(公開課)2.1.2(1)橢圓的簡單幾何性質

1、12.1.22.1.2橢圓的簡單幾何性質橢圓的簡單幾何性質高二數(shù)學高二數(shù)學 選修選修1-1 第二章第二章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程（第一課時）（第一課時）2教學目標教學目標：(1)(1)通過對橢圓標準方程的討論通過對橢圓標準方程的討論, ,理解并掌握橢圓的幾何性質理解并掌握橢圓的幾何性質; ;(2)(2)能夠根據橢圓的標準方程求焦點、頂點坐標、離心率能夠根據橢圓的標準方程求焦點、頂點坐標、離心率; ;(3)(3)培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力, ,并為學習其它圓錐曲線并為學習其它圓錐曲線作方法上的準備作方法上的準備. .教學重點教學重點: :橢圓的幾何性質橢圓的幾

2、何性質. .教學難點教學難點: :橢圓離心率的概念的理解橢圓離心率的概念的理解. .32222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上222=+abc平面內到兩個定點平面內到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡）的點的軌跡12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標準方程標準方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖形形焦點坐標焦點坐標定定義義a、b、c 的關系的關系焦點位置的判斷焦點位置的判斷xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO橢圓標準方程的再認識

3、：橢圓標準方程的再認識：4 橢圓橢圓 簡單的幾何性質簡單的幾何性質12222byax oyB2B1A1A2F1F2cab1、范圍：、范圍：說明：說明：橢圓位于直線橢圓位于直線x=a， 和和y=b所圍成的矩形之中所圍成的矩形之中.2222,xayb即22221xyab22221,1xyabaxa byb x從方程上看從方程上看(代數(shù)法代數(shù)法)觀察下圖，可知觀察下圖，可知ax a byb ，x=-ax=ax=bx=-b5yxO22221(0)xyabab2.橢圓對稱性橢圓對稱性從圖形上看：從圖形上看：對稱軸對稱軸對稱中心對稱中心6從方程上看：從方程上看：（1）把）把x換成換成-x，方程不變，圖象關

4、于，方程不變，圖象關于y軸對稱；軸對稱；（2）把）把y換成換成-y，方程不變，圖象關于，方程不變，圖象關于x軸對稱；軸對稱；（3）把）把x換成換成-x，同時把，同時把y換成換成-y方程不變，圖象關于方程不變，圖象關于原點原點成中心對稱成中心對稱.)0( 12222babyax2、橢圓的對稱性、橢圓的對稱性中心：橢圓的對稱中心叫做中心：橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心橢圓的中心. 所以，坐標軸是所以，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心是橢圓的對稱中心. oyB2B1A1A2F1F2cabx73、橢圓的頂點、橢圓的頂點) 0( 12222babyax令令 x=0，得，得 y=

5、 ？ 說明橢圓與說明橢圓與 y軸的交點？軸的交點？令令 y=0，得，得 x= ？ 說明橢圓與說明橢圓與 x軸的交點？軸的交點？*頂點：橢圓與它的對稱軸的四個頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點交點，叫做橢圓的頂點.*長軸、短軸：線段長軸、短軸：線段A1A2、B1B2分分別叫做橢圓的長軸和短軸別叫做橢圓的長軸和短軸.a、b分別叫做橢圓的長半軸長和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長短半軸長.(0,b)(a,0)(0,-b)(-a,0)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(b,0)，B2(b,0) (0, b)(a, 0) oyB2B1A1A2F1F2cabxba8F1F2問題問題：圓的形

6、狀都是相同的，而橢圓卻有些圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較比較“扁扁”，有些比較，有些比較“圓圓”，用什么樣的，用什么樣的量來刻畫橢圓的量來刻畫橢圓的“扁平扁平”程度呢？程度呢？2a保持不變，改變焦距保持不變，改變焦距2c (2a2c)大小，所畫大小，所畫橢圓的扁平程度？橢圓的扁平程度？91離心率的取值范圍：離心率的取值范圍：2離心率對橢圓形狀的影響離心率對橢圓形狀的影響(保持長軸長保持長軸長2a不變不變，改變焦距改變焦距2c)0ec0e 越大，橢圓越扁；越大，橢圓越扁；e 越小，橢圓越圓越小，橢圓越圓.（0ebb）a2=b2+c212解解：把已知方程化成標準方程：把已知方程化成標準方程2

7、212516xy橢圓的長軸長是橢圓的長軸長是:離心率離心率:35cea焦點坐標是焦點坐標是:12(3, 0),(3, 0)FF四個頂點坐標是四個頂點坐標是:1212( 5,0),(5,0),(0,4),(0,4)AABB橢圓的短軸長是橢圓的短軸長是:2a=102b=8例例1.求橢圓求橢圓 16x2 + 25y2 =400的長軸和短軸的長、離心率、的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標焦點和頂點坐標. 31625, 4, 522bacba于是題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質題型一：利用橢圓方程，研究其幾何性質解題的關鍵解題的關鍵? 1、將橢圓方程轉化為標準方程；、將橢圓方程轉化為標準方程；

