第一章 流體力學(xué)基礎(chǔ)4-連續(xù)性方程、流體運(yùn)動(dòng)方程與能量方程

1、1第一章第一章 流體力學(xué)基礎(chǔ)流體力學(xué)基礎(chǔ)流體運(yùn)動(dòng)的微分方程流體運(yùn)動(dòng)的微分方程西安建筑科技大學(xué)粉體工程研究所西安建筑科技大學(xué)粉體工程研究所李李 輝輝2EXIT質(zhì)量傳遞質(zhì)量傳遞連續(xù)性方程連續(xù)性方程動(dòng)量傳遞動(dòng)量傳遞納維斯托克斯方程納維斯托克斯方程能量傳遞能量傳遞能量方程能量方程狀態(tài)方程狀態(tài)方程流體運(yùn)流體運(yùn)動(dòng)微分動(dòng)微分方程組方程組所有流體運(yùn)動(dòng)傳遞過程的通解所有流體運(yùn)動(dòng)傳遞過程的通解質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律動(dòng)量定理動(dòng)量定理能量守恒定律能量守恒定律31.3 流體運(yùn)動(dòng)的微分方程流體運(yùn)動(dòng)的微分方程EXIT 質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律連續(xù)性方程連續(xù)性方程 動(dòng)量定理動(dòng)量定理納維納維-斯托克斯方程斯托克斯方程 能量守

2、恒定律能量守恒定律能量方程能量方程 定解條件定解條件4EXIT 1.3.1 1.3.1 質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律連續(xù)性方程連續(xù)性方程 質(zhì)量質(zhì)量既不能產(chǎn)生，也不會(huì)消失，無論經(jīng)歷什么形式的運(yùn)動(dòng)，既不能產(chǎn)生，也不會(huì)消失，無論經(jīng)歷什么形式的運(yùn)動(dòng)，物質(zhì)的總質(zhì)量總是不變的。物質(zhì)的總質(zhì)量總是不變的。 質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒在易變形的流體中的體現(xiàn)在易變形的流體中的體現(xiàn)流動(dòng)連續(xù)性流動(dòng)連續(xù)性。18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾推導(dǎo)世紀(jì)，達(dá)朗貝爾推導(dǎo)不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方程不可壓縮流體微分形式連續(xù)性方程在控制體內(nèi)不存在源的情況下，對(duì)于任意選定的控制體在控制體內(nèi)不存在源的情況下，對(duì)于任意選定的控制體 單組分流體運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量守恒定律

3、的數(shù)學(xué)描述單組分流體運(yùn)動(dòng)過程中質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)描述：流入控制體流入控制體的質(zhì)量速率的質(zhì)量速率流出控制體流出控制體的質(zhì)量速率的質(zhì)量速率控制體內(nèi)的控制體內(nèi)的質(zhì)量累計(jì)速率質(zhì)量累計(jì)速率=AB5 時(shí)刻時(shí)刻A點(diǎn)流體密度為點(diǎn)流體密度為 ，速度，速度 沿沿x，y，z三坐三坐標(biāo)軸的分量為標(biāo)軸的分量為 EXIT 1.3.1 1.3.1 質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律連續(xù)性方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程的推導(dǎo)連續(xù)性方程的推導(dǎo) 邊長為邊長為dx，dy，dz 的控制體微元的控制體微元)(x,y,z,)(x,y,z,uzyx,u,uu單位時(shí)間內(nèi)通過左側(cè)控制面流入微元控制體的質(zhì)量（即質(zhì)量流量）單位時(shí)間內(nèi)通過左側(cè)控制面流入微元控制體的

4、質(zhì)量（即質(zhì)量流量） x方向方向dydzux通過右側(cè)控制面流出微元控制體的質(zhì)量速率通過右側(cè)控制面流出微元控制體的質(zhì)量速率 dydzdxx)(uxxudxdydzx)(xu6EXITA：流入與流出微元控制體的質(zhì)量速率：流入與流出微元控制體的質(zhì)量速率之差之差x方向方向dxdydzx)(xuy方向方向z方向方向dxdydzy)(yudxdydzz)(zudxdydzz)(y)(x)(zyxuuuB：微元控制體內(nèi)的質(zhì)量累計(jì)速率：微元控制體內(nèi)的質(zhì)量累計(jì)速率 時(shí)刻時(shí)刻 dxdydz密度密度質(zhì)量質(zhì)量 d 時(shí)刻時(shí)刻 dxdydzdddxdydzddxdydzdxdydzd7EXITdxdydzz)(y)(x)(

