求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法

1、1 觀察法（求出a1、a2、a3，然后找規(guī)律）即歸納推理，就是觀察數(shù)列特征，找出各項(xiàng)共同的構(gòu)成規(guī)律，然后利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可。例1.設(shè)，若，求及數(shù)列的通項(xiàng)公式解：由題意可知：，.因此猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式（1）當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立（2）假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，即.(3)則，即當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也成立由（1）、（2）可知，對于一切正整數(shù)，都有（最后一句總結(jié)很重要）2 定義法（已知數(shù)列為等差或者等比）直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目。 例2.已知等差數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。 解：設(shè)等差數(shù)列的公差為. 因?yàn)?，所? 又因?yàn)?，所以，?

2、所以 . 3公式法 若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式 求解。 （一定要討論n=1，n2） 例3.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：（）由 可得：當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)， 而 ，所以 4累加法當(dāng)遞推公式為時(shí)，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為。例4.數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列an的前10項(xiàng)和為 解：由題意得： 5累乘法當(dāng)遞推公式為時(shí)，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例5.已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：由條件知 ，在上式中分別令，得個(gè)等式累乘之，即 ， 即 又 6.構(gòu)造法（拼湊法）-共5種題型，第2、3種方法不必掌握1、當(dāng)遞推公式為（其中均為常數(shù)

3、，且）時(shí)，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例題：已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：由 得 又 所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列 所以 因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 2、當(dāng)遞推公式為時(shí)，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中的值由方程給出。（了解即可，不必掌握） 例題：在數(shù)列中，=2，=，求數(shù)列的通項(xiàng)。 解：由 得 又 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以 ，即 . 3、當(dāng)遞推公式為（其中均為常數(shù)，且）時(shí)，通常解法是把原遞推公式轉(zhuǎn)化為。若，則，此時(shí)數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，即。若，則可化為形式求解。（了解即可，不必掌握） 例題：已知數(shù)列中，=1，=，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：由 得 所以數(shù)列是首項(xiàng)為=，的等比數(shù)列 所以 = ， 即 =4、當(dāng)遞推公式為（為常數(shù)，且）時(shí)，通常兩邊同時(shí)取倒數(shù)，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為。若，則是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，即。若，則可轉(zhuǎn)化為（其中）形式求解。例10.已知數(shù)列滿足，且（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：原式可變形為 兩邊同除以得 構(gòu)造新數(shù)列，使其成為公比的等比數(shù)列 即 整理得 滿足式使 數(shù)列是首項(xiàng)為，q= 的等比數(shù)列 。5、當(dāng)遞推公式為（均為常數(shù)）（又稱二階遞歸）時(shí)，將原遞推公式轉(zhuǎn)化為-（-）.其中、由解出，由此可得到數(shù)列-是等比數(shù)列。 例題：設(shè)數(shù)列的