競賽磁學(xué)部分2016-1

1、磁力概要磁力概要1、洛侖茲力與、洛侖茲力與安培力：安培力：BvqFm BlIdFd 2、均勻磁場中一段載流導(dǎo)線：、均勻磁場中一段載流導(dǎo)線：（1）直導(dǎo)線：）直導(dǎo)線：Bl IF （2）曲導(dǎo)線：）曲導(dǎo)線：與起、止點(diǎn)一樣的直導(dǎo)線受力相同與起、止點(diǎn)一樣的直導(dǎo)線受力相同3、均勻磁場中載流線圈、均勻磁場中載流線圈(所受合力為所受合力為0)：（1）磁矩：）磁矩：nNISm （2）磁力矩：）磁力矩：)Bn(NISBmM 例例1. 如圖所示形狀的導(dǎo)線，通電流如圖所示形狀的導(dǎo)線，通電流I，放在一個(gè)，放在一個(gè)與均勻磁場與均勻磁場B垂直的平面上，則此導(dǎo)線受到磁場垂直的平面上，則此導(dǎo)線受到磁場力的大小為力的大小為_，方向

2、為，方向?yàn)開可以證明，在均勻磁場中閉合電流回路所受磁場可以證明，在均勻磁場中閉合電流回路所受磁場力之和為零：力之和為零： 0 BldIBldIF答案：答案：BI(l+2R); 在紙面內(nèi)，豎直向上在紙面內(nèi)，豎直向上簡要說明：簡要說明： Ibacll ROd設(shè)想添上設(shè)想添上ca、dc導(dǎo)線，使導(dǎo)線，使abca及及cd弧弧dc線分別構(gòu)成線分別構(gòu)成兩閉合回路兩閉合回路0 cabcabFFF0 dccdFF弧弧 dccabcabFFFFF cd弧弧adadcadckRlIBkdlIBBldIFF2（ 為沿紙面豎直向上的單位矢量）為沿紙面豎直向上的單位矢量）k力的大小為力的大小為IB(l+2R)，方向?yàn)檠丶?/p>

3、面豎直向上。，方向?yàn)檠丶埫尕Q直向上。其中其中 所表示導(dǎo)線所表示導(dǎo)線ab受磁場力，其他類似。受磁場力，其他類似。abF Ibacll ROd均勻磁場中，均勻磁場中，起、止點(diǎn)一樣的曲導(dǎo)線與直導(dǎo)線起、止點(diǎn)一樣的曲導(dǎo)線與直導(dǎo)線受力相同受力相同（ 為沿紙面豎直向上的單位矢量）為沿紙面豎直向上的單位矢量）k力的大小為力的大小為IB(l+2R)，方向?yàn)檠丶埫尕Q直向上。，方向?yàn)檠丶埫尕Q直向上。方法二：方法二：kRlIBF2例例2.（7分）如圖所示，夾角為分）如圖所示，夾角為的平面的平面S1與與S2相相交于直線交于直線MN，磁感應(yīng)強(qiáng)度為，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 的空間勻強(qiáng)磁場的空間勻強(qiáng)磁場其磁力線與其磁力線與S1平面平行

4、，且與直線平面平行，且與直線MN垂直。今垂直。今取半徑為取半徑為R的半圓周導(dǎo)線的半圓周導(dǎo)線ab，并通過以電流，并通過以電流I，將，將它整體放置在平面它整體放置在平面S2的不同部位，則它可能受到的不同部位，則它可能受到的最大安培力的大小的最大安培力的大小Fmax=_，可能受到的，可能受到的最小安培力的大小最小安培力的大小Fmin_。BIabRB 1S2SMN答案：答案：2IBR，2IBRsin簡要說明：因磁場均勻，此導(dǎo)線受力相當(dāng)于沿簡要說明：因磁場均勻，此導(dǎo)線受力相當(dāng)于沿直徑直徑ab的截流直導(dǎo)線受力。用矢量的截流直導(dǎo)線受力。用矢量 表示從表示從a到到b沿直徑的線段，安培力沿直徑的線段，安培力 。