8、 2、確定焦點的位置和長軸的位置、確定焦點的位置和長軸的位置，明確，明確a、b.課本課本P40例例413練習練習：已知橢圓方程為：已知橢圓方程為9x2+25y2=225, 它的長軸長是它的長軸長是： ，短軸長是短軸長是： ，焦距是焦距是： ， 離心率等于離心率等于： ，焦點坐標是焦點坐標是： ，頂點坐標是頂點坐標是： ， 外切矩形的面積等于外切矩形的面積等于： . 1068( 5,0),(0, 3)60192522yx45 oyB2B1A1A2F1F2x（4,0）14 .53, 32;31, 61ecyeax軸上，焦點在軸上，焦點在）（方程：求適合下列條件的橢圓 13236122yx試一試試一

9、試(課本課本P41練習練習3)題型二：利用橢圓的幾何性質求標準方程題型二：利用橢圓的幾何性質求標準方程求橢圓方程求橢圓方程隱含條件：隱含條件： a2=b2+c2 11625222xy11625116252222xyyx或兩解兩解15題型二：利用橢圓的幾何性質求標準方程題型二：利用橢圓的幾何性質求標準方程1617解：解：又因為長軸在又因為長軸在x軸上，所以橢圓的標準方程為：軸上，所以橢圓的標準方程為：22194xy（1）依題意可知，依題意可知，a=3，b=2練習練習：求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經過點）經過點P（-3，0）、）、Q（0，-2）；）；（2）

10、長軸的長等于）長軸的長等于20，離心率等于，離心率等于 . 53課本課本P41練習練習418解解：（：（2）依題意知，）依題意知，2a=20， a=10，c=6，當橢圓的焦點在當橢圓的焦點在x軸上時，橢圓的標準方程為軸上時，橢圓的標準方程為 當橢圓的焦點在當橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的標準方程為軸上時，橢圓的標準方程為 22110064xy221.10064yx練習練習.求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經過點）經過點P（-3，0）、）、Q（0，-2）；）；（2）長軸的長等于）長軸的長等于20，離心率等于，離心率等于 . 5353ace注意注意課本課本P41

11、練習練習4b2=100-36=64不能確定焦點不能確定焦點所在的坐標軸時，所在的坐標軸時，則應進行分類討論則應進行分類討論 19e 越大，橢圓越扁；越大，橢圓越扁；e 越小，橢圓越圓越小，橢圓越圓（0e1）204 .2 .21.41.1. 122DCBAmymyx的值是則的兩倍，軸上，長軸長是短軸長的焦點在橢圓A 32.38.23.3.2112. 222DCBAmmyxx等于則，的離心率為軸上的橢圓若焦點在B 全優(yōu)課堂全優(yōu)課堂P221-3題題鞏固練習：鞏固練習：21D224.中心在原點中心在原點,焦點在坐標軸上焦點在坐標軸上,若長軸長為若長軸長為18,且兩個焦點恰且兩個焦點恰好將長軸三等分好將

12、長軸三等分,則此橢圓的方程是則此橢圓的方程是 . 提示：2a=18，2c= 2a=6 a=9,c=3,b2=81-9=723117281172812222xyyx或補充補充23B5.若橢圓的一個焦點與長軸的兩個端點的距離之比為若橢圓的一個焦點與長軸的兩個端點的距離之比為2：3，則橢圓的離心率為（則橢圓的離心率為（ ） 51333132DCBAD提示提示 (a-c):(a+c)=2:3533544,22222aceaccacacacacacabbca247、如圖，、如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，過是橢圓的兩個焦點，過F1且與長軸垂直且與長軸垂直的直線交橢圓于的直線交橢圓于A、B兩點，若兩點，

13、若 ABF2是正三角形，則是正三角形，則這個橢圓的離心率是（這個橢圓的離心率是（ ）23. . 3323. .22ABCDBxyOF1F2AB25已知橢圓 的離心率 ，求 的值. 19822ykx21ek21e4k由 ，得：解解：當橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 82 ka92b12 kcx 當橢圓的焦點在 軸上時， ， ，得 92a82 kbkc12y21e4191k45k由 ，得 ，即 滿足條件的 或 4k45k思考：思考：全優(yōu)課堂全優(yōu)課堂誤區(qū)解密誤區(qū)解密注意注意分類討論分類討論26小結小結：1.1.知識小結：知識小結：（1 1） 學習了橢圓的范圍、對稱性、頂點坐標、離學習了橢圓的范圍、對稱性、頂點坐標、離心率等概念及其幾何意義心率等概念及其幾何意義. .（2 2） 研究了橢圓的幾個基本量