應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計2第三章假設(shè)檢驗

1、第三章第三章 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念2 單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗3 兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗4 分布擬合檢驗分布擬合檢驗5 兩總體相等性檢驗兩總體相等性檢驗 1 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念一、假設(shè)檢驗的任務(wù)與基本原理一、假設(shè)檢驗的任務(wù)與基本原理1、分類及基本任務(wù)、分類及基本任務(wù)參數(shù)檢驗參數(shù)檢驗：在總體分布類型已知的的前提下對總體參：在總體分布類型已知的的前提下對總體參數(shù)及有關(guān)性質(zhì)進行判斷。數(shù)及有關(guān)性質(zhì)進行判斷。非參數(shù)檢驗非

2、參數(shù)檢驗：總體分布的類型部分或全部未知，檢驗：總體分布的類型部分或全部未知，檢驗的目的是作出一般性的推斷，如分布的類型，兩變量的目的是作出一般性的推斷，如分布的類型，兩變量是否獨立，分布是否相同等。是否獨立，分布是否相同等。例例1 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，包得的袋裝糖某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重是一個隨機變量，服從正態(tài)分布（重是一個隨機變量，服從正態(tài)分布（2 （克）。（克）。當(dāng)機器正常時，其均值為當(dāng)機器正常時，其均值為500克。在裝好的葡萄糖中克。在裝好的葡萄糖中任取一袋，測得糖重為任取一袋，測得糖重為508克，問包裝量的均值是克，問包裝量的均值是500克嗎？若測得的糖重

3、是克嗎？若測得的糖重是498克，能否認(rèn)為包裝量的均克，能否認(rèn)為包裝量的均值是值是500克？克？ 1 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念例例2 某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進器的燃燒率服從正某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進器的燃燒率服從正態(tài)分布態(tài)分布N(,2), =40cm/s,=2cm/s. 現(xiàn)在用新方法生產(chǎn)現(xiàn)在用新方法生產(chǎn)了一批推進器了一批推進器. 從中隨機地取從中隨機地取n=25只只, 測得燃燒率的樣測得燃燒率的樣本均值為本均值為 . 設(shè)在新方法下總體均方差設(shè)在新方法下總體均方差仍為仍為2cm/s, 問這批推進器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的問這批推進器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進器的燃燒率有顯著的提高

4、？推進器的燃燒率有顯著的提高？(取顯著性水平取顯著性水平= 0.05)s/cm.x2541 1 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念例例3 自動車床加工中軸，從成品中抽出自動車床加工中軸，從成品中抽出11根，測量根，測量它們的直徑（毫米）數(shù)據(jù)如下：它們的直徑（毫米）數(shù)據(jù)如下：10.52, 10.41, 10.32, 10.18, 10.64, 10.77, 10.82, 10.67, 10.59, 10.38, 10.49，問這批零件的直徑是否服從正態(tài)分布。問這批零件的直徑是否服從正態(tài)分布。 1 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念2、假設(shè)檢驗的基本原理、假設(shè)檢驗的基本原理假設(shè)檢驗是一

5、種帶有概率性質(zhì)的反證法，其依據(jù)是：假設(shè)檢驗是一種帶有概率性質(zhì)的反證法，其依據(jù)是：小概率事件在一次觀測中不會出現(xiàn)小概率事件在一次觀測中不會出現(xiàn)。以例。以例1為例。為例。假設(shè)假設(shè)H0: a=500，即假設(shè)，即假設(shè)XN(500, 22 )。注意到：。注意到：9973. 033 aXap即即X落入?yún)^(qū)間落入?yún)^(qū)間(494, 506) 的概率是的概率是0.9973，落入?yún)^(qū)間外，落入?yún)^(qū)間外的概率僅為的概率僅為0.0027，所以否定，所以否定H0 1 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念處理參數(shù)的假設(shè)檢驗問題的步驟如下處理參數(shù)的假設(shè)檢驗問題的步驟如下:1o 根據(jù)實際問題根據(jù)實際問題, 提出原假設(shè)提出原假設(shè)H

6、0及備擇假設(shè)及備擇假設(shè)H1;如：如： H0 ：a=500; H1 ：a500.3o 給定顯著性水平給定顯著性水平，并由此及給定的統(tǒng)計量確定拒，并由此及給定的統(tǒng)計量確定拒絕域。絕域。2o 在在H0成立的條件下，確定檢驗統(tǒng)計量；成立的條件下，確定檢驗統(tǒng)計量；如：如：H0成立時：成立時： 1 , 02500NXU 1 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念4 o 取樣，根據(jù)樣本觀察值確定接受還是拒絕取樣，根據(jù)樣本觀察值確定接受還是拒絕H0 .查分位數(shù)表，得查分位數(shù)表，得96. 1975. 021uu 由此得拒絕域由此得拒絕域96. 1|UUW即即 92.50308.496XXW如：若如：若H0不成

