南京工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)在材料中應(yīng)用 4.插值法

1、4.1 問(wèn)題的提出 由表格方式給出的函數(shù)或者試驗(yàn)數(shù)據(jù)（如觀測(cè)）得到的離散值(離散樣點(diǎn))，即y=f(x)所對(duì)應(yīng)的yj=f(xj) (j=0,1,n)，但在x的其他點(diǎn)上f(x)值是未知的。 表格函數(shù)不便于分析其性質(zhì)和變化規(guī)律，不能求出其他的f(x)。若找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)近似于f(x)，則可以解決以上的問(wèn)題。插值法就是尋求P(x)的一種方法。4.1.1 插值函數(shù)的概念插值函數(shù)的概念（1）定義4.1：設(shè)函數(shù)y=f (x)在a,b上有定義，且在a x0 x1xnb上的值分別為y0 ，y1 yn，即yj = f(xj )（j=0，1n），若存在一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)P(x) 使 P (xj)= f( xj)=

2、 yj (j=0,1,n) (插值條件) （1.1）則稱(chēng)P(x)為f (x)的插值函數(shù)， xj 插值節(jié)點(diǎn)，a,b插值區(qū)間，求P(x) 的方法稱(chēng)為插值法。R(x)= f (x)- P(x) 插值余項(xiàng) (截?cái)嗾`差)若P(x)是n次代數(shù)多項(xiàng)式 P(x) = Pn(x) =a0 + a1x + a2x2 + . + an-1xn -1 + anxn 則稱(chēng)P(x)是插值多項(xiàng)式，它簡(jiǎn)單只有+，-，*，/運(yùn)算。f(x) P(x),要求滿(mǎn)足插值條件 P (xj)= f( xj)= yj (j=0,1,n)要做的工作是：根據(jù)yj= f( xj)，如何去構(gòu)造滿(mǎn)足插值條件的P(x)。（2） 插值法的幾何意義通過(guò)n+

3、1個(gè)點(diǎn)( xj ， yj ) (j=0,1,n)作一條代數(shù)曲線 y=P(x)近似于f(x)。使得在xj 上 P(xj) = f(xj)，而在a,b其他點(diǎn)上有 R(x)= f(x)P(x)| R(x)| 越小近似程度就越高。P85 圖4-1-1 n次插值多項(xiàng)式的幾何表示。4.1.2 插值多項(xiàng)式的存在唯一性插值多項(xiàng)式的存在唯一性定理4.1：滿(mǎn)足條件Pn(xj)= yj (j=0,1,n)的多項(xiàng)式 Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + . + an-1xn -1 + anxn 是存在且唯一的。證：（略）現(xiàn)在有n+1個(gè)條件，實(shí)際上就是求解一個(gè)n+1階的線性方程組，從而解出這 a0 ， a

4、1， ， an-1 ， an共n+1個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)。4.2 拉格朗日插值多項(xiàng)式4.2.1基本插值多項(xiàng)式基本插值多項(xiàng)式若是用求解線性方程組來(lái)得出an . a0 ，隨著n的增大，則使計(jì)算復(fù)雜，還有可能產(chǎn)生病態(tài)方程組?？梢圆庞脴?gòu)造法來(lái)解出系數(shù)，構(gòu)造滿(mǎn)足插值條件的n次多項(xiàng)式。（1）線性插值（當(dāng)）線性插值（當(dāng)n=1時(shí)）時(shí)）已知 y0= f( x0)， y1= f( x1)共有2個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，過(guò)（ x0 ， y0 ）及（ x1 ， y1）作直線方程為010100 xxyyxxyy變換得點(diǎn)斜式：對(duì)稱(chēng)式： N1 ( x)， L1 ( x) 均為x的一次多項(xiàng)式，即一次函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了線性插值。)()(0010101

