多元正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)推斷3

1、 多元正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)推斷多元正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)推斷 單個(gè)總體均值向量的推斷單個(gè)總體均值向量的推斷 設(shè) 是取自多元正態(tài)總體的一個(gè)樣本，這里，現(xiàn)欲檢驗(yàn),12nx xx00:H10:H3 單個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢單個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)驗(yàn)是取自該總體的樣本。檢驗(yàn)： ( , )pNx1,2(,)p ,12nx xx01:pH1:ijH至少有一對(duì)一、問(wèn)題引入例 設(shè)與上面的假設(shè)等價(jià)的是，尋找常數(shù)矩陣110010101001C0:HC01:HC0 注：矩陣C不是唯一的， 110001100001C 在例4.2.1中，假定人類的體形有這樣一個(gè)一般規(guī)律的身高、胸圍和上臂圍平均尺寸比例為6:4:1。檢驗(yàn)

2、比例是否符合這一規(guī)律。檢驗(yàn)： 012311:64H112311:,64H 至少有兩個(gè)不等230106C求則上面的假設(shè)可以表達(dá)為 0:HC01:HC0二、統(tǒng)計(jì)量及方法 其中C為一已知的kp階矩陣，kp，rank(C)=K，為已知的K維向量。根據(jù)多元正態(tài)分布的性質(zhì)可知, 0:HC1:HC(,)knNCxCC C(1)(1,)knCW nCSCC檢驗(yàn)：2(1)(1)Tnnnn1Cx)CSC(Cx() ( ,1)nT k n1Cx) CSC(Cx 當(dāng) 為真時(shí)，0:HC2( ,)(1)nkFTF k nkk n故可以將霍特林分布的統(tǒng)計(jì)量換算成F統(tǒng)計(jì)量。 對(duì)給定的顯著性水平，檢驗(yàn)的規(guī)則 2( ,),(1)

3、nkTF k nkk n拒絕原假設(shè)2( ,),(1)nkTF k nkk n接受原假設(shè)。某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測(cè)量數(shù)據(jù)如下編號(hào)身高（cm）胸圍（cm）上半臂長(zhǎng)（cm）17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0檢驗(yàn)三個(gè)指標(biāo)的均值是否有關(guān)系1231164012311:64H112311:,64H 至少有兩個(gè)不相等26247.143=18.8572(1)2(6 1)nkFTk n2() ( ,1)TnT k n1Cx) CSC(Cx4 兩個(gè)總體均值的檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值的檢驗(yàn)一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情

4、形 與一元隨機(jī)變量的情形相同，常常我們需要檢驗(yàn)兩個(gè)總體的均值是否相等。 設(shè)從總體 ，中各自獨(dú)立地抽取樣本 和 ， 。1(, )pN 和2(, )pN112( ,)nx xxx212(,)ny yyy 0 考慮假設(shè) 012:H112:H 根據(jù)兩個(gè)樣本可得1和2的無(wú)偏估計(jì)量為1111ninixx2121niniyy2211,()pNnnXY0121122122(1)(1)(2, )pnnnnW nnpSSS又1212,pnnNnnXY0其中111(1)()()niin1iSxx xx2221(1)()()niiniSyy yy21 212()()nnTnn1pxy Sxy統(tǒng)計(jì)量當(dāng)原假設(shè)為真的條件下

5、，21212121( ,1)(2)nnpFTF p nnpp nn檢驗(yàn)的規(guī)則為： 21212121( ,1),(2)nnpTFp nnpp nn拒絕原假設(shè)；21212121( ,1),(2)nnpTFp nnpp nn接受原假設(shè)；例：中小企業(yè)的破產(chǎn)模型 為了研究中小企業(yè)的破產(chǎn)模型，首先選定了X1總負(fù)債率（現(xiàn)金收益/總負(fù)債），X2收益性指標(biāo)（純收入/總財(cái)產(chǎn)），X3短期支付能力（流動(dòng)資產(chǎn)/流動(dòng)負(fù)債）和X4生產(chǎn)效率性指標(biāo)（流動(dòng)資產(chǎn)/純銷售額）4個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，對(duì)17個(gè)破產(chǎn)企業(yè)為（1）和21正常運(yùn)行企業(yè)（2）進(jìn)行了調(diào)查，得資料，檢驗(yàn)所選擇的指標(biāo)在不同類型企業(yè)之間是否有顯著的差異。二、成對(duì)試驗(yàn)的T2統(tǒng)計(jì)量