5、當(dāng)此導(dǎo)。當(dāng)此導(dǎo)線在線在S2面上，分別處于面上，分別處于 和和 二二位置時(shí)，位置時(shí)， 與與 間夾角為間夾角為 /2和和，相應(yīng)的安培，相應(yīng)的安培力大小分別為最大和最小，其值為力大小分別為最大和最小，其值為2IBR和和2IBRsin。BdIFdMN/dMNd dBIabRB 1S2SMN 帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)：帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)：BvqF0vB均勻均勻0v勻直運(yùn)動(dòng)勻直運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)BqmvR0 BqmT 2 等螺距螺旋運(yùn)動(dòng)等螺距螺旋運(yùn)動(dòng) 螺旋半徑螺旋半徑BqmvR 回旋周期回旋周期BqmvRT 22螺距螺距Tvh/ 例例3.（5分）設(shè)在討論的空間范圍內(nèi)有勻強(qiáng)磁場分）設(shè)在討論的空間

6、范圍內(nèi)有勻強(qiáng)磁場B如圖，方向垂直紙面朝里。在紙平面上有一長為如圖，方向垂直紙面朝里。在紙平面上有一長為h的光滑絕緣空心細(xì)管的光滑絕緣空心細(xì)管MN，管的，管的M端內(nèi)有一質(zhì)量端內(nèi)有一質(zhì)量為為m、帶電為、帶電為q0的小球的小球P。開始時(shí)。開始時(shí)P相對管靜止。相對管靜止。而后如圖所示，管帶著而后如圖所示，管帶著P朝垂直于管的長度方向朝垂直于管的長度方向始終以勻速始終以勻速u運(yùn)動(dòng)。那么，小球運(yùn)動(dòng)。那么，小球P從從N端離開管后，端離開管后，在磁場中做圓運(yùn)動(dòng)的半徑為在磁場中做圓運(yùn)動(dòng)的半徑為R=_。在此不必。在此不必考慮重力及各種阻力。考慮重力及各種阻力。 NMBuhP答案：答案：muqBhqBmu21 簡要

7、說明：帶電小球簡要說明：帶電小球P以以u(píng)運(yùn)動(dòng)后，受與運(yùn)動(dòng)后，受與u，B垂直垂直的洛侖茲力，由的洛侖茲力，由M指向指向N方向，此力將使小球方向，此力將使小球P在在管中加速管中加速h距離。距離。f=quB，a=f/m=quB/m小球離開小球離開N點(diǎn)時(shí)相對管點(diǎn)時(shí)相對管MN的速度大小為的速度大小為mquBhahv222 其方向與其方向與u垂直，故小球離開垂直，故小球離開N點(diǎn)進(jìn)入磁場點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)，其相對與磁場的速度大小滿足時(shí)，其相對與磁場的速度大小滿足222uvv 總總muqBhqBmuqBmvR21 總總muqBhuv21 總總例例4. 下圖所示是用磁聚焦法測定電子荷質(zhì)比的實(shí)下圖所示是用磁聚焦法測定電

8、子荷質(zhì)比的實(shí)驗(yàn)裝置。從陰極驗(yàn)裝置。從陰極K發(fā)射出來的電子被加速電壓發(fā)射出來的電子被加速電壓V加加速，穿過陽極速，穿過陽極A上的小孔，得到沿軸線運(yùn)動(dòng)的、上的小孔，得到沿軸線運(yùn)動(dòng)的、速度相同的電子束，再經(jīng)平行板電容器速度相同的電子束，再經(jīng)平行板電容器C，到達(dá)熒，到達(dá)熒光屏，平板電容器至熒光屏的距離為光屏，平板電容器至熒光屏的距離為l (平板線平板線度度)。在電容器兩極板間加一交變電壓，使電子獲。在電容器兩極板間加一交變電壓，使電子獲得不大的橫向分速度，電子將以不同的發(fā)散角離得不大的橫向分速度，電子將以不同的發(fā)散角離開電容器。開電容器。BlCVAK.8222lBV 答案：答案：今在軸線方向加一磁感應(yīng)

9、強(qiáng)度為今在軸線方向加一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場。的均勻磁場。調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)B的大小，可使所有電子匯聚于熒光屏的同的大小，可使所有電子匯聚于熒光屏的同一點(diǎn)一點(diǎn)(磁聚焦磁聚焦)。令。令B從零連續(xù)增大，記下出現(xiàn)第一從零連續(xù)增大，記下出現(xiàn)第一次聚焦的次聚焦的B值，根據(jù)值，根據(jù)V、B和和l的數(shù)值可測得電子荷的數(shù)值可測得電子荷質(zhì)比質(zhì)比e/m= 。BlCVAKmeVv2 eBmvh 2第一次磁聚焦時(shí)第一次磁聚焦時(shí) ，故，故hl meVeBml22 .lBVme2228 由此得出電子荷質(zhì)比為由此得出電子荷質(zhì)比為電子被加速后獲得的速度為電子被加速后獲得的速度為各電子由于在電容器中獲得橫向速度而在縱向各電子由于在電容器