5、xxxxyyyxN101001011)(yxxxxyxxxxxL令 l0 ( x）和l 1( x）稱(chēng)為線性插值基函數(shù)，有如下性質(zhì)： 1 i=j li ( xj)= （i，j=0，1） 0 i j所以對(duì)稱(chēng)式可以記為1010)(xxxxxl0101)(xxxxxl110011)()()()(yxlyxlxLxP(2)拋物線插值（當(dāng)拋物線插值（當(dāng)n=2時(shí)）時(shí)）有三個(gè)插值節(jié)點(diǎn) yj= f( xj)（j=0，1，2)，這是通過(guò)三個(gè)點(diǎn)的拋物線?，F(xiàn)構(gòu)造 li( x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式，且滿(mǎn)足 1 i=j li ( xj)= （i，j=0，1) 0 i jl0 ( x)是以x1 ， x2為零點(diǎn),即l0( x1)=

6、 l0( x2)=0的二次多項(xiàng)式。22001122( )( )( )( )( )P xL xlx yl x ylx y有 l0( x)=A(x- x1)( x- x2)因 l0( x0)=A(x0- x1)( x0- x2 )=1所以 有同理01021Axxxx1200102( )x xx xl xxxxx0122021( )x xx xl xxxxx0211012( )x xx xl xx xx x 且L2 ( xj) = yj （j=0，1，2)4.2.2拉格朗日插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式 對(duì)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn) yj= f( xj) （j=0，1，n)作構(gòu)造式 ,使Ln( xj)=yj （j=

7、0,1,n)這是n次多項(xiàng)式。2220( )( )( )iiiP xL xl x y0( )( )( )nnniiiP xL xl x y插值基函數(shù)滿(mǎn)足 1 i=j li ( xj)= （i，j=0，1n) 0 i j可設(shè)li( x)=A( x - x0)( x- x1) ( x- xi-1)( x- xi+1)( x- xn) 則li( xi) = A( xi - x0)( xi- x1) ( xi- xi-1)( xi- xi+1)( xi- xn)=1所以 01111A.iiiiiiinx x x xx xx xx x則 (2.5)故 (2.6,2.7)000,( )( )( )nnnjn

8、niiiiijj iijx xP xL xl x yyxx 011100111.( ).njiinijiiiiiiinijj ix xx x x xx xx xx xl xx x x xx xx xx xx x4.2.3 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)Rn(x)=f(x)-Ln(x) Rn(xj)=f(xj)-Ln(xj) 0定理4.2：設(shè)f(n)(x)在a，b上連續(xù)，f(n+1)(x)在(a，b)內(nèi)存在，節(jié)點(diǎn)a x0 x1xnb， Ln(x)是滿(mǎn)足插值條件Ln(xj)=f(xj) (j=0,1,n)的n次插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意x a,b, 有 (2.8)這里 Wn+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x

9、n), a,b且依賴(lài)于x的位置。證明：（略)說(shuō)明:(1)當(dāng)f(x)本身就是n次多項(xiàng)式時(shí)， Rn(x)0， 也就是f(x)=Ln(x) ，若f(x)1，則 n nf(x)= li(x)*1 1，即 li(x) 1 i =0 i =0 (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xWxn(2) 對(duì)于f(n+1)()是不知道的，可以進(jìn)行估算。若 則P90 例4.3 11( )( )(1)!nnnMR xWxn(1)1max( )nna x bfxM 4.2.4拉格朗日插值法拉格朗日插值法N-S圖圖 i=1 i=n ?f =1i=i+1Nf=f*(X-xj)/(xi-xj)

10、 建立xn, yn, p=0, 輸入XjiYj=1j= 7時(shí)的插值方法。通常是進(jìn)行分段線性或分段拋物線插值。4.5 樣條插值函數(shù) 在船體放樣、機(jī)翼設(shè)計(jì)中要求有二階的光滑度，即f ,(x)連續(xù)，但實(shí)際上f ,(xj)是不知道的。樣條是一種易彎曲的材料(如木條、有機(jī)玻璃條等 )用壓鐵使該材料強(qiáng)制通過(guò)或接近一組給定的點(diǎn)（xi,yi ),使樣條呈現(xiàn)滿(mǎn)意的形狀，得到樣條曲線，而曲線是由分段三次曲線連接而成，連接點(diǎn)上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，從而保證了曲線的光滑。這樣的樣條曲線簡(jiǎn)單且曲線光滑，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就稱(chēng)為樣條函數(shù)。4.5.1 三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)定義4.4：設(shè)a,b上有樣點(diǎn) a=x0 x1xn=