7、立，則不成立，則U的絕對值有增大的趨勢。當(dāng)增的絕對值有增大的趨勢。當(dāng)增大到一定程度時，就應(yīng)拒絕大到一定程度時，就應(yīng)拒絕H0。令令=0.05, 注意到注意到 21uUp 1 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念二、錯誤類型及概率二、錯誤類型及概率第一類錯誤（拒真）：第一類錯誤（拒真）：H0成立，樣本值落入成立，樣本值落入W內(nèi)。內(nèi)。第一類錯誤概率為：第一類錯誤概率為： 成成立立0|HWTp第二類錯誤（納偽）：第二類錯誤（納偽）： H1成立，樣本值落入接受域中。成立，樣本值落入接受域中。第二類錯誤概率為：第二類錯誤概率為： 成成立立1|HWTp評價一個檢驗法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)評價一個檢驗法優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)：固

8、定：固定，使，使達(dá)到最小。達(dá)到最小。 1 1 假設(shè)檢驗的基本概念假設(shè)檢驗的基本概念 2 單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗(a) 2已知已知, 關(guān)于關(guān)于a 的檢驗的檢驗 u檢驗檢驗在在H0: a=a0成立時，統(tǒng)計量成立時，統(tǒng)計量 1 , 00NnaXU 雙側(cè)檢驗雙側(cè)檢驗 對立假設(shè)對立假設(shè) ，拒絕域形式為：，拒絕域形式為：01:aaH ,2121 uu單側(cè)檢驗單側(cè)檢驗 對立假設(shè)對立假設(shè) ，拒絕域形式為：，拒絕域形式為：01:aaH ,1 u 單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗(b) 2未知未知, 關(guān)于關(guān)于a 的檢驗的檢驗 t 檢驗檢驗 1/0 ntns

9、axT檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量例例1 用某種儀器間接測量硬度，重復(fù)測量用某種儀器間接測量硬度，重復(fù)測量5次，所得次，所得數(shù)據(jù)是：數(shù)據(jù)是： 175，173，178，174，176 。 而用別的精確方法直接測量硬度為而用別的精確方法直接測量硬度為179，問此儀器的，問此儀器的間接測量是否有系統(tǒng)誤差？間接測量是否有系統(tǒng)誤差？(=0.05)在在H0: a=a0成立時，成立時，(c) 單個正態(tài)總體的方差檢驗單個正態(tài)總體的方差檢驗 2檢驗檢驗檢驗假設(shè)：檢驗假設(shè)： H0 : 2 =02， H1 : 2 02 1) 1(22022 nsn (1) 當(dāng)均值當(dāng)均值a 已知時，檢驗統(tǒng)計量已知時，檢驗統(tǒng)計量 222120

10、niiXan (2) 當(dāng)均值當(dāng)均值a 未知時，檢驗統(tǒng)計量未知時，檢驗統(tǒng)計量 2 單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗單個正態(tài)總體均值與方差的檢驗 2 兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗例例2.4 某生產(chǎn)車間生產(chǎn)的金屬絲，質(zhì)量較為穩(wěn)定，某生產(chǎn)車間生產(chǎn)的金屬絲，質(zhì)量較為穩(wěn)定，折斷力方差為折斷力方差為64。今從一批產(chǎn)品中抽。今從一批產(chǎn)品中抽10根作折斷力根作折斷力試驗，結(jié)果（試驗，結(jié)果（Kg）為：）為：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570，問是否可以認(rèn)為這批金屬絲的折斷力方差仍是問是否可以認(rèn)為這批金屬絲的折斷力方差仍是64 （=0.05）？）？

11、(a) 方差已知時兩個正態(tài)總體的均值檢驗方差已知時兩個正態(tài)總體的均值檢驗 u 檢驗檢驗 2212120 1,XYUNnn 檢驗假設(shè)：檢驗假設(shè)： H0 : a1= a2， H1 : a1a2 3 兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗設(shè)設(shè)XN(a1,12), YN(a2,22)，來自兩個總體的樣本分，來自兩個總體的樣本分別為：（別為：（X1,Xn1), （Y1,Xn2).檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：(b) 12 =22 =2, 但但2未知時兩個總體的均值檢驗未知時兩個總體的均值檢驗 t 檢驗檢驗 221121212121222211 nntnnnnnnSnSnYXT 3 兩個正態(tài)總