10、中獲得橫向速度而在縱向磁場磁場B的作用下作螺旋運(yùn)動(dòng)，其螺距為的作用下作螺旋運(yùn)動(dòng)，其螺距為簡要說明：簡要說明：例例5. 被電勢差被電勢差U加速的電子從電子槍口加速的電子從電子槍口T發(fā)射出來，發(fā)射出來，其初速度指向其初速度指向x方向。為使電子束能集中目標(biāo)方向。為使電子束能集中目標(biāo)M點(diǎn)，點(diǎn)，(直線直線TM與與x軸間夾角為軸間夾角為 )，在電子槍外空間加，在電子槍外空間加一均勻磁場，其方向與一均勻磁場，其方向與TM平行，如圖，已知從平行，如圖，已知從T到到M的距離為的距離為d ，電子質(zhì)量為，電子質(zhì)量為m，帶電量為，帶電量為e。為。為使電子恰能擊中使電子恰能擊中M點(diǎn)，應(yīng)使磁感應(yīng)強(qiáng)度點(diǎn)，應(yīng)使磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

11、 。BMTxU電子繞一周所需時(shí)間為：電子繞一周所需時(shí)間為：) 1 (2meUv cos/vv vvsin ) 2 (cos/vdvdt) 3(2eBmT 為整數(shù)為整數(shù)kemUdk,2cos2答案：答案：簡要說明：簡要說明：電子速率為電子速率為電子從電子從T到到M所需時(shí)間為：所需時(shí)間為：電子速度與電子速度與 平行的分量為平行的分量為B電子速度與電子速度與 垂直的分量為垂直的分量為B電子擊中電子擊中M點(diǎn)的條件是：點(diǎn)的條件是：由由(1)、(2)、(3)、(4)式聯(lián)立解得式聯(lián)立解得1 2 34(, , ,)( )tkTkemUdkB2cos2 磁場概要磁場概要1、利用、利用B-S定律或運(yùn)動(dòng)電荷磁場公式

12、定律或運(yùn)動(dòng)電荷磁場公式20rrlId4Bd 20rrvq4B 2、利用安培環(huán)路定理、利用安培環(huán)路定理 iioLIl dB 4、平板電容器中總位移電流：、平板電容器中總位移電流：dtdESdtdUCI0d板板 3、Maxwell位移電流假說：位移電流假說：實(shí)質(zhì)：實(shí)質(zhì)：變化電場變化電場 磁場磁場dtdIDd tDJd 5、典型場：、典型場：直直電電流流一段導(dǎo)線一段導(dǎo)線)cos(cosa4IB210 無限長無限長a2IB0 導(dǎo)線所在直線上導(dǎo)線所在直線上圓圓電電流流軸線上軸線上2/32220)xR(2IRB 圓心處圓心處R2IB0O 弧電流弧電流 圓心處圓心處 2R2IB0O 長直載流密繞螺線管長直載

13、流密繞螺線管載流密繞細(xì)螺繞環(huán)載流密繞細(xì)螺繞環(huán)0B 電流分布電流分布磁場分布磁場分布無限大平面電流無限大平面電流2/0 BnIB0 內(nèi)內(nèi)0 外外BnIB0 內(nèi)內(nèi)0 外外B304rrlIdBd 304rrlIdBL 例例6. 試判斷能否產(chǎn)生一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度試判斷能否產(chǎn)生一個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度 形形式的磁場（式的磁場（ 是場點(diǎn)的位置矢量，是場點(diǎn)的位置矢量，f ( r )為為r的函的函數(shù)），并說明理由數(shù)），并說明理由_rrfB)( r答案：否答案：否簡要說明簡要說明:由畢薩定律，電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度為由畢薩定律，電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度為而任意磁場又是由電流元的磁場所構(gòu)成，整個(gè)電而任意磁場又是由電流元的磁場所構(gòu)成，整個(gè)