11、b的對(duì)應(yīng)值分別為y0，y1，yn，若函數(shù)S(x)滿(mǎn)足： 1. S(xj) = yi (j=0,1,n) 2. S(x)在子區(qū)間 xj, xj +1 (j=0,1,n-1)上是三次多項(xiàng)式 3. S(x)在a,b上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù) S,(x)則稱(chēng)S(x) 為三次樣條插值函數(shù)。設(shè) Sj(x) = aix3+ bicx2+ cix+ dj (j=0,1,n-1)且 Sj(xj) =yj (j=0,1,n) S(xj-0) = S(xj+0) S,(xj-0) = S,(xj+0) (j=1,n-1) S,(xj-0) = S,(xj+0) 可得 n+1+3(n+1)=4n-2 個(gè)條件，而要定的aj, b

12、j, cj, dj共有4n個(gè)，加上兩個(gè)邊界條件即 已知 S,(x0)= f ,(x0) = f ,0, S,(xn) = f ,n或 已知 S,(x0) = f ,0 , S,(xn) = f ,n有時(shí) S,(x0) =S,(xn) =0，這樣可由4n個(gè)條件解4n個(gè)方程，求出aj, bj, cj, dj。 n 計(jì)算量，用構(gòu)造法進(jìn)行求解。4.5.2 三次樣條插值函數(shù)的求法三次樣條插值函數(shù)的求法S(x)在xj, xj+1 上是三次多項(xiàng)式，故S,(xj) 是線形函數(shù)，設(shè)S,(xj) =Mj , S,(xj+1)=Mj+1,則 S,(x)= Mj(xj+1-x)/hj + Mj+1 (x- xj)/h

13、j ，其中 (hj = xj+1- xj)所以 S,(x)=S,(x)dx S(x)=S,(x)dx+c1x =Mj(xj+1-x)3/6hj + Mj+1 (x- xj)3/6hj + c1x+c2因?yàn)?S(xj)= yj , S(xj+1)= yj+1 所以 S(xj)= Mjhj2 / 6+c1xj+c2= yj S(xj+1)= Mj+1hj2 / 6+c1xj+1+c2= yj+1所以 c1=(yj+1- Mj+1hj2 /6)-(yj- Mjhj2 /6) /hj c2=xj+1(yj- Mjhj2 /6)- xj(yj+1- Mj+1hj2 /6) /hj所以在xj ，xj+1上

14、， S(x)= Mj(xj+1-x)3/6hj +Mj+1 (x- xj)3/6hj + （yj- Mjhj2 / 6）(xj+1-x)/hj + （yj+1- Mj+1hj2 / 6）(x- xj)/hj （j=0,1,n-1; xxj, xj+1 )S,(x)=- Mj(xj+1-x)2/2hj + Mj+1 (x- xj)2/2hj + (yi+1-yi)/hj- hj (xj+1-xj)/b所以， S,(xj + 0)= - Mj hj/3- Mj +1hj/b+ (yi+1-yi)/hj在xj-1 ，xj上,S(x)= Mj-1(xj-x)3/bhj-1 + Mj (x- xj-1)

15、3/bhj-1 + （yj-1- Mj-1hj-12 / b）(xj-xj-1)/hj-1+ （yj- Mjhj-12 / b） (x- xj-1)/hj-1 （j=0,1,n-2; x xj-1, xj )所以， S,(xj - 0)= Mj-1 hj-1/b+Mj hj-1/3+ (yi-yi-1)/hj-1因?yàn)椋?S,(xj + 0)= S,(xj - 0)所以得：j Mj-1 + 2 Mj + j Mj+1 = dj （j=1,2,n-1)j = hj-1/ (hj-1 + hj ) , j = hj/ (hj-1 + hj ) dj = 6f xj ,xj+1 f xj-1 ,xj/ (hj-1 + hj ) = 6f xj-1 , xj，xj+1 因?yàn)镾,(x0)= f,0 , S,(xn)= f,n 所以 2 M0+ M1= 6f x0 ，x1 - f,0/ h0 = d0 Mn-1 + 2 Mn = 6 fn- f xn-1,xn/ hn-1 = dn合成后有 2 1 M0 d0 1 2 1 M1 d1 2 2 2 M2 = d2 1 2 Mn dn 這是三對(duì)角方程組，用