6、n 前面我們討論的是兩個(gè)獨(dú)立樣本的檢驗(yàn)問(wèn)題，但是不少的實(shí)際問(wèn)題中，兩個(gè)樣本的數(shù)據(jù)是成對(duì)出現(xiàn)的。例如當(dāng)討論男女職工的工資收入是否存在差異；一種新藥的療效等。 思考:兩獨(dú)立樣本和成對(duì)樣本的觀測(cè)值有何不同。 設(shè)(xi,yi),),i=1,2,3,n，時(shí)成對(duì)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，由于總體X X和Y Y均服從p維正態(tài)分布，且協(xié)方差相等。12,( ,),iiipdNidxyd令則。 假設(shè)檢驗(yàn) 012112:,:HH01:0,:0HH 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為 2dTn1d S d 其中 dxy11()()1niiindSdd dd 當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)2( ,)(1)npFTF p npp n2( ,),(1)npTFp npp

7、n拒絕原假設(shè)2( ,),(1)npTFp npp n接受原假設(shè)例1 一組學(xué)生共5人，采用兩種不同的方式進(jìn)行教學(xué)， 然后對(duì)5個(gè)學(xué)生進(jìn)行測(cè)驗(yàn)，得如下得分?jǐn)?shù)：學(xué)生序號(hào) 教學(xué)方式AB數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理189908285298888083375696170476706766590766365分析不同的教學(xué)方式是否有差異。5 兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn)兩個(gè)總體均值分量間結(jié)構(gòu)關(guān)系的檢驗(yàn) 一、問(wèn)題提出 設(shè)從總體 ，中各自獨(dú)立地抽取樣本 和 ， 。他們的均值向量差為：1(, )pN 和2(, )pN112( ,)nx xxx212(,)ny yyy 011211222212pp1 例 在愛(ài)情和婚姻的調(diào)查中，

8、對(duì)一個(gè)由若干名丈夫和妻子組成的樣本進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，請(qǐng)他們回答以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)你對(duì)伴侶的愛(ài)情的“熱度”感覺(jué)如何？(2)伴侶對(duì)你的愛(ài)情的“熱度”感覺(jué)如何？(3)你對(duì)伴侶的愛(ài)情的“可結(jié)伴”水平感覺(jué)如何？(4)伴侶對(duì)你的愛(ài)情的“可結(jié)伴”水平感覺(jué)如何？ 回答采用沒(méi)有、很小、有些、很大和非常大5個(gè)等級(jí)，得到結(jié)果如表。 丈夫?qū)ζ拮诱煞驅(qū)ζ拮悠拮訉?duì)丈夫妻子對(duì)丈夫 X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4235544555544455545554455434445553355445533453344344443544455345545554454443334444455455555445555 現(xiàn)在我

9、們關(guān)心均值分量間的差異是否滿足某種結(jié)構(gòu)關(guān)系。比如每個(gè)指標(biāo)均值間的差異是否相等。 1、丈夫?qū)ζ拮右约捌拮訉?duì)丈夫的回答在0.05顯著水平上沒(méi)有差異。 2、在四個(gè)指標(biāo)上他們是否會(huì)有相同的分?jǐn)?shù)。即檢驗(yàn)四個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值是否相等。 二、統(tǒng)計(jì)量與檢驗(yàn) 檢驗(yàn)012:()HC 112:()HC 在原假設(shè)為真的條件下，檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：121212(pnnTnnC xy)CS CC xy)2121212(1)( ,1)(2)nnkFTF k nnkk nn225.441254T 212125725.448.192946(1)3 59nnkFTk nn第一節(jié) 單因素方差分析問(wèn)題的提出統(tǒng)計(jì)的模型及檢驗(yàn)方法多重比較檢驗(yàn)問(wèn)

10、題的提出 某工廠實(shí)行早、中、晚三班工作制。工廠管理部門想了解不同班次工人勞動(dòng)效率是否存在明顯的差異。每個(gè)班次隨機(jī)抽出了7個(gè)工人，得工人的勞動(dòng)效率（件/班）資料如表。分析不同班次工人的勞動(dòng)效率是否有顯著性差異。 a=0.05，0.01。早班中班晚班344939374740355142334839335041355142365140 為什么各值 會(huì)有差異？可能的原因有兩個(gè)。 一是，各個(gè)班次工人的勞動(dòng)效率可能有差異，從而導(dǎo)致了不同水平下的觀察值之間差異，即存在條件誤差。 二是，隨機(jī)誤差的存在。 如何衡量?jī)煞N原因所引起的觀察值的差異?總平均勞動(dòng)效率為：kinijijnyyi1/ )(571.41214

11、0423734三個(gè)班次工人的平均勞動(dòng)效率分別為：714.341y571.492y429.403y總離差平方和sskinjijiyy112)(222)571.4140()571.4137)571.4134(1429.835201211n自由度：組間離差平方和(條件誤差)ssAkiiiyyn12)(22)571.41571.49(7)571.41714.34(72)571.41429.40(7286.786組內(nèi)離差平方和（隨機(jī)誤差）ssekinjiijiyy112)(22)714.3436()714.3434(22)571.4151()571.4149(857.38)429.4040()429.4