14、電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 sdSB0可見磁感應(yīng)強(qiáng)度可見磁感應(yīng)強(qiáng)度 不是沿不是沿 方向的，故不可能產(chǎn)生方向的，故不可能產(chǎn)生一個(gè)一個(gè) 形式的磁場。況且若有這種磁場的形式的磁場。況且若有這種磁場的話，其話，其 線呈輻射狀而不閉合，就不能滿足任意線呈輻射狀而不閉合，就不能滿足任意磁場都適用的高斯定理磁場都適用的高斯定理 了。了。rrfB)( rBB例例7.（11分）半徑分）半徑R，電荷面密度為，電荷面密度為 常量的薄圓常量的薄圓板，在北京地區(qū)一個(gè)豎直平面上以恒定角速度板，在北京地區(qū)一個(gè)豎直平面上以恒定角速度繞著它的中心軸旋轉(zhuǎn)，中心軸自西向東放置，如繞著它的中心軸旋轉(zhuǎn)，中心軸自西向東放

15、置，如圖所示，中心軸上與圓板中心圖所示，中心軸上與圓板中心O相距相距l(xiāng)處有一原水處有一原水平指北的小磁針，因又受到圓板電流磁場的作用平指北的小磁針，因又受到圓板電流磁場的作用而朝東偏轉(zhuǎn)而朝東偏轉(zhuǎn)角后到達(dá)新的平衡位置，試求該處地角后到達(dá)新的平衡位置，試求該處地磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的水平分量磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的水平分量B/。Cauauauduu2222232232注：可參考用不定積分公式：注：可參考用不定積分公式： 東東西西北北南南ORl小磁針小磁針解：將薄圓板分割成半徑為解：將薄圓板分割成半徑為r，寬度為，寬度為dr的圓環(huán)，的圓環(huán)，其上的電量為其上的電量為 dQ=2 rdrrdrdQdI /2此電流在點(diǎn)此

16、電流在點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁感應(yīng)強(qiáng)度為23223023222022lrdrrdIlrrdB 此電荷因以此電荷因以旋轉(zhuǎn)而形成的電流強(qiáng)度為旋轉(zhuǎn)而形成的電流強(qiáng)度為東東OdrrPOl整個(gè)薄圓板因旋轉(zhuǎn)在點(diǎn)整個(gè)薄圓板因旋轉(zhuǎn)在點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0222222200232230RlrlrlrdrrdBBR cot222cot22220/llRlRBBllRlR22222220 如圖所示，薄圓板在點(diǎn)如圖所示，薄圓板在點(diǎn)P的的 朝東，地磁場的朝東，地磁場的 朝北，磁針平衡時(shí)與朝北，磁針平衡時(shí)與 同向，故有同向，故有B/B合合B東東西西北北南南ORl小磁針小磁針304 rrlIdBd （第一空）（第一

17、空）解：解： 畢奧畢奧薩伐爾定律為薩伐爾定律為RIIIIII例例8. 據(jù)穩(wěn)恒電流磁場的畢奧據(jù)穩(wěn)恒電流磁場的畢奧薩伐爾定律薩伐爾定律 _，最終可以求得右圖三個(gè)相互正交的，最終可以求得右圖三個(gè)相互正交的圓環(huán)電流公共中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為圓環(huán)電流公共中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=_。 Bd將畢奧將畢奧薩伐爾定薩伐爾定律用于圖（律用于圖（a）中）中圓電流的圓心圓電流的圓心O得得RIuB20 RIuBBBBB23302232221 （第二空）（第二空）RIB )(a2B 1B 3B O)(b將圖（將圖（b）中的）中的 、 、 相加便是中心相加便是中心O處處磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度 ，其大小為，其大小為1B

18、2B 3B B 例例9. (10分分)半徑為半徑為R無限長半圓柱導(dǎo)體上均勻地流無限長半圓柱導(dǎo)體上均勻地流過電流過電流I，求半圓柱軸線，求半圓柱軸線(原圓柱體的中心軸線原圓柱體的中心軸線)處處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 2/2RIj .22RIrdrdRIdrrdjdI22 解：依題意可知，該半圓柱導(dǎo)體中的電流密度為解：依題意可知，該半圓柱導(dǎo)體中的電流密度為d在半徑為在半徑為r處取厚度為處取厚度為dr的薄層的薄層(如圖示如圖示)，在其中圓心角為，在其中圓心角為 的窄條中流過的電流為的窄條中流過的電流為 dr dOr建立坐標(biāo)系如圖示，由對稱性知，關(guān)于建立坐標(biāo)系如圖示，由對稱性知，關(guān)于x軸對軸對稱

