第26講 力平衡微分方程

1、金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第二十六講第二十六講Lesson Twenty-Six張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學(xué)金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-3-282o 為了進(jìn)行力能參數(shù)和變形參數(shù)的工程計(jì)算，需要建立變?yōu)榱诉M(jìn)行力能參數(shù)和變形參數(shù)的工程計(jì)算，需要建立變形力學(xué)的有關(guān)方程諸如靜力方程

2、（包括力平衡微分方程形力學(xué)的有關(guān)方程諸如靜力方程（包括力平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件方程）；幾何方程（包括應(yīng)變與位移關(guān)和應(yīng)力邊界條件方程）；幾何方程（包括應(yīng)變與位移關(guān)系方程和變形協(xié)調(diào)方程）；物理方程（包括塑性條件方系方程和變形協(xié)調(diào)方程）；物理方程（包括塑性條件方程和應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系方程）等。程和應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系方程）等。力平衡微分方程有力平衡微分方程有3個(gè)；個(gè)；幾何方程有幾何方程有6個(gè)；個(gè)；物理方程有物理方程有6個(gè)；個(gè)；塑性條件方程有塑性條件方程有1個(gè)個(gè)一般塑性加工力學(xué)問(wèn)題需要建立這一般塑性加工力學(xué)問(wèn)題需要建立這16個(gè)方程。本章著重個(gè)方程。本章著重講解這些方程的導(dǎo)出及其相關(guān)的物理含義。講解這些方程的

3、導(dǎo)出及其相關(guān)的物理含義。2022-3-283第十二章 變形力學(xué)方程主要內(nèi)容Main Contento 力平衡微分方程 o 屈服條件 o 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程 o 等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 o 平面變形和軸對(duì)稱變形 2022-3-28412.1 力平衡微分方程o 一般情況下，變形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一般情況下，變形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 是是不同的，不能僅用一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述或表不同的，不能僅用一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)描述或表示整個(gè)變形體的受力情況。但是變形體內(nèi)各示整個(gè)變形體的受力情況。但是變形體內(nèi)各點(diǎn)間的應(yīng)力狀態(tài)的變化又不是任意的，其各點(diǎn)間的應(yīng)力狀態(tài)的變化又不是任意的，其各應(yīng)力分量必須滿足靜力平衡關(guān)系應(yīng)力分量必須滿足靜

4、力平衡關(guān)系力平衡力平衡微分方程。微分方程。 ij2022-3-28512.1.1 直角坐標(biāo)系的力平衡微分方程 o 設(shè)變形體內(nèi)有兩相鄰點(diǎn)設(shè)變形體內(nèi)有兩相鄰點(diǎn)a及及a1，a點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為x、y、z，a1點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為x+dx、y+dy、z+dz，通過(guò)通過(guò)a及及a1點(diǎn)各作互相垂直的三個(gè)坐標(biāo)面，點(diǎn)各作互相垂直的三個(gè)坐標(biāo)面，圍成一個(gè)微分六面體。在此微分體上作用著圍成一個(gè)微分六面體。在此微分體上作用著法線應(yīng)力和切應(yīng)力。法線應(yīng)力和切應(yīng)力。 2022-3-286zxydxxxxdzzzxzxdyyyxyxyxzxx2022-3-287o 通過(guò)通過(guò)a點(diǎn)的點(diǎn)的x平面上作用著平面上作用著 ，而，而通過(guò)通

5、過(guò)a1點(diǎn)的點(diǎn)的x平面上作用著平面上作用著 zyxfx,zydxxfx,1222,! 21,dxxzyxfdxxzyxfzyxf可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為 dxxxxx1其它各應(yīng)力分量同理可得。其它各應(yīng)力分量同理可得。 2022-3-288o 如果不考慮慣性力，按靜力平衡如果不考慮慣性力，按靜力平衡 0X0dzdydxzdydxdzydxdydzxzxyxxdydzdxxxxdxdydzzzxzxdzdxdyyyxyxdydzxdxdyzxdzdxyx整理得整理得0zyxzxyxx2022-3-289o 同理，由同理，由 、 有類似的結(jié)果有類似的結(jié)果 0Y 0Z0zyxzyyxy0zyxzyzxz0iij