5、dxdydzzyxuuu0uuuzyxz)(y)(x)(本方程適用于單組分流體的任意流動(dòng)形態(tài)。本方程適用于單組分流體的任意流動(dòng)形態(tài)。散度0ddivud8EXIT 1.3.2 1.3.2 動(dòng)量定理動(dòng)量定理納維納維- -斯托克斯方程斯托克斯方程 對(duì)一對(duì)一給定的流體系統(tǒng)，其動(dòng)量的累積速率等于作用于其上的外給定的流體系統(tǒng)，其動(dòng)量的累積速率等于作用于其上的外力總和力總和 。雷諾輸運(yùn)定理雷諾輸運(yùn)定理系統(tǒng)內(nèi)物理量系統(tǒng)內(nèi)物理量的變化率的變化率控制體內(nèi)物理控制體內(nèi)物理量的變化率量的變化率物理量通過控制體控物理量通過控制體控制面的凈流出速率制面的凈流出速率CA+=作用在控制體中流作用在控制體中流體的合外力體的合外

6、力動(dòng)量通量通過控制體動(dòng)量通量通過控制體控制面的凈變化率控制面的凈變化率控制體內(nèi)流體動(dòng)量控制體內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率對(duì)時(shí)間的變化率=+B9EXITA:控制體內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率控制體內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率 時(shí)刻時(shí)刻A點(diǎn)流體密度為點(diǎn)流體密度為 ，速度，速度 沿沿x，y，z三坐三坐標(biāo)軸的分量為標(biāo)軸的分量為 邊長為邊長為dx，dy，dz 的控制體微元的控制體微元(x,y,z, )u(x,y,z, )zyx,u,uu 時(shí)刻時(shí)刻 d 時(shí)刻時(shí)刻 動(dòng)動(dòng) 量量dxdydzu(u )dxdydzudxdydz(udxdydz)10EXITB:動(dòng)量通量的凈變化率動(dòng)量通量的凈變化率ABCD面，面， 時(shí)間內(nèi)流入

7、的動(dòng)量時(shí)間內(nèi)流入的動(dòng)量 xu udydzEFGH面，面， 時(shí)間內(nèi)流出的動(dòng)量時(shí)間內(nèi)流出的動(dòng)量 xxu udydzu udydzdxx(xu u )dydzdxx時(shí)間經(jīng)此兩相對(duì)面元的動(dòng)量?jī)袅鞒隽繛闀r(shí)間經(jīng)此兩相對(duì)面元的動(dòng)量?jī)袅鞒隽繛?同理同理(yu u )dzdxdyy(zu u )dxdydzz11經(jīng)全部控制面的經(jīng)全部控制面的恒定流恒定流動(dòng)量通量的凈變化率為動(dòng)量通量的凈變化率為()xyzyxzxyzuuuuuudxdydzxyzuuuuuuuuuuuudxdydzxyzxyzuuuu dxdydzduudivu dxdydzddduuudivu dxdydzdduudivudddxdydzdd微元

8、流體系統(tǒng)的動(dòng)量變化率為：微元流體系統(tǒng)的動(dòng)量變化率為：d ud xd yd zdA+B(u )dxdydz+應(yīng)用連續(xù)性方程應(yīng)用連續(xù)性方程12C:作用在控制體中流體的合外力作用在控制體中流體的合外力作用于微元六面體上的力包括質(zhì)量力和表面力作用于微元六面體上的力包括質(zhì)量力和表面力質(zhì)量力：設(shè)質(zhì)量力：設(shè)A點(diǎn)單位質(zhì)量力為點(diǎn)單位質(zhì)量力為 ，則微元上的質(zhì)量力為，則微元上的質(zhì)量力為bFdxdydzbF表面力：分別考慮六個(gè)面上的應(yīng)力表面力：分別考慮六個(gè)面上的應(yīng)力(圖圖a和和b）a. a. 作用在微元上的應(yīng)力作用在微元上的應(yīng)力b. b. 作用在微元作用在微元x x方向應(yīng)力方向應(yīng)力13作用于作用于ABCD、AEHD、