19、的小窄條電流稱的小窄條電流dI1、dI2在半圓柱體中心軸上在半圓柱體中心軸上的磁感應(yīng)強(qiáng)度的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB1、dB2的矢量和沿的矢量和沿Oy方向。方向。 rdrdRIrrdIdB200222xy1dI2dI1dB2dBOrdI在在半圓柱軸線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為半圓柱軸線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 drdRI220drdRIdBdBycoscos220 RydrdRIBB020220cos2 RdrRI02202RI202 方向：沿方向：沿Oy 方向。方向。drdRIdBdBycoscos220 xy1dI2dI1dB2dBOr例例10.（10分）如圖所示，電流強(qiáng)度分）如圖所示，電流強(qiáng)度為為I的直流電通

20、過一根無限長直導(dǎo)線的直流電通過一根無限長直導(dǎo)線流到半徑為流到半徑為R的金屬半球面下方端的金屬半球面下方端點(diǎn)，而后均勻地流過半球面到達(dá)半點(diǎn)，而后均勻地流過半球面到達(dá)半球面的上方端點(diǎn)，在經(jīng)過另一根半球面的上方端點(diǎn)，在經(jīng)過另一根半無限長直導(dǎo)線流向無窮遠(yuǎn)處，設(shè)這無限長直導(dǎo)線流向無窮遠(yuǎn)處，設(shè)這兩根半無限長直導(dǎo)線恰好在半球面兩根半無限長直導(dǎo)線恰好在半球面的直徑延長線上，試證球心的直徑延長線上，試證球心O處磁處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=0I/2 R。RIIO解：上下兩根半無限長直流對解：上下兩根半無限長直流對O點(diǎn)點(diǎn)的的B無貢獻(xiàn)，半球面俯視為半圓，無貢獻(xiàn)，半球面俯視為半圓，取取+d圓弧，如圖所示，

21、圓弧，如圖所示，xydBdOr+d圓弧對應(yīng)半球面上一窄條西瓜皮形（中圓弧對應(yīng)半球面上一窄條西瓜皮形（中間寬，兩頭細(xì)）的部分，其中電流為：間寬，兩頭細(xì)）的部分，其中電流為：dIdI 大?。捍笮。悍较颍褐赶蚍较颍褐赶騳軸正方向軸正方向 ydBB0B將將dBy=dBsin代入后，可得：代入后，可得：RIRIdB0002sin4xydBdOrdI對對O點(diǎn)點(diǎn) 的貢獻(xiàn)相當(dāng)半圓電流對其圓心磁場的的貢獻(xiàn)相當(dāng)半圓電流對其圓心磁場的貢獻(xiàn)，記為貢獻(xiàn)，記為 ，其大小為，其大小為BdBRIdRdIdB 4/4/00 Bd由對稱性可知，各由對稱性可知，各 在在x方向相互抵消，故合方向相互抵消，故合成成 為：為：B例例11

22、. (6分分) 圖示為一內(nèi)半徑為圖示為一內(nèi)半徑為a，外半徑為，外半徑為b的均的均勻帶電薄絕緣環(huán)片，該環(huán)片以角速度勻帶電薄絕緣環(huán)片，該環(huán)片以角速度繞過中心繞過中心O、并與環(huán)片平行垂直的軸旋轉(zhuǎn)，環(huán)片上總電量、并與環(huán)片平行垂直的軸旋轉(zhuǎn)，環(huán)片上總電量為為Q，則環(huán)片中心，則環(huán)片中心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度值處的磁感應(yīng)強(qiáng)度值B= 。abO)(20baQ 簡要說明：簡要說明：答案：答案：面電荷密度為面電荷密度為)(22abQ abOrdrr idr環(huán)對應(yīng)電流為環(huán)對應(yīng)電流為)ab(rdrQ/drri2222 因各電流元在圓心處產(chǎn)生的磁場同向：因各電流元在圓心處產(chǎn)生的磁場同向：badr)ab(rrQdBB2202 )a

