高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)——復(fù)數(shù)

1、高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)一一復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)在現(xiàn)教材中雖被“淡化”，但根據(jù)近年高考試題分析，它依然是高考得“基礎(chǔ)分”的熱點(diǎn)試題之一.一、考點(diǎn)闡釋、命題趨向與應(yīng)試策略考點(diǎn)闡釋復(fù)數(shù)的概念是復(fù)數(shù)理論的基礎(chǔ)，在解題活動(dòng)中它經(jīng)常是思維的突破口；圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式給出的兩類運(yùn)算，體現(xiàn)了復(fù)數(shù)知識(shí)的廣泛聯(lián)系性和普遍滲透性，這兩種形式及其運(yùn)算也為我們處理復(fù)數(shù)問(wèn)題提供了代數(shù)思考方法和三角思考方法；復(fù)數(shù)概念及其運(yùn)算的幾何意義，為我們從幾何上處理復(fù)數(shù)問(wèn)題或幾何問(wèn)題復(fù)數(shù)化提供了廣闊的空間.正確地進(jìn)行復(fù)數(shù)各種形式間的轉(zhuǎn)換，選準(zhǔn)復(fù)數(shù)的表示形式是靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)知識(shí)處理復(fù)數(shù)與三角、復(fù)數(shù)與幾何、復(fù)數(shù)與方程綜合題的關(guān)鍵.命題趨向與應(yīng)試策略

2、1 .由于復(fù)數(shù)內(nèi)容在新的教學(xué)大綱中已被列為選學(xué)內(nèi)容，所以近幾年復(fù)數(shù)部分在高考中考查的難度與題量都呈下降趨勢(shì).2 .本章內(nèi)容在高考中，以選擇題和解答題為主.選擇題主要考查：(1)復(fù)數(shù)的概念，包括虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部、復(fù)數(shù)的模、輻角主值、復(fù)數(shù)相等、共輾復(fù)數(shù)等概念.(2)復(fù)數(shù)代數(shù)形式與三角形式的基本運(yùn)算，包括復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，乘方、開(kāi)方運(yùn)算，代數(shù)形式與三角形式的互化及基本運(yùn)算的技能與技巧等(3)復(fù)數(shù)的幾何意義，特別是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義一一向量旋轉(zhuǎn)，復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義在平面圖形中的應(yīng)用等.在高考中常見(jiàn)的類型有：(1)與基本計(jì)算有關(guān)的問(wèn)題；(2)與復(fù)數(shù)模的最值有關(guān)的問(wèn)題；(3)與復(fù)數(shù)幾何意義有關(guān)

3、的問(wèn)題.解答題主要考查：(1)在復(fù)數(shù)集中解一元二次方程和二項(xiàng)方程.(2)復(fù)數(shù)的三角運(yùn)算.(3)復(fù)數(shù)與代數(shù)、幾何、三角的綜合性知識(shí)運(yùn)用在高考中常見(jiàn)的類型有：(1)解復(fù)數(shù)方程的問(wèn)題；(2)求復(fù)數(shù)的模和輻角主值的問(wèn)題；(3)復(fù)數(shù)與代數(shù)幾何、三角相關(guān)聯(lián)的綜合性問(wèn)題從上述我們可以看到高考常以考查復(fù)數(shù)運(yùn)算為主，估計(jì)這一命題趨勢(shì)還將繼續(xù)下去.3 .堅(jiān)持全面復(fù)習(xí)與重點(diǎn)復(fù)習(xí)相結(jié)合.由于目前試題多以中低檔題目出現(xiàn)，難度不大，但涉及面廣，對(duì)基本問(wèn)題掌握的熟練程度要求較高，所以對(duì)基本問(wèn)題不能放松要求復(fù)數(shù)的三角形式問(wèn)題是重點(diǎn)內(nèi)容.首先，應(yīng)熟練地確定復(fù)數(shù)的三角形式、復(fù)數(shù)的模與輻角主值、復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征.其次，要準(zhǔn)確

4、把握復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算特點(diǎn)，恰當(dāng)選擇運(yùn)算形式.4 .重視復(fù)數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系.復(fù)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成三角問(wèn)題；復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的代數(shù)問(wèn)題；復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題.在復(fù)習(xí)過(guò)程中，就充分利用相關(guān)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.如求模的最值問(wèn)題可采用以下思考方法：轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)式的最值問(wèn)題；轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的最值；利用模為實(shí)數(shù)這一性質(zhì)，憶|Z2產(chǎn)|Z1土Z2g%|十田；轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題.隨著觀察分析角度的不同，產(chǎn)生不同的解題思路和方法，提高學(xué)生對(duì)算理算法的合理運(yùn)用的水平.5 .強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練：(1)轉(zhuǎn)化思想：要求學(xué)生在全面理解掌握復(fù)數(shù)知識(shí)的同時(shí)，善于將復(fù)數(shù)向?qū)崝?shù)轉(zhuǎn)化，將復(fù)數(shù)向幾何、三角轉(zhuǎn)化