9、 AEFB面上的應(yīng)力分別為面上的應(yīng)力分別為 作用于作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的應(yīng)力分別為面上的應(yīng)力分別為.)(,)(,)(dzkPjPiPzkPjPiPdxPzPdykPjPiPykPjPiPdxPyPdxkPjPiPxkPjPiPdxPxPzzzyzxzzzyzxzzyzyyyxyzyyyxyyxzxyxxxzxyxxxx kPjPiPPPkPjPiPPPkPjPiPPPzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 14所有這六個(gè)面上的力在所有這六個(gè)面上的力在x，y，z軸上的投影分別是軸上的投影分別是yxxxzxxyyyzyyzxzzzPPPdxdydz,xyzPPPdxdy

10、dz,xyzPPPdxdydz.xyzdxdydzxyzyxzPPP作用在微元六面體作用在微元六面體上的全部表面力上的全部表面力作用在微元六作用在微元六面體上的力面體上的力=dxdydzbF+dxdydzxyzyxzPPP15根據(jù)動(dòng)量定理根據(jù)動(dòng)量定理b()xyzyxzPPPdudxdydzdxdydzdF約去約去 ，得，得dxdydzyxxxxzxyyxyyyzzyzzxzzPduPPdxyzduPPPdxyzPduPPdxyzbxbybzFFF運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程的微分形式微分形式將式將式1.54和和1.57帶入化簡(jiǎn)可得動(dòng)量方程帶入化簡(jiǎn)可得動(dòng)量方程16222yxxxxxz222222yyyyy

11、xz222222z222uduuuuuuPdxxyz3 xxyzduuuuuuuPdyxyz3 yxyzduPdzbxbyzzzbzFFuuuFxyzyxzuuu3 zxyz或或2d1Pd3buFuu 納維納維斯托克斯（斯托克斯（NavierStokes）方程）方程 上式中粘性系上式中粘性系數(shù)為常數(shù)數(shù)為常數(shù)17N-S方程的化簡(jiǎn)方程的化簡(jiǎn)2d1Pd3buFuu 當(dāng)流體不可壓，當(dāng)流體不可壓，且無粘性：且無粘性：2d1Pd3buFuu 222xxxx222222yyyy222222z222duuuuPdxxyzduuuuPdyxyzduPdzbxbyzzzbzFFuuuFxyz0dud 常數(shù)，0u當(dāng)

12、流體不可壓：當(dāng)流體不可壓：EXIT 1.3.3 能量守恒定律能量守恒定律能量方程能量方程 對(duì)于某一控制體中流體所做的功和加給該流體的熱量之和與流對(duì)于某一控制體中流體所做的功和加給該流體的熱量之和與流體的能量增加值相等。體的能量增加值相等。對(duì)于任意選定的控制體對(duì)于任意選定的控制體 流體運(yùn)動(dòng)過程中能量守恒定律的數(shù)學(xué)描述流體運(yùn)動(dòng)過程中能量守恒定律的數(shù)學(xué)描述：流入控制流入控制體的凈能體的凈能量速率量速率控制體對(duì)環(huán)控制體對(duì)環(huán)境的做功速境的做功速率率控制體內(nèi)的控制體內(nèi)的能量累計(jì)速率能量累計(jì)速率AD環(huán)境輸入環(huán)境輸入的熱量速的熱量速率率BC 時(shí)刻時(shí)刻A點(diǎn)流體密度為點(diǎn)流體密度為 ，速度，速度 ，沿，沿x，y，z

