數(shù)學(xué)更高的價(jià)值在于培養(yǎng)純粹的思維能力

1、數(shù)學(xué)更高的價(jià)值在于培養(yǎng)純粹的思維能數(shù)學(xué)更高的價(jià)值在于培養(yǎng)純粹的思維能力，啟發(fā)人們向往理念的端倪；便于將力，啟發(fā)人們向往理念的端倪；便于將靈魂從變化世界轉(zhuǎn)向真理的實(shí)在靈魂從變化世界轉(zhuǎn)向真理的實(shí)在柏拉圖柏拉圖 理想國(guó)理想國(guó)不等式的證明基本方法不等式的證明基本方法1 1、比較法：作差比較與作商比較、比較法：作差比較與作商比較2 2、綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式、綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立的方法。的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立的方法。3 3、分析法：從要求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等、分析法：從要求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分

2、條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，即由果索因。分條件是否具備的問(wèn)題，即由果索因?！?例 題例 題 】 已 知】 已 知 a 0a 0 ， b 0b 0 ， 求 證 ：， 求 證 ：a3+b3a2b+ab2. .證明一：證明一：比較法（作差）比較法（作差）a+b00，而，而( a- -b)20. = ( a- -b)2(a+b). （a3+b3）- -（a2b+ab2）=（a3- - a2b）+（b3- -ab2）a0a0，b0b0，即即a3+b3a2b+ab2. .( a- -b)2(a+b)0. 故（故（a3+b3）- -（

3、a2b+ab2）0,證明二：證明二：比較法（作商）比較法（作商）故故a3+b3a2b+ab2. .2233abbaba a2+b22ab，ababab2 ababba22 )ba(ab)abba)(ba(22 1 又又a0a0，b0b0，所以，所以ab00，證明三：分析法證明三：分析法所以有所以有a3+b3a2b+ab2. .欲證欲證a3+b3a2b+ab2，只需證明只需證明(a+b)(a2+b2- -ab)ab(a+b).由于由于a0a0，b0b0，所以所以a+b00，故只要證明故只要證明a2+b2- -abab即可。即可。即即證明證明a2+b22ab.而而a2+b22ab 顯然是成立的顯然

4、是成立的證明四：綜合法證明四：綜合法即即a3+b3a2b+ab2.a2+b22ab，a2+b2- -abab.又又a0a0，b0b0， a+b00，故故(a+b)(a2+b2- -ab)ab(a+b).證明一：比較法（作差）證明一：比較法（作差）ab)ab(b)ba(a22 ) ba (abba22 baabba22 所所以以，0 ab)ba()ba(2 ababbaba2233 課課本本習(xí)習(xí)題題改改變變）.(baabba22 練習(xí)：已知練習(xí)：已知a0a0，b0b0，求證：，求證：證明二：比較法（作商）證明二：比較法（作商）baabba22 而而a0a0，b0b0，所以，所以a+b0.a+b0

5、. baabba22 故故1 ababab2 ababba22 )ba(abba33 證明三證明三:綜合法綜合法b2aab2 同同理理a2bba2 b2a2aabbba22 baabba22 即即0b,0a 證明四:分析法 【探索探索1】 已知ccNbbaaMcbacba4,44,0,0,0設(shè)且求M與N 的大小關(guān)系.構(gòu)造函數(shù)法 放縮法M N535452 5322xxxx 【探索探索2 】 求證:換元法 判別式法,)(2qpxxfx 【探索探索3 】 已知求證:)3(. )2(. ) 1 (fff中至少有一個(gè)不小于反證法1/2分析：觀察條件和待證不等式的結(jié)構(gòu)，可知連接它分析：觀察條件和待證不等式

6、的結(jié)構(gòu)，可知連接它 們們的的“橋橋”較多，可從不同的角度來(lái)思考較多，可從不同的角度來(lái)思考 思考思考1:用作差比較來(lái)完成，利用用作差比較來(lái)完成，利用a+b=1可將二元問(wèn)題可將二元問(wèn)題 化為一元問(wèn)題化為一元問(wèn)題 思考思考2:用分析法來(lái)完成，最終可化為證用分析法來(lái)完成，最終可化為證 .0)21(2a思考思考3:用綜合法來(lái)完成，由用綜合法來(lái)完成，由 出發(fā)進(jìn)行變出發(fā)進(jìn)行變形形0)21(2 a225)2()2(1,22babaRba，求證：，且思考題：已知思考思考4:用放縮法來(lái)完成，利用基本不等式用放縮法來(lái)完成，利用基本不等式22222 baba思考思考5:用均值換元法來(lái)完成，設(shè)用均值換元法來(lái)完成，設(shè)tb

7、ta 2121，思考思考6:用構(gòu)造函數(shù)法來(lái)完成，由用構(gòu)造函數(shù)法來(lái)完成，由a+b=1，設(shè)，設(shè) y=(a+2)2+(b+2)2，則，則225225)21(2132222 aaay思考思考7: 用判別式法來(lái)完成，在得到用判別式法來(lái)完成，在得到y(tǒng)2a2 2a+13 后后 改變觀點(diǎn)，視其為方程，有改變觀點(diǎn)，視其為方程，有 2a2 2a+13 y =0 因因aR，則，則4 4 2 (13 y) 0，從而，從而 225) 2() 2(22 ba思考思考8: 反證法反證法證明不等式的主要方法證明不等式的主要方法（4）反證法：正難則反）反證法：正難則反 BA)0B( 1BABA0BA作商法作商法作差法作差法（6）放縮法：要恰當(dāng)?shù)姆趴s以達(dá)到證題的目的）放縮法：要恰當(dāng)?shù)姆趴s以達(dá)到證題的目的（1）比較法：）比較法：（2）綜合法：由因?qū)Ч┚C合法：由因?qū)Ч?）分析法：執(zhí)果索因）分析法：執(zhí)果索因（5）構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)或不等式證明不等式）構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)或不等式證明不等式 （7）判別式法：與一元二次函數(shù)有關(guān)的或可以轉(zhuǎn)化）判別式法：