12、體均值與方差的檢驗兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗檢驗假設(shè)：檢驗假設(shè)： H0 : a1= a2， H1 : a1a2檢驗統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量： 3 兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗例例3.2（P95） 設(shè)有甲乙兩種砌塊，形狀相同。但乙設(shè)有甲乙兩種砌塊，形狀相同。但乙砌塊比甲砌塊制作簡單，造價低。經(jīng)過試驗得抗壓強砌塊比甲砌塊制作簡單，造價低。經(jīng)過試驗得抗壓強度度 （kg/cm2）為：）為： 甲：甲：88，87，92，90，91； 乙：乙：89，89，90，84，88，試問能用乙種砌塊代替甲種砌塊嗎（試問能用乙種砌塊代替甲種砌塊嗎（=0.05）？）？ 3 兩個正態(tài)總體均值與方差的

13、檢驗兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗例例3.3 （P95）某實驗室采集到）某實驗室采集到12塊巖石樣品，用兩臺塊巖石樣品，用兩臺光譜儀分別測得巖石內(nèi)含鎘量如下（單位光譜儀分別測得巖石內(nèi)含鎘量如下（單位）：）： 樣品號：樣品號： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 甲儀器：甲儀器：3.1 0.6 8.4 2.5 4.1 3.7 3.1 2.8 3.2 4.4 4.6 2.9 乙儀器：乙儀器：3.0 0.7 8.0 2.2 3.9 3.5 3.0 2.6 3.1 4.4 4.6 2.6問兩臺儀器是否有顯著差別（問兩臺儀器是否有顯著差別（=0.05）？）？(c) 兩個總體的方差檢驗兩個

14、總體的方差檢驗 F檢驗法檢驗法檢驗假設(shè)：檢驗假設(shè)： H0 : 12 =22， H1 : 12 22 21122211,SFF nnS (1) a1 , a2未知，在未知，在H0 成立的條件下，檢驗統(tǒng)計量成立的條件下，檢驗統(tǒng)計量(2) a1 , a2已知，在已知，在H0 成立的條件下，檢驗統(tǒng)計量成立的條件下，檢驗統(tǒng)計量 12211112221211,niiniiXanFF n nYan 3 兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗 4 分布擬合檢驗分布擬合檢驗一、分布擬合檢驗的一般方法一、分布擬合檢驗的一般方法 2分布擬合檢驗；分布擬合檢驗；K-S 擬合檢驗擬合檢驗判斷總體是否為

15、某種分布（如正態(tài)分布）的檢驗問判斷總體是否為某種分布（如正態(tài)分布）的檢驗問題，通稱為分布的擬合優(yōu)度檢驗，簡稱為分布擬合題，通稱為分布的擬合優(yōu)度檢驗，簡稱為分布擬合檢驗。檢驗。1、理論基礎(chǔ)、理論基礎(chǔ) (1) 多項分布：多項分布： 假設(shè)假設(shè)n 次獨立試驗中，每次試驗有次獨立試驗中，每次試驗有k 種結(jié)果。每次出種結(jié)果。每次出現(xiàn)第現(xiàn)第i 種結(jié)果的概率是種結(jié)果的概率是pi (i=1,k)，pi=1。記。記n 次試次試驗中出現(xiàn)第驗中出現(xiàn)第i 種結(jié)果的次數(shù)是種結(jié)果的次數(shù)是Ni(Ni是隨機變量，但滿是隨機變量，但滿足足Ni=n)，則有，則有 則稱則稱 (N1,Nk) 的分布為多項分布，記為的分布為多項分布，記

16、為 M(n;p1,pk) knknkkkppnnnnNnNp11111!, （一）（一）2分布擬合檢驗法分布擬合檢驗法(2) Pearson 定理：設(shè)在多項分布中定理：設(shè)在多項分布中pi=pi0 (i=1,k)。記。記n 次試驗中出現(xiàn)各種結(jié)果的次數(shù)分別是次試驗中出現(xiàn)各種結(jié)果的次數(shù)分別是ni，ni=n。令令 kiiiinpnpn12200 則當(dāng)則當(dāng)n時，時，2服從服從2(k-1) 分布。分布。例：假設(shè)一罐中有白球（例：假設(shè)一罐中有白球（1/2）、紅球（）、紅球（1/3）和藍(lán)球（）和藍(lán)球（1/6）。從中有放回地抽?。?。從中有放回地抽取7次，問恰好抽中次，問恰好抽中3次白球、次白球、兩次紅球、兩次藍(lán)

17、球的概率有多大？兩次紅球、兩次藍(lán)球的概率有多大？2、離散型隨機變量的分布擬合檢驗、離散型隨機變量的分布擬合檢驗基本思想基本思想：通過分組，將總體分布看成多項分布。：通過分組，將總體分布看成多項分布。(1) 分組：將分組：將X的值域分成互不相交的的值域分成互不相交的k 組：組：I1,Ik，記，記 P xIi=pi, i=1,k .(2) 給出檢驗假設(shè)：給出檢驗假設(shè)： H0: pi=pi0 (i=1,k), H1: pipi0 至少至少對某個對某個i 成立。成立?；静襟E基本步驟:(3) 構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量：構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量：ni 表示落入表示落入Ii 內(nèi)的觀測值的個數(shù)，內(nèi)的觀測值的個數(shù)， 記記 kii