23、b()ab(Q2202 )(20baQ 磁介質(zhì)概要磁介質(zhì)概要HB 對各向同性磁介質(zhì)：對各向同性磁介質(zhì)：r 0 2r 略略1，順磁質(zhì)，順磁質(zhì)3r 略略a)的大線圈共面且同心，固的大線圈共面且同心，固定大線圈，并在其中維持恒定電流定大線圈，并在其中維持恒定電流I，使小線圈，使小線圈繞其直徑以勻角速繞其直徑以勻角速 轉(zhuǎn)動(dòng)如圖轉(zhuǎn)動(dòng)如圖(線圈的自感可忽線圈的自感可忽略略)。 求求(1)小線圈中的電流；小線圈中的電流； (2)為使小線圈保持勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，需對它施為使小線圈保持勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，需對它施加的力矩大??；加的力矩大??； (3)大線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢。大線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢。Iba解解：(1)因?yàn)橐驗(yàn)?b

24、a，所以小線圈處的磁場近似看，所以小線圈處的磁場近似看成均勻。小線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通過小線圈的磁通量成均勻。小線圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通過小線圈的磁通量為：為：)(tcosabIcosBSSB1220 ( 為大線圈平面與小線圈平面間的夾角或兩線為大線圈平面與小線圈平面間的夾角或兩線圈平面法線間的夾角圈平面法線間的夾角)小線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢小線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢tbaIdtdsin2201 小線圈中感應(yīng)電流的大小小線圈中感應(yīng)電流的大小tbRaIRisin2201 小線圈中的感應(yīng)電流的方向由楞次定律確定小線圈中的感應(yīng)電流的方向由楞次定律確定(該該處從略處從略)。(2)要保持小線圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，對線圈施加的外力要保持小線圈勻速

25、轉(zhuǎn)動(dòng)，對線圈施加的外力矩必須等于線圈所受的磁力矩。矩必須等于線圈所受的磁力矩。 BmMM磁外外力矩的大小外力矩的大小tbaIRtiSBM 2220sin)2(sin 外外兩線圈的互感兩線圈的互感tbaIMcos220 小線圈有電流，通過大線圈的磁通量小線圈有電流，通過大線圈的磁通量tbRIatbaMi sin2cos22020 tRbIa 2sin824220 故大線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢故大線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢tRbIadtd2cos4224220 (3)由式（由式（1）知，通過小線圈的磁通量）知，通過小線圈的磁通量tIba cos220 例例28. 一無限長圓柱，偏軸平行地挖出一圓柱空間，一無限長

26、圓柱，偏軸平行地挖出一圓柱空間，兩圓柱軸間距離兩圓柱軸間距離 圖中所示為垂直于軸線的圖中所示為垂直于軸線的截面，用截面，用表示兩圓柱間存在的均勻磁場的方向，表示兩圓柱間存在的均勻磁場的方向，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間隨時(shí)間t線性增長，即線性增長，即B=kt(k為常為常數(shù)數(shù))，現(xiàn)在空腔中放一與，現(xiàn)在空腔中放一與 成成60 角，長為角，長為L的金的金屬棍屬棍 求沿棍的感生電動(dòng)勢求沿棍的感生電動(dòng)勢 。,dOO OO ,BOA ABBAOO 解法一：解法一： 將空腔部分視為磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為將空腔部分視為磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B和和-B的均勻分布磁場的疊加，于是整個(gè)磁場可視為的均勻分布磁場的疊加，于是整

27、個(gè)磁場可視為圓柱圓柱O內(nèi)的均勻磁場內(nèi)的均勻磁場B和在空腔內(nèi)的均勻磁場和在空腔內(nèi)的均勻磁場-B的的疊加。疊加。21EEE dtdBrEdtdBrE2,22211 22112211rE,rE,rE,rE 且且PCDPOO 11rdEE,OOPC,PCE 由圖可知由圖可知由于由于B是變化的，是變化的，B=kt，所以空間有感應(yīng)電場，所以空間有感應(yīng)電場，在空腔內(nèi)任意點(diǎn)在空腔內(nèi)任意點(diǎn)P的感應(yīng)電場強(qiáng)度的感應(yīng)電場強(qiáng)度dtdBdErdE211 kLdcosLdtdBddlEBAAB43302 E即空腔內(nèi)為勻強(qiáng)電場，即空腔內(nèi)為勻強(qiáng)電場， 方向如圖。方向如圖。dtdBjrirjrir)cos2sin2()cos2s