6、0jijfi高速塑性加工時(shí)，高速塑性加工時(shí)，慣性力不可忽略慣性力不可忽略 求和約定得形式求和約定得形式 0zyxzxyxx 0Y 0Z 0X2022-3-2810o 力平衡微分方程反映了變形體內(nèi)正應(yīng)力的變力平衡微分方程反映了變形體內(nèi)正應(yīng)力的變化與切應(yīng)力變化的內(nèi)在聯(lián)系和平衡關(guān)系，可化與切應(yīng)力變化的內(nèi)在聯(lián)系和平衡關(guān)系，可用來(lái)分析和求解變形區(qū)的應(yīng)力分布。用來(lái)分析和求解變形區(qū)的應(yīng)力分布。 2022-3-281112.1.2 柱面坐標(biāo)系的力平衡微分方程 0 rzrrrzrrr02rzrrrzr0 rzrrrzzzrzrd rdrrrrdr drr dzzzrzr2022-3-281212.1.3 應(yīng)力邊

7、界條件及摩擦應(yīng)力邊界條件及摩擦 o 過(guò)變形體外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過(guò)過(guò)變形體外表面上任意點(diǎn)，單位表面力與過(guò)該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量的關(guān)系如下該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量的關(guān)系如下式所示式所示 nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxxiijjlp或或該式就是應(yīng)力邊界條件方程該式就是應(yīng)力邊界條件方程 2022-3-2813應(yīng)力邊界條件的種類 o 自由表面自由表面 一般情況下，在工件的自由表面上，既一般情況下，在工件的自由表面上，既沒有正應(yīng)力，也沒有切應(yīng)力作用。沒有正應(yīng)力，也沒有切應(yīng)力作用。 自由表面自由表面2022-3-2814o 工件與工具的接觸表面工件與工具的接觸

8、表面 在此邊界上，既有壓縮正應(yīng)力的作用，在此邊界上，既有壓縮正應(yīng)力的作用，也有摩擦應(yīng)力的作用。也有摩擦應(yīng)力的作用。 接觸表面接觸表面2022-3-2815o 變形區(qū)與非變形區(qū)的分界面變形區(qū)與非變形區(qū)的分界面 在此界面上作用的應(yīng)力，可能來(lái)自兩區(qū)在此界面上作用的應(yīng)力，可能來(lái)自兩區(qū)本身的相互作用，也可能來(lái)自特意加的外力本身的相互作用，也可能來(lái)自特意加的外力作用。作用。 剛塑性交界面剛塑性交界面2022-3-2816金屬塑性加工中的接觸摩擦 o 在金屬塑性加工過(guò)程中，由于變形金屬與工在金屬塑性加工過(guò)程中，由于變形金屬與工具之間存在正壓力及相對(duì)滑動(dòng)（或相對(duì)滑動(dòng)具之間存在正壓力及相對(duì)滑動(dòng)（或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)），這就在二者之間產(chǎn)生摩擦力作用。趨勢(shì)），這就在二者之間產(chǎn)生摩擦力作用。這種接觸摩擦力，不僅是變形力學(xué)計(jì)算的主這種接觸摩擦力，不僅是變形力學(xué)計(jì)算的主要參數(shù)或接觸邊界條件之一，而且有時(shí)甚至要參數(shù)或接觸邊界條件之一，而且有時(shí)甚至是能否成型的關(guān)鍵因素。是能否成型的關(guān)鍵因素。 2022-3-2817庫(kù)侖摩擦定律 fPT nff或或TPfnf式中式中 摩擦力摩擦力正壓力正壓力摩擦切應(yīng)力（單位摩擦力）摩擦切應(yīng)力（單位摩擦力）壓縮正應(yīng)力壓縮正應(yīng)力摩擦系數(shù)摩擦系數(shù)2022-3-2818o 由于摩擦系數(shù)受應(yīng)力狀態(tài)的影響，而且很難由于摩擦系