5、.(2)分類討論思想：分類討論是一種重要的解題策略和方法，它能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，復(fù)數(shù)考題中經(jīng)常用到這種分類討論思想.(3)數(shù)形結(jié)合思想：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想處理復(fù)平面問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)之一，應(yīng)引起注意.二、知識(shí)點(diǎn)與注意事項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)1、復(fù)數(shù)：形如a+bi(a,bWR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a,b分別叫它的實(shí)部和虛部.2、分類：復(fù)數(shù)a+bi(a,bWR)中，當(dāng)時(shí)b=0,就是實(shí)數(shù)；當(dāng)b00時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0,b*0時(shí)，叫做純虛數(shù)3 .復(fù)數(shù)的相等：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等且虛部相等就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，4 .共軻復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí).這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軻復(fù)數(shù)。(當(dāng)虛部不為零時(shí)，也可說(shuō)成互為共軻

6、虛數(shù)).5、復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸除去原點(diǎn)的部分叫虛軸.6 .兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小、但兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較它們的大小。7 .復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算按以下法則進(jìn)行：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dRR)則zi二Z2=(a二c)(b二d)iziziZ2Z2 =(ac -bd) (ad bc)iac -'bdbc -ad= c2 d2c2 d2(Z2 -0)(前前減后后，里里加外外78 .幾個(gè)重要的結(jié)論:|ZiZ2I2|Zi-Z2|2=2(|Zi|2|Z2|2)ZZ弓Z|2=|Z|2若z為虛數(shù)，則|z|20z29

7、.運(yùn)算律m n m:nZ Z =Zg / m、n mn(Z ) ZZ2)n=z；zn(m,nR)i0、復(fù)數(shù)方程和共軻復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)方程常見(jiàn)解法是將復(fù)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程組；關(guān)于共軻復(fù)數(shù)有兩個(gè)充要條件：zcruZ=Z,非零復(fù)數(shù)y為純虛數(shù)Uy+y=0,這兩個(gè)充要條件是用整體觀點(diǎn)處理復(fù)數(shù)的生要工具.注意事項(xiàng)1 .堅(jiān)持全面復(fù)習(xí)與重點(diǎn)復(fù)習(xí)相結(jié)合本章的知識(shí)點(diǎn)有：(1)數(shù)的概念白勺發(fā)展,(2)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，(3)復(fù)數(shù)的向量表示，(4)復(fù)數(shù)的加法與減法，(5)復(fù)數(shù)的乘法與除法由于試題中本章內(nèi)容多以中低檔題的出現(xiàn).難度不大，但涉及面廣，對(duì)基本問(wèn)題掌握的熟練程度要求較高.所以對(duì)基本問(wèn)題不能放松要求，舉例如下：(1)復(fù)

8、數(shù)的基本概念：如復(fù)數(shù)為虛數(shù)，純虛數(shù)的條件，模的性質(zhì)，復(fù)數(shù)相等條件的運(yùn)用等。(2)下述結(jié)果的變形運(yùn)用i4n=1,i4n1=i,i4n2=_1,i4n3=(n.N)(1土i)2=2i,薦=_iE=i,設(shè)切=-2+號(hào)則切3=1e=o,1+6+82=0復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的基本方法由復(fù)數(shù)相等的定義，可以將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題，這就是復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的基本方法.2、重視復(fù)數(shù)與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系(1)復(fù)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的代數(shù)問(wèn)題.(2)復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要充分利用有關(guān)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化3 .強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練轉(zhuǎn)化思想：要求在全面理解掌握復(fù)數(shù)知識(shí)的同時(shí)，善于將復(fù)數(shù)向?qū)崝?shù)轉(zhuǎn)化，將復(fù)數(shù)

9、向三角、幾何轉(zhuǎn)化分類討論思想：分類討論是一種重要的解題策略和方法.它能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，復(fù)數(shù)考試中經(jīng)常用到這種分類討論思想.數(shù)形結(jié)合思想：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想處理復(fù)數(shù)平面問(wèn)題是高考考查的熱點(diǎn)之一，應(yīng)引起注意.4 .復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算一般用代數(shù)形式，加減乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算，除法需把分母實(shí)數(shù)化進(jìn)行，必須準(zhǔn)確熟練地掌握。5 .要記住一些常用的結(jié)果，如i,切的有關(guān)性質(zhì)等可簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟提高運(yùn)算速度。6 .復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)有密切聯(lián)系但又有區(qū)別，在運(yùn)算中要特別注意實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算法則在復(fù)數(shù)范圍上是否還使用。7 .代數(shù)形式運(yùn)算的結(jié)果是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，便于復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)虛互化，及復(fù)數(shù)概念的研究。三、典型例題