28、in2(2211 jdtdBd2說明空腔內(nèi)為一方向向上的勻強(qiáng)電場。說明空腔內(nèi)為一方向向上的勻強(qiáng)電場。 OPr ,dtdBrE 1112POr ,dtdBrE 222221EEE )cossin()cossin(2211 jEiEjEiE 以下同解法一，從略。以下同解法一，從略。解法二：解法二： 按疊加原理求解，敘述同解法一從略。按疊加原理求解，敘述同解法一從略。例例29. (14分分)假定自然界存在類似于電荷的磁荷，假定自然界存在類似于電荷的磁荷，且存在與電荷密度相當(dāng)?shù)暮擅芏?，與電流密度和且存在與電荷密度相當(dāng)?shù)暮擅芏?，與電流密度和電流強(qiáng)度相當(dāng)?shù)拇帕髅芏扰c磁流強(qiáng)度。存在磁荷電流強(qiáng)度相當(dāng)?shù)拇帕髅芏?/p>

29、與磁流強(qiáng)度。存在磁荷后，麥克斯韋方程組中電場環(huán)流的表達(dá)式修改成后，麥克斯韋方程組中電場環(huán)流的表達(dá)式修改成 SdjSdtBl dESmSL 0式中式中 為磁流密度，為磁流密度， 為閉合路徑所圈圍為閉合路徑所圈圍的磁流強(qiáng)度的代數(shù)和。的磁流強(qiáng)度的代數(shù)和。 SdjSm mj（1）今有一自感系數(shù)為）今有一自感系數(shù)為L的理想電感，由的理想電感，由N砸導(dǎo)砸導(dǎo)線繞成，通過電感的似穩(wěn)電流線繞成，通過電感的似穩(wěn)電流i=i（t），通過每），通過每砸導(dǎo)線所圈圍砸導(dǎo)線所圈圍面積的磁流強(qiáng)度為面積的磁流強(qiáng)度為Im m，試求處理想，試求處理想電感兩端電壓的瞬時(shí)值的表達(dá)式。電感兩端電壓的瞬時(shí)值的表達(dá)式。（2）今有一真空的環(huán)形管

30、道，上面繞有）今有一真空的環(huán)形管道，上面繞有n砸線圈，砸線圈，其自感系數(shù)為其自感系數(shù)為L，線圈的兩端相連構(gòu)成閉合回路，線圈的兩端相連構(gòu)成閉合回路，如圖所示，如圖所示，起初線圈中無電流，今有一磁量為起初線圈中無電流，今有一磁量為qm m的磁單極，在管道內(nèi)繞行的磁單極，在管道內(nèi)繞行v此后，求閉合線圈中此后，求閉合線圈中的最大電流（設(shè)線圈的電阻看忽略不計(jì)）的最大電流（設(shè)線圈的電阻看忽略不計(jì)）解：解：（1）理想電感電阻為零，則兩端電壓為理想電感電阻為零，則兩端電壓為 dSjdStBdlEUSmLSL 0dtdiLdStBL msmINdSj mLNIdtdiLU0 （2）閉合線圈無電阻的電路方程為）閉

31、合線圈無電阻的電路方程為00 mnIdtdiLdtLnIdim0 dtILndtLnLitmtm 0000磁荷繞磁荷繞v次后有次后有mmvqdtI 最大電流最大電流mmvqLni0 由此得由此得簡要說明：簡要說明：如圖所示，力如圖所示，力 拉拉cd棒向右運(yùn)動(dòng)，則處于長棒向右運(yùn)動(dòng)，則處于長直線載流導(dǎo)體磁場中的回路直線載流導(dǎo)體磁場中的回路abdca內(nèi)就有磁通內(nèi)就有磁通量變化，由楞次定律可知，即有感應(yīng)電流量變化，由楞次定律可知，即有感應(yīng)電流i從從a流向流向b。在長直電流。在長直電流I 產(chǎn)生的垂直于紙面向產(chǎn)生的垂直于紙面向里的磁場的作用下，棒受的力方向向右，故里的磁場的作用下，棒受的力方向向右，故ab棒向右運(yùn)動(dòng)。棒向右運(yùn)動(dòng)。FabcdF Bi答案答案：（：（B）v abxy例例34. 一矩形線框由無電阻的導(dǎo)線構(gòu)成，其邊分一矩形線框由