信號(hào)與系統(tǒng)微分方程式的經(jīng)典解法

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)n n階常系數(shù)微分方程的求解法階常系數(shù)微分方程的求解法 the solution method for constant-coefficient difference equation of Nth-order全響應(yīng)全響應(yīng)= =齊次方程通解齊次方程通解 + + 非齊次方程特解非齊次方程特解（自由響應(yīng)） （受迫響應(yīng)）全響應(yīng)全響應(yīng)= =零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) + + 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（解齊次方程） （卷積法） 時(shí)域分析法時(shí)域分析法（經(jīng)典法）變換域法變換域法（第四章拉普拉斯變換法）微分方程求解微分方程求解信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)n 階線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的描述階線(xiàn)性時(shí)

2、不變系統(tǒng)的描述 一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào)一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) 與響應(yīng)信號(hào)與響應(yīng)信號(hào) 之間的關(guān)系，之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述( )x t( )r t階次：階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)決定。-1101-1101dd( )( )( )dddd( )( )( )ddnnnnnnmmmmmmay tay ta y tttbx tbx tb x ttt若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則 ， 均為常數(shù)，此方程為常系均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的數(shù)的n 階線(xiàn)性常微分方程階線(xiàn)性常微分方程。kakb信號(hào)與系統(tǒng)信

3、號(hào)與系統(tǒng) 一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為一般將激勵(lì)信號(hào)加入的時(shí)刻定義為t=0 ，響應(yīng)為，響應(yīng)為 時(shí)的方程的解，時(shí)的方程的解， 初始條件初始條件:0t齊次解：齊次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫(xiě)出齊次解形式寫(xiě)出齊次解形式1ekntkkC注意：注意：重根情況處理方法（修改齊次解的形式）重根情況處理方法（修改齊次解的形式）特特 解：解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式（自由項(xiàng)）形式，設(shè)含待定系根據(jù)微分方程右端函數(shù)式（自由項(xiàng)）形式，設(shè)含待定系 數(shù)的數(shù)的特解函數(shù)式，特解函數(shù)式，代入原方程代入原方程，比較系數(shù)，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。+2+n-1+2n-1dy(0 )d y(0 )dy(0 )y

4、(0 )dtdtdt, , , , ,經(jīng)典法經(jīng)典法kC完全完全 解：解：齊次解齊次解+特解，由初始條件定出特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)齊次解系數(shù)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)齊次微分方程齊次微分方程1ekntkkC特征方程特征方程特征根特征根0)()()(011 -n1ntyatydtdatydtdannnnaaaannnn11100齊次解形式：（和特征根有關(guān)）齊次解形式：（和特征根有關(guān)）12,n齊次解齊次解線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)特征根特征根齊次解的形式齊次解的形式rrtkkrtrtetCteCeC1211 2 ,a

5、b jbteCbteCatatsincos21btetDbtteDbteDbtetCbtteCbteCatkkatatatkkatatsinsinsincoscoscos121121kr對(duì)于每一個(gè)單根對(duì)于每一個(gè)單根k重實(shí)根重實(shí)根ajb1,21,2k重復(fù)根重復(fù)根線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解rtCe給出一項(xiàng)給出一項(xiàng)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)3232ddd( )7( ) 16( ) 12 ( )( )dddr tr tr tr te tttt解：解：系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為 32716120 2230122 , 3 重根tthAAtAtr33221ee)(特征根特征根因而對(duì)應(yīng)的齊次

6、解為因而對(duì)應(yīng)的齊次解為求微分方程求微分方程齊次解齊次解解：解：系統(tǒng)的齊次方程為系統(tǒng)的齊次方程為3232ddd( )7( ) 16( ) 12 ( )0dddr tr tr tr tttt例例信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)esin()a ttecos()a tt12cos()B sin()ateBtt自由項(xiàng)自由項(xiàng)響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù) r(t) 的的特解特解EBpt1121ppppBtB tB tBea teka tBtcos() tsin() t12cos()sin()BtBtesin()pa tttecos()pa ttt11211121()ecos()()esin()pptpppptppBtB tB tB

7、tDtD tD tDt或或12cos()sin()atteBtBt當(dāng)當(dāng) a 是是 k 重特征根時(shí)重特征根時(shí)當(dāng)當(dāng)ajb不是特征根不是特征根當(dāng)當(dāng)ajb是特征根是特征根線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此方程的特解。分別求兩種情況下此方程的特解。 )(d)(d3d)(d2d)(d22tettetrttrttr,e)( )2( ;)( ) 1 (2ttette 給定微分方程式給定微分方程式3221p)(BtBtBtr這里這里 為待定系數(shù)，將此式代入方程得到為待定系數(shù)，將此式代入方程得到 321,BBBttBBBtBBtB2322 34

8、323212121例：例：（1 1） ，自由項(xiàng)為，自由項(xiàng)為 ， 選特解函數(shù)式為選特解函數(shù)式為2( )e tt22tt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有032223413321211BBBBBB聯(lián)解得到聯(lián)解得到2710 ,92 ,31321BBB所以，特解為所以，特解為27109231)(2ptttr信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)te31 于是，特解為于是，特解為tttttBBBeee3e2e31Bp( )( )( )hr tr tr t(2)(2)()(phtrtr 求出的齊次解求出的齊次解 和特解和特解 相加即得方程得完全解相加即得方程得完

9、全解當(dāng)當(dāng) 將其代入方程的右端，可求得自由項(xiàng)為將其代入方程的右端，可求得自由項(xiàng)為 很明顯，很明顯，可選可選 這里，這里，B 是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。代入方程后有：代入方程后有：( )ete t ( )etpr tB。2et信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)22dd( )6( )5 ( )ddty ty ty tett(0)(0)0yy例：例：求微分方程的完全解求微分方程的完全解2650512( )tthytC eC e解解: : 齊次方程為齊次方程為 特征方程：特征方程： 特征根：特征根： 該方程的齊次解為：該方程的齊次解為：1251 ，22dd( )6( )5 ( )0ddy ty ty ttt ( )tp

10、ytCte此處，自由項(xiàng)即為激勵(lì)函數(shù)。其中中此處，自由項(xiàng)即為激勵(lì)函數(shù)。其中中a = -1= -1，與微分方程的一個(gè)特，與微分方程的一個(gè)特征根相同，因此特解為：征根相同，因此特解為： 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)t -t -t -t -22)(5)(dd6)(ddeCteCtetCtet代入原微分方程得代入原微分方程得 求得求得 41C所以特解為所以特解為 tptety41)(完全解為完全解為tttphteeCeCtytyty41)()()(251代入初始條件代入初始條件求得求得161,16121CC所以有所以有041161161)(5tteeetyttt0)0()0( yy線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)經(jīng)典求解或?qū)憺榛驅(qū)憺?111( )( )16164ttty teeteu t信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng) 完全解中的齊次解稱(chēng)為完全解中的齊次解稱(chēng)為系統(tǒng)的系統(tǒng)的自由響應(yīng)自由響應(yīng),特解稱(chēng)為特解稱(chēng)為系統(tǒng)的系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng).特特征方程根征方程根 i(i=1,2,n)稱(chēng)為系統(tǒng)的稱(chēng)為系統(tǒng)的“固有頻率固有頻率”(或或“自由頻率自由頻率”)完全響應(yīng)完全響應(yīng)自由響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)上例中完全