10、23i例1、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程Z2+(z+z)i=j(i為虛數(shù)單位)2十i2,，一，解原方程化簡(jiǎn)為Z+(z+z)i=1i,設(shè)z=x+yi(x、yCR),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,x2+y2=1且2x=-1,解得x=-1且y=±33,22原方程的解是z=-l±_3i.2211-u例2、設(shè)z是虛數(shù)，W=z+-是實(shí)數(shù)，u=,求證：u為純虛數(shù).z1u思路分析：本題證法很多，可以從共軻復(fù)數(shù)運(yùn)算的角度給出證明.證明：W=z+1eR,.z+1=z+1=z+1,z-z+(-)=0zzzzzz_1、1(z-z)(12=0,z是純虛數(shù)，.zz=0,|z|=1,z=一|z|z1

11、-z1-zzz-1,u=()-=-u.u+u=0.z是虛數(shù)).z/1).u#0)1 z1z1.1z1z.u為純虛數(shù).點(diǎn)評(píng)：用整體觀點(diǎn)處理復(fù)數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意利用前面提到的充要條件例3、求實(shí)數(shù)k的值，使方程x2+(k+2i)x+2+ki=0至少有一個(gè)實(shí)根.思路分析：已知方程是一元二次方程，系數(shù)含有參數(shù)，并且方程有一個(gè)實(shí)根，設(shè)出實(shí)根，利用復(fù)數(shù)相等可得出實(shí)數(shù)方程組，從而得解.解：設(shè)口是方程的實(shí)根，則2+(k+2i)a+2+ki=0,22._r2口+ku+2=0,即(a+ka+2)+(2a+k)i=0根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得：,，消去a2"k=0得k2=8,k=_22點(diǎn)評(píng)：如果利用一元二次方程

12、的判別式=(k+2i)24(2+ki)=k212,要使方程至少有一個(gè)實(shí)根，只需0,即k<-2>/3,k>2V3,這樣的解法是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的原因在于：一元二次方程的判別式=b2-4ac>0是實(shí)系數(shù)一元二次方程有實(shí)根的充要條件，不適合于復(fù)系數(shù)一元二次方程.對(duì)于這類虛數(shù)系數(shù)一元二次方程有實(shí)根的常見(jiàn)解法是設(shè)實(shí)根為a,將x=0代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件來(lái)解.例4、設(shè)復(fù)數(shù)z=2logx+(log：x-1)i(a>0,a#1),問(wèn)當(dāng)x為何實(shí)數(shù)時(shí)，z是實(shí)數(shù)，虛數(shù)，純虛數(shù)，z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方，|z|=1解：當(dāng)log2x-1=0,即x=a或5時(shí)z為實(shí)數(shù)；aa當(dāng)log：x

13、1#0,即x#a且x時(shí)z為虛數(shù)；當(dāng)210gx=0且log：x1#0,即x=1時(shí)z為純虛數(shù)當(dāng)log2x-1>0,即當(dāng)0<a<1時(shí)，0<x<a或x>1;或a>1時(shí)，x>a或0<x<1時(shí)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方;aa當(dāng)(2logx)2+(logax_1)2=1即x=1時(shí)，憶|二1例5、已知x、y為共軻復(fù)數(shù)且(x+y)2_3xyi=46i。求x、ybi代入原式得解：設(shè)x=a+bi(a,bWR),則y=a222(2a)-3(ab)i=4-bi22fA4a2=4a=1U<22=".3(a2+b2)=-6、b=1例6、已知z1

14、=x2+Jx2+1i,z2=(x2+a)i,對(duì)任意xwR均有|馬ITz21成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：|z1|=x4x21,|z2|=|x2a|因?yàn)閨z1舊Z2|有Jx4+x2+1引x2+a|即(1-2a)x2+(1-a2)A0恒成立,當(dāng)12a=0即a=2時(shí)，0x2+(14)>0恒成立,：二01=- -1 : a : 21-2a.0:：4-4(1-2a)(!w2)所以a的取值范圍是(-1,2例7、設(shè)等比數(shù)列z1,z2,z3zn其中z1=1,z2=a+bi,z3=b+ai(a,bwR且a>0)求a,b的值；試求使Z1+Z2+一。=0的最小自然數(shù)n對(duì)中的自然數(shù)n,求z1z2,zn的值

