充分挖掘“隱含條件”有利于題目求解

1、充分挖掘“隱含條件”有利于題目求解同學(xué)們在一些數(shù)學(xué)題目時，往往容易忽視題目中的一些“隱含條件”，而導(dǎo)致解題的錯誤或不能順利求解題目，在此舉一些含有“隱含條件”的問題，讓我們一起對如下例子進(jìn)行剖析。例1、關(guān)于X的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有兩個實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。誤解：方程有兩個實(shí)數(shù)根，0，即（2m+1)2-4m2×10，解得：m-1/4,當(dāng)m-1/4時，方程有兩個實(shí)數(shù)根。剖析：一元二次方程ax2+bx+c=0,二次項系數(shù)a0,當(dāng)二次項系數(shù)含有字母時應(yīng)特別當(dāng)心。事實(shí)上，上述解法中就忽視了二次項系數(shù)非零這一“隱含條件”即m0這一條件。正確的結(jié)論應(yīng)該是當(dāng)m-1/4且m0,方程

2、m2x2+(2m+1)x+1=0有兩個實(shí)數(shù)根。例2、方程 2x2-mx-2m+1=0的兩個實(shí)數(shù)根的平方和是11，求m的值。誤解：設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,則x1+x2,=m/2，x1x2（1-2m)/2，又x12+x22=11,而x12+x22（x1+x2）2-2x1x2（m/2）2-2（12m)/2解得：m1=4;m2=-12剖析：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有實(shí)數(shù)根的條件是0，它常作為隱含條件隱藏在已知條件中，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行根的討論時，0不可少。上述題目為：當(dāng)m=4時，=m2+16m-8=42+16×4-8=72>0,這時原方程有兩個實(shí)數(shù)根。當(dāng)m=-

3、12時，m2+16m-8=(-12)2+16×(-12)-8<0,這時原方程無實(shí)實(shí)根，故m=-12應(yīng)舍去。m=4例3，已知（x2+2x+1)0=x2-2x-2,求x2誤解：由x2-2x-21得，x2-2x-30，解得:x1=-1;x2=3,則，當(dāng)x=-1時，x2=(-1)2=1,當(dāng)x=3時，x2=32=9剖析：上述解法中忽視了“隱含條件”零指數(shù)冪的底數(shù)不能為零。當(dāng)x=-1時，x2-2x+10，應(yīng)將x=-1舍去，正確答案是x2=9例4、已知abc0,且c/(a+b)=a/(b+c)=b/(c+a)=1/2p，那么一次函數(shù)y=px-p的圖像一定經(jīng)過 象限誤解：由等比性質(zhì)得：1/2p

4、=(c+a+b)/(a+b+b+c+c+a)=(a+b+c)/2(a+b+c)=1/2，p=1，則一次函數(shù)y=px-p，即y=x-1,其圖象一定經(jīng)過一、三、四象限。剖析：等比性質(zhì)中隱含了：各比的后項之和不等于零這一“隱含條件“，而本題的題設(shè)中并沒有說明a+b+c是否為零，故解時應(yīng)分類討論。正確解法：（1）若a+b+c0，如上述所解，函數(shù)y=x-1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限。（2） 若a+b+c=0，則a+b=-c，1/2p=c/a+b=-1，p=-1/2,這時函數(shù)y=px-p y=-x/2+1/2其圖象經(jīng)過第一、二、四象限。綜合（1），（2）可知，滿足條件的一次函數(shù)y=px-p的圖象一定經(jīng)過第

5、一、四象限。例5、已知m為實(shí)數(shù)，如果函數(shù)y=(m-4)x2-2mx-m-6的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，那么m的值為 。誤解：已知函數(shù)圖象與X軸只有一個交點(diǎn)，方程：（m-4）x2-2mx-m-6=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，0，即（-2m)2-4(m-4)(-m-6)=0解得m1=-4;m2=3剖析與解：題設(shè)函數(shù)二次項系數(shù)含有參數(shù)m,隱含著這一函數(shù)可能是二次函數(shù)，也可能是一次函數(shù)，若m-40,即m4時，原函數(shù)是二次函數(shù)，如上所解m=-4或3，若m-4=0,即m=4時，原函數(shù)為y=-8x-10是一次函數(shù)，這時也與X軸只有一個交點(diǎn)，故滿足條件的的值為4，-4，或3例6、實(shí)數(shù)x,y,適合y+|3-x|=1,-|-|=1+a2,則27 。此題初看起來無法求解，因要求27 ，則應(yīng)先求出y,a,x，可三個未知量僅兩個方程，一般無法求解。但只要我們適當(dāng)變形并充分挖掘其“隱含條件”是可以求解的。解：由已知得：1-y=|3-x|,-1=a2