高等數(shù)學(xué)：10-3Green 公式（續(xù)）—積分與路徑無關(guān)

1、曲線積分與路徑無關(guān)的條件Gyxo 1LQdyPdx則則稱稱曲曲線線積積分分 LQdyPdx在在G內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), ,一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有 否否則則與與路路徑徑有有關(guān)關(guān). .因此，在區(qū)域因此，在區(qū)域G內(nèi)沿任意閉曲線積分為零內(nèi)沿任意閉曲線積分為零 在在G內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)。內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)。 G內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)在區(qū)域在區(qū)域G內(nèi)沿任意閉曲線積分為零。內(nèi)沿任意閉曲線積分為零。120PdxQdyL L 1PdxQdyL20PdxQdyL二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理2 2例例 2 2 設(shè)設(shè)曲曲線線積積分分 Ld

2、yxydxxy)(2與與路路徑徑無無關(guān)關(guān), 其其中中 具具有有連連續(xù)續(xù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), 且且0)0( ,計(jì)計(jì)算算 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy.積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 yA xoL例例4. 計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了

3、使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx3648 圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確問下列計(jì)算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412時(shí)022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(CCCDyxoaaC 練習(xí)練習(xí) 1. 設(shè) C 為沿yxaxyxaxxayCd

4、)ln(2d22222222ayx從點(diǎn)), 0(a依逆時(shí)針), 0(a的半圓, 計(jì)算解解: 添加輔助線如圖 ,利用格林公式 .原式原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到點(diǎn)2 2. 設(shè)設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線是一條分段光滑的閉曲線, 證明證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則yPxQ積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)yxxyxLdd22022xx0 xxyxyyP2)2(2 xyxxxQ2)(42 解解 xQyP ，原積分與路徑無關(guān)原積分與路徑無關(guān) 故故原原式式 101042)1(dyydxx.1523 小結(jié)小結(jié)對(duì)于計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)于

5、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一般思路一般思路如下：如下：1.在計(jì)算不是很復(fù)雜的情況下，可直接化為定積分計(jì)算；在計(jì)算不是很復(fù)雜的情況下，可直接化為定積分計(jì)算；2.若積分與路徑無關(guān)，可選取平行于坐標(biāo)軸的積分路徑，若積分與路徑無關(guān)，可選取平行于坐標(biāo)軸的積分路徑，從而簡化計(jì)算；從而簡化計(jì)算；3.若積分路徑是閉路徑，一般可考慮用若積分路徑是閉路徑，一般可考慮用Green公式計(jì)算若公式計(jì)算若非閉路徑也可以做輔助線，使積分路徑為閉路徑，從而非閉路徑也可以做輔助線，使積分路徑為閉路徑，從而用用Green公式計(jì)算公式計(jì)算 總之，在計(jì)算時(shí)請(qǐng)同學(xué)們注意在多種方法中總之，在計(jì)算時(shí)請(qǐng)同學(xué)們注意在多種方法中選擇較簡單的計(jì)算方法選

6、擇較簡單的計(jì)算方法三、二元函數(shù)的全微分求積三、二元函數(shù)的全微分求積問題問題：函數(shù)滿足什么條件時(shí)，表達(dá)式：函數(shù)滿足什么條件時(shí)，表達(dá)式才是某個(gè)二元函數(shù)的全微分；當(dāng)這樣的二元函數(shù)才是某個(gè)二元函數(shù)的全微分；當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)把它求出來。存在時(shí)把它求出來。dyyxQdxyxP),(),( 設(shè)開區(qū)域設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域是一個(gè)單連通域, , 函數(shù)函數(shù)),(),(yxQyxP在在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)數(shù), , 則則dyyxQdxyxP),(),( 在在G內(nèi)為某一內(nèi)為某一函數(shù)函數(shù)),(yxu的全微分的充要條件是等式的全微分的充要條件是等式xQyP 在在G內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. .定理定理3 3 yxyxdyyxQdxyxPyxu,00,),(且且xQyP 若若 ),(),(00yxByxAQdyPdx則則dyyxQdxyxPyyxx),(),(000 ),(0yxC ),(yxB xyo),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(000 或或四、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則以以下下四四個(gè)個(gè)命命題