13、三坐標(biāo)軸的分量為三坐標(biāo)軸的分量為 ，溫度為，溫度為EXIT能量方程的推導(dǎo)能量方程的推導(dǎo)對(duì)于邊長為對(duì)于邊長為dx，dy，dz 的控制體微元，采的控制體微元，采用歐拉法推導(dǎo)用歐拉法推導(dǎo)(x,y,z, )u(x,y,z, )zyx,u,uu單位質(zhì)量流體的能量為單位質(zhì)量流體的能量為 ，則單位時(shí)間內(nèi)通過左側(cè)控制，則單位時(shí)間內(nèi)通過左側(cè)控制面流入微元控制體的能量面流入微元控制體的能量A項(xiàng)項(xiàng). 流入控制體凈能量速率流入控制體凈能量速率：x方向方向txE u dydz通過右側(cè)控制面流出微元控制體的能量速率通過右側(cè)控制面流出微元控制體的能量速率 utxtx(E )E udx dydzxutx(E )dxdydzx

14、T(x,y,z, )2/2tEe u utx(E )dxdydzx同理可得其它兩個(gè)方向的方程同理可得其它兩個(gè)方向的方程x方向方向y方向方向z方向方向uty(E )dxdydzyutz(E )dxdydzz流入控制體的凈能量速率，流入控制體的凈能量速率，A項(xiàng)為項(xiàng)為uuutytxtz(E )(E )(E )dxdydzxyzut(E )dxdydzB項(xiàng).熱交換對(duì)于微元控制體，熱量交換主要由對(duì)流和傳導(dǎo)引起，忽略輻射x方向方向y方向方向z方向方向dxdydzxqx dxdydzyqy dxdydzzqz dxdydzzqyqxqzyx tqkn代傅立葉定律代傅立葉定律2tdxdydzk內(nèi)熱源所產(chǎn)生熱量

15、dxdydzq C項(xiàng).外力對(duì)控制體所做功質(zhì)量力做功xbxybyzbzu Fu Fu FdxdydzdxdydzbFu表面力做功xxxxyyxzzP uP uP udxdydzx dxdydzuPuPuPyzyzyyyxyx dxdydzuPuPuPzzzzyzyxzx x方向方向y方向方向z方向方向xyzP uP uP u+dxdydzxyz0,0quD項(xiàng). 能量累計(jì)速率tEdxdydz將求得的將求得的ABCD四項(xiàng)代入方程化簡(jiǎn)得：四項(xiàng)代入方程化簡(jiǎn)得：2dePt-udqk 內(nèi)能的增量 內(nèi)熱源獲得的熱量 熱傳導(dǎo)所獲熱量對(duì)外做功 耗散功 對(duì)于無內(nèi)熱源、不可壓流體、忽略耗散項(xiàng)，對(duì)于無內(nèi)熱源、不可壓流體

16、、忽略耗散項(xiàng)，能量方程可簡(jiǎn)化為：能量方程可簡(jiǎn)化為：2PdtcktdvPeCtct 1.3.4 1.3.4 定解條件定解條件由前面推導(dǎo)出來的連續(xù)性微分方程、動(dòng)量微分方程、能量微分方程、流體狀態(tài)方程和應(yīng)力與應(yīng)變率關(guān)系可得微分方程組yxxxxzxyxyyyzyyzzxzzz222yxzxxxxyxzyx222()()()0PduPPdxyzduPPPdxyzPduPPdxyzuuuudetttPPPPdxyzxxxyxzbxbybzuuuxyzFFFqkyzyyyzyxzzxzyzzuuPPyyyuuuPPPzzzP)u32zu(2PP)u32yu(2PP)u32xu(2PxuzuPPyuzuPPxuyuPPTfpzzzyyyxxxzxzxxzzxxzzyzyyzzyyzyxyxxyyxxy )()()(),(連續(xù)性方程N(yùn)-S方程能量方程壓強(qiáng)切應(yīng)力法向應(yīng)力封閉可解封閉可解1.3.4 1.3.4 定解條件定解條件初始條件000000000000( , , ,)( , , )( , , ,)( , , )( , , ,)( , , )( , , ,)( , , )( , , ,)( , , )( , , ,)( , , )xxxyyyzzzuux y zux y zuux y zux y zuux y