15、。解：因?yàn)閆1,Z2,Z3成等比數(shù)列，所以z2=z1z3即(a+bi)2=b+aiZi=1,Z2=-232i.q=-234i，于是Zn=(、23+21)叱z1+z2zn=13qq2-qnJn_1-q二ron，q = Zn/31nn,13n=(»+?i)=(T)(2+Vi)二1Z1z2,Zn二111(+1i)(亭埒i)2(孝+=(；1)1211111,366=(T)(-2-2i)661366二("(-22i)一T例7、四、高考題測(cè)驗(yàn)06年一、選擇題1+J31、復(fù)數(shù)等-i3-iA.2、若復(fù)數(shù)z滿足方程A.-2-2B.-22C.-22iD.一2、23、(A)設(shè)a,b,c曰R,)a

16、d-bc=0則復(fù)數(shù)(ab)i(B)acbd=0(C)要條件(A.1B.1+i復(fù)C.1+iD.一1一i31-3i)(A)3.(B)-3.6、如果復(fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)是實(shí)數(shù),(C)2則實(shí)數(shù)m=acbd=02(1+i)21-i(D)adbc=0(D)2.A.1B.-1C.22D.-V27、 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)ti對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于i()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限8、已知復(fù)數(shù)z滿足(J3+3i)z=3i,則z=(D)A.3色B.3giC+®D.3+頁(yè)i224422449、對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)和(c,d),規(guī)定(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d

17、;運(yùn)算"®”為：(a,b)®(c,d)=(acbd,bc+ad),運(yùn)算“”為：(a,b)(c,d)=(a+c,b十d),設(shè)p,qwR,若(1,2)®(p,q)=(5,0*U(1,2)5(p,q)=()A. （4,0）B. （2,0） C.（0,2）#10、如圖121,與復(fù)平面中的陰影部分A* （=I/= Rc=二,二SC ：R w I Wl, Re芝, 必 C :C.卜I七=1 Jm七七G C ）D. 芝 I 工 I W1,1m 之、3 ' C ! 二、填空題1 2i11、復(fù)數(shù)一的值是.3 i212、設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，且上+一1 -i 1 -2i1

18、3、若復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足zz = 2i, zD.（0, -4）（含邊界）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)集合是（）1 -3iiz （i為虛數(shù)單位），則 z = #14、（12l）2005=。1 -i一15、復(fù)數(shù)z=i+i2+i3+i4的值是。16、非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對(duì)任意a,b三G,都有a6bwG；（2）存在ewG,使得對(duì)一切awG,都有a$e=e$a=a,則稱G關(guān)于運(yùn)算©為“融洽集”；現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：G=非負(fù)整數(shù),5為整數(shù)的加法G=偶數(shù),5為整數(shù)的乘法G=平面向量,出為平面向量的加法G=二次三項(xiàng)式，為多項(xiàng)式的加法G=虛數(shù)伸為復(fù)數(shù)的乘法其中G關(guān)于運(yùn)算®為“融洽集”;（寫(xiě)出所有“融洽

19、集”的序號(hào)）11三、解答題#17、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程2,一、.3 iz 十（z+z）i =（i為虛數(shù)單位）2 +i18、已知復(fù)數(shù)w滿足w-4=（3-2w）i （i為虛數(shù)單位），的實(shí)系數(shù)一元二次方程.5z= 十 |w 21，求一個(gè)以z為根 w解答d 初 1 3i 1 、. 3i 1.珈、一1、解： ¥_ =2= 一 =i 故選 AHi-i(1,3i) -i2、由 z2 +2 =0= z = ±應(yīng)i = z3 = ±2V2i ,故選 d.3、a,b,c w R,復(fù)數(shù)(a+bi )(c+di) = (acbd)+(ad+bc)i 為實(shí)數(shù)，ad+bc=0,選 d.4、復(fù)數(shù)

20、5、復(fù)數(shù)2c -=-2_ = i(1+i) = 1+i ,選 C.1-i 1 -i3(1 -i )=1 3i 3+i =-2-2i，所以它的虛部為一2,選D.26、（m i r mi）展開(kāi)后，“原始項(xiàng)”共四項(xiàng)，但是我們并不關(guān)心實(shí)部項(xiàng)，虛部項(xiàng)為:3,.一.m2"i+iM1,只需：(m +1)=0= m = T。選 B7、解：5=心=1i故選Di-1沏3i3i(.3 3i)3i+3 珈8、解：z=-=故選D.3+ 3i1249、p -2q =5由(1,2)®(p,q)=(5,0)得,12 P +q = 0所以(1,2)(p,q) =(1,2)。(1, -2) =(2,0)，故選 B.10、D11、1工i10 10x y 512、解填 4。由+二知,1-11-'2i1-'3ixy5(1+i)+上(1+2i) = (1 + 3i),即25105x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y5)+(5x+4y15)i=0,故5x 2y-5=0, 5x 4y-15=0.x = -1解得y =5.x