GvEvee2,22121 因此桿件整體加載過程中，積蓄的應(yīng)變能為：因此桿件整體加載過程中，積蓄的應(yīng)變能為：VeedVvU0應(yīng)變能密度與應(yīng)變能應(yīng)變能密度與應(yīng)變能2022-3-30材料力學1510-2 應(yīng)變能應(yīng)變能 余能余能余能余能余功余

9、功余能：仿照功與應(yīng)變能相等的關(guān)系，將余功相應(yīng)的余能：仿照功與應(yīng)變能相等的關(guān)系，將余功相應(yīng)的能稱為余能。即能稱為余能。即10FcdFWcFcVdFW102022-3-30材料力學16一、變形能的普遍表達式一、變形能的普遍表達式( (克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理)PoB A 基本變形下變形能的一般表達式：基本變形下變形能的一般表達式：式中式中P廣義力廣義力( (力或力偶力或力偶)； 廣義位移廣義位移( (線位移或角位移線位移或角位移) ) 彈性體的變形能決定于外力和位移的最終值，與加載彈性體的變形能決定于外力和位移的最終值，與加載 的過程無關(guān)的過程無關(guān)。PWU2110-3 卡氏定理卡氏定理2022

10、-3-30材料力學17廣義力與廣義位移的相應(yīng)關(guān)系：廣義力與廣義位移的相應(yīng)關(guān)系：FmFF mm10-3 卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力學18二、變形能的普遍表達式二、變形能的普遍表達式( (克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理) )P1P2PiPnP1P2PiPn12in 設(shè)在某彈性體上作用有外力設(shè)在某彈性體上作用有外力P PPn12,，在支承約束，在支承約束下，在相應(yīng)的力下，在相應(yīng)的力 方向產(chǎn)生的位移為方向產(chǎn)生的位移為Pii，( (i=1,2,i=1,2,n,n) )。則物體的變形能為：則物體的變形能為：niiiPWU12110-3 卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力學191f2f1F

11、2F121 2 設(shè)彈性體上同時作用幾個載荷時設(shè)彈性體上同時作用幾個載荷時1.在加載過程中各載荷之間保持一定比例關(guān)系在加載過程中各載荷之間保持一定比例關(guān)系22112121FFW+=2.非比例加載：非比例加載：22112121FFW+=不論加載方式如何，在卸載過程中彈性體所作的總功均為不論加載方式如何，在卸載過程中彈性體所作的總功均為由能量受恒定律：由能量受恒定律：W應(yīng)等于加載時作的總功應(yīng)等于加載時作的總功 W克拉比隆定理克拉比隆定理不論加載方式如何，作用在彈性體上的廣義載荷在相應(yīng)位移上不論加載方式如何，作用在彈性體上的廣義載荷在相應(yīng)位移上所作的總功為：所作的總功為：iiFW21=10-3 卡氏定

12、理卡氏定理2022-3-30材料力學20：iP 廣義力，力或力偶，或一對力，或一對力偶廣義力，力或力偶，或一對力，或一對力偶。i 在所有力共同作用下與廣義力在所有力共同作用下與廣義力 相對應(yīng)的沿著力相對應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。的方向的廣義位移。iP以上計算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的變形以上計算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的變形能的計算。能的計算。變形能可以通過變形能可以通過外力功外力功計算，也可以通過桿件微段上計算，也可以通過桿件微段上的的內(nèi)力功內(nèi)力功等于微段的變形能，然后積分求得整個桿件上等于微段的變形能，然后積分求得整個桿件上的變形能。的變形能。10-3 卡氏定理卡氏定理2

13、022-3-30材料力學213 變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理變形能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在變形能計算中不能使用在變形能計算中不能使用。只有當桿件上任一載荷在。只有當桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時，才可應(yīng)用。其他載荷引起的位移上不做功時，才可應(yīng)用。4 變形能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，變形能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨立選取坐標系。10-3 卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力學22三、卡氏定理三、卡氏定理Pi設(shè)在某彈性體上作用有外力設(shè)在某彈性體上作用有外力P PPn12,，

14、在支承約束，在支承約束下，在相應(yīng)的力下，在相應(yīng)的力 方向產(chǎn)生小的位移增量方向產(chǎn)生小的位移增量 時可以證明：時可以證明：i( (i=1,2,i=1,2,n,n) )。 iiVPP1P2PiPn12in10-3 卡氏定理卡氏定理卡氏第一定理卡氏第一定理彈性桿件的應(yīng)變能對于桿件彈性桿件的應(yīng)變能對于桿件上某一位移的變化率等于該上某一位移的變化率等于該位移相應(yīng)的荷載。位移相應(yīng)的荷載。廣義力廣義力廣義位移廣義位移2022-3-30材料力學23卡氏第二定理卡氏第二定理Pi設(shè)在某彈性體上作用有外力設(shè)在某彈性體上作用有外力P PPn12,，在支承約束，在支承約束下，在相應(yīng)的力下，在相應(yīng)的力 方向產(chǎn)生的位移為方向