12、039(2218321kn自由度 統(tǒng)計(jì)量FknSSkSSeA1118.18218857.382286.786把計(jì)算的F值與臨界值比較，當(dāng)F F時(shí)，拒絕原假設(shè)，不同水平下的效應(yīng)有顯著性差異；當(dāng)F F 時(shí)，接受原假設(shè)。kiiiyyn12)(1k1kSSAknSSkSSeA1 kinjiijiyy112)(knknSSe kinjijiyy112)(1n方 差 來(lái) 源離差平方和自由度方差F值 組間A 組內(nèi)E 總和 查F分布表得臨界值因?yàn)?故應(yīng)拒絕原假設(shè)，即不同班次工人的勞動(dòng)效率有顯著的差異。554. 3)18, 2(05. 0F013. 6)18, 2(01. 0F013. 6)18, 2(118.

13、18201. 0FF 方差分析：比較3個(gè)或3個(gè)以上的總體均值是否有顯著性差異。用組間的方差與組內(nèi)方差相比，據(jù)以判別誤差主要源于組間的方差（不同組工人的產(chǎn)量，條件誤差），還是源于組內(nèi)方差（隨機(jī)誤差）。 50家上市公司，按行業(yè)計(jì)算其1999年底的資產(chǎn)負(fù)債情況，如下：序號(hào)制造業(yè)商業(yè)運(yùn)輸業(yè)公用事業(yè)房地產(chǎn)業(yè)165905025702559565307535090584560445936350805409264406565890602570760855830728758856307698090603568106092552566平均58.890.558.933.570.2多重比較檢驗(yàn) 1、多重比較檢驗(yàn) 前面

14、的F檢驗(yàn)只能說(shuō)明在單一因素的影響下，不同水平是否存在顯著性的差異，但不能斷言哪些總體之間存在差異，在方差分析中否定了原假設(shè)，并不意味著接受了假設(shè)： ), 2 , 1,(kjijiji因而還應(yīng)該進(jìn)一步討論到底是哪些總體之間存在差異。 Scheffe檢驗(yàn)), 2 , 1,(:0kjijiHji）某些jiHji(:1), 1() 1)(11(21knkFknnknSSeij定義：jiijxxD定義：檢驗(yàn)的結(jié)論：。個(gè)水平間有顯著性差異水平與第即第，則拒絕jiHSDijij,0Multiple ComparisonsDependent Variable: X1Scheffe-31.7000*3.4364

15、7.000-42.7369-20.6631-.10003.436471.000-11.136910.936925.3000*3.43647.00014.263136.3369-11.4000*3.43647.039-22.4369-.363131.7000*3.43647.00020.663142.736931.6000*3.43647.00020.563142.636957.0000*3.43647.00045.963168.036920.3000*3.43647.0009.263131.3369.10003.436471.000-10.936911.1369-31.6000*3.43647

16、.000-42.6369-20.563125.4000*3.43647.00014.363136.4369-11.3000*3.43647.042-22.3369-.2631-25.3000*3.43647.000-36.3369-14.2631-57.0000*3.43647.000-68.0369-45.9631-25.4000*3.43647.000-36.4369-14.3631-36.7000*3.43647.000-47.7369-25.663111.4000*3.43647.039.363122.4369-20.3000*3.43647.000-31.3369-9.263111.

17、3000*3.43647.042.263122.336936.7000*3.43647.00025.663147.7369(J) “1”制造業(yè)，“2”商業(yè)，“3”運(yùn)輸業(yè)，“4”公用事業(yè)，“5”房地產(chǎn)業(yè)23451345124512351234(I) “1”制造業(yè)，“2”商業(yè)，“3”運(yùn)輸業(yè)，“4”公用事業(yè)，“5”房地產(chǎn)業(yè)12345MeanDifference(I-J)Std. ErrorSig.Lower BoundUpper Bound95% Confidence IntervalThe mean difference is significant at the .05 level.*. 第二節(jié)

18、 多元方差分析一、假設(shè)012:kH1:1,2,iHak不完全相同二、多元方差分析的離差平方和的分解總離差平方和 ( )( )11()()ankaaiiaiSSTxxxx( )( )( )( )( )( )11()()ankaaaaaaiiaixxxxxxxx( )( )( )( )( )( )111()()()()ankkaaaaaaiiaaiaxxxxnxxxx( )( )( )( )( )1111()()()()aannkkaaaaaiiiaiaixxxxxxxx由于交叉乘積項(xiàng)為零，故組間叉積矩陣組內(nèi)叉積矩陣總叉積矩陣 ( )( )( )( )11()()ankaaaaiiaiSSExxxx組內(nèi)叉積矩陣：主要由隨機(jī)因素構(gòu)成( )( )1()()()kaaaaSS TRnxxxx組間叉積矩陣：主要由系統(tǒng)因素構(gòu)成 SSE和SS(TR)之和等于總離差平方和SST。當(dāng)SSE在SST中占