15、產(chǎn)生的位移為i，( (i=1,2,i=1,2,n,n) )。 可以證明：可以證明：iiPU能量法與超靜定系統(tǒng)/卡氏定理P1P2PiPn12in2022-3-30材料力學24iiPU 注意注意：i應(yīng)用卡氏定理求出應(yīng)用卡氏定理求出 為正時，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣為正時，表示該廣義位移與其相應(yīng)的廣義力作用的方向一致；若為負值，則表示方向相反。義力作用的方向一致；若為負值，則表示方向相反。能量法與超靜定系統(tǒng)/卡氏定理2022-3-30材料力學25證明：證明：),(21niPPPPfU再加增量再加增量 ，則變形能，則變形能U的增量的增量dU為為idPiidPPUdU梁的總變形能為梁的總變形能為：ii

16、dPPUUdUU(a)能量法與超靜定系統(tǒng)能量法與超靜定系統(tǒng)/卡氏定理卡氏定理考慮兩種不同的加載次序?？紤]兩種不同的加載次序。(1)先加先加 ，此時，此時彈性體的變形能為彈性體的變形能為U：P PPn12,2022-3-30材料力學26UPUniii1212(2) 先加先加 ，然后再加，然后再加 ，此時彈性體的變形能，此時彈性體的變形能 由三部分組成：由三部分組成：P PPn12,idP梁的總變形能為梁的總變形能為：iiiidPddPUUUUU21321(b)idP(a) 在相應(yīng)的位移在相應(yīng)的位移 上所作的功上所作的功idiiddPU211P PPn12, (b) 在相應(yīng)位移在相應(yīng)位移 上所作的

17、功：上所作的功： n,21(c)原先作用在梁上的原先作用在梁上的 對位移對位移 所作的功所作的功idPiiidPU3能量法與超靜定系統(tǒng)能量法與超靜定系統(tǒng)/卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力學27iiiidPddPU21iidPPUU 根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次序無關(guān)。序無關(guān)。( (a)(b)a)(b)兩式相等：兩式相等：略去二階微量，化簡后得：略去二階微量，化簡后得：iiPU證畢。證畢。能量法與超靜定系統(tǒng)能量法與超靜定系統(tǒng)/卡氏定理卡氏定理2022-3-30材料力學282022-3-30材料力學29解解:（1）

18、計算梁的應(yīng)變能計算梁的應(yīng)變能(x軸從軸從A向左向左)( )eM xMFx 2222 3ee0( )2622lFM lM lMxF lVdxEIEIEIEI e22 3e,F,M62M lF lVVVEIEI 多個外力引起的應(yīng)變能不能利用疊加原理進行計算多個外力引起的應(yīng)變能不能利用疊加原理進行計算例：例：懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計算應(yīng)變懸臂梁承受集中力與集中力偶作用，計算應(yīng)變能和外力所做之總功。彎曲剛度為能和外力所做之總功。彎曲剛度為EI。FMA2022-3-30材料力學30解解:(2) :(2) 計算外力所作之總功計算外力所作之總功EIlMEIFlwwwAAA232e3M,F,e EI

19、lMEIFlAAAe2M,F,2e EIlMEIlFMEIlFMFwWAA226222e2e32e 梁的應(yīng)變能等于外力所做總功梁的應(yīng)變能等于外力所做總功FMA例例1 試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端B的的撓度撓度.ABFlxxFxM )(EIlFxEIFxxEIxMUll6d2)(d2)(32022 B21vFW EIFlv33B 例例2 試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求C截面的撓度截面的撓度.ABCFx1x2abl解：解：EIlbaFbEIlaFaEIlbFxEIxlFaxEIxlFbxEIx

20、MUbal63232d2)(d2)(d2)(22232223222202210212 C21vFW 由由 U=W 得得EIlbFav322C EIRFREIFRREIMUl8d2)sin(d2)(322022 例例3 試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能原理求試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移截面的垂直位移. 已知已知EI 為常量為常量. sin)(FRM BV21 FW由由 U=W 得得EIFR43BV 2022-3-30材料力學34ABCabF1F22022-3-30材料力學35ABCabF1F2EAaFB11 EAaFBFW22121111 EAbaFCFW2)(2122222 EAbaFC2)(22 2022-3-30材料力學36ABCabF1F2EAaFB22 EAaFFBFW21213 EAaFFEAbaFEAaFBFCFBFWU2122212122112)(22121 2022-3-30材料力學37ABCabF1F2EAbaF2)(22 EAaF2212022-3-30材料力學38ABCabF1F2E