18、iinpnpn12200 (4) 進行進行2檢驗：取右側(cè)拒絕域檢驗：取右側(cè)拒絕域W.分組的原則分組的原則: npi05注：注：如果分布檢驗中，有如果分布檢驗中，有r 個待估參數(shù)，則可將這個待估參數(shù)，則可將這 r 個參數(shù)用極大似然法估出后，再計算個參數(shù)用極大似然法估出后，再計算 pi0，此時，此時2分布分布的自由度應(yīng)相應(yīng)改成的自由度應(yīng)相應(yīng)改成 k-r-1 .例例4.2 某電話交換臺，在某電話交換臺，在100分鐘內(nèi)記錄了每分鐘被呼分鐘內(nèi)記錄了每分鐘被呼叫次數(shù)叫次數(shù)xi , 整理后結(jié)果如下整理后結(jié)果如下 (ni 是出現(xiàn)是出現(xiàn)xi 值的次數(shù)值的次數(shù))問：是否可以認(rèn)為問：是否可以認(rèn)為X 服從服從 Poi

19、sson 分布？分布？ 基本思想：為了檢驗隨機變量基本思想：為了檢驗隨機變量X是否服從連續(xù)型分是否服從連續(xù)型分布布F0(x)，可將，可將X的取值范圍分割為若干個區(qū)間，并在的取值范圍分割為若干個區(qū)間，并在每個區(qū)間上算出相應(yīng)的理論概率每個區(qū)間上算出相應(yīng)的理論概率pi0。通過這樣的處理。通過這樣的處理，就把連續(xù)型問題轉(zhuǎn)化為離散型問題了。，就把連續(xù)型問題轉(zhuǎn)化為離散型問題了。3、連續(xù)型分布的擬合檢驗、連續(xù)型分布的擬合檢驗 具體步驟：具體步驟： 1）分組：）分組： 將將F0(x)的自變量劃分成的自變量劃分成k（5k16）組）組(b0, b1, (b1, b2, ,(bk-1, bk). 3）計算統(tǒng)計量：）

20、計算統(tǒng)計量： kiiiinpnpn12200 4）判斷：若）判斷：若 ，則拒絕，則拒絕H0：F(x)=F0(x). 1212 k 2）求各組上的理論概率）求各組上的理論概率pi0及理論頻數(shù)及理論頻數(shù)npi0:pi0=Pbi-1100 時，時，Dn 的分位數(shù)有如下的近似公式的分位數(shù)有如下的近似公式 ：nDnDnDnnn63. 1,36. 1,23. 199. 0,95. 0,90. 0, 例例3 自動車床加工中軸，從成品中抽出自動車床加工中軸，從成品中抽出11根，測量根，測量它們的直徑（毫米）數(shù)據(jù)如下：它們的直徑（毫米）數(shù)據(jù)如下：10.52, 10.41, 10.32, 10.18, 10.64

21、, 10.77, 10.82, 10.67, 10.59, 10.38, 10.49，問這批零件的直徑是否服從正態(tài)分布。問這批零件的直徑是否服從正態(tài)分布。 axuii 2、Smirnov檢驗法檢驗法（檢驗兩個總體的分布是否相同）（檢驗兩個總體的分布是否相同）1）原假設(shè)）原假設(shè): H0: F1(x)=F2(x)2）檢驗統(tǒng)計量：）檢驗統(tǒng)計量： xFxFDnnxn21max 3）確定拒絕域：令）確定拒絕域：令n=n1n2/(n1+n2)，查，查Kolmogorov分分布的分位數(shù)表，得臨界值布的分位數(shù)表，得臨界值Dn,1-。4）判斷：若）判斷：若DnDn,1-，則拒絕假設(shè)，則拒絕假設(shè)H0； 若若DnD

22、n,1-，則接受假設(shè)，則接受假設(shè)H0。二、正態(tài)性檢驗二、正態(tài)性檢驗 檢驗一批數(shù)據(jù)是否來自于正態(tài)總體檢驗一批數(shù)據(jù)是否來自于正態(tài)總體（一）偏度、峰度檢驗法（一）偏度、峰度檢驗法331 偏偏度度442 峰峰度度正態(tài)總體的偏度和峰度：正態(tài)總體的偏度和峰度：1=0, 2=3樣本樣本X1,Xn 的偏度和峰度計算：的偏度和峰度計算： 332323siibSnXXXX 偏偏度度 22444 XXXXnSbiik 峰峰度度檢驗方法檢驗方法：利用聯(lián)合檢驗圖（：利用聯(lián)合檢驗圖（P111），檢查（），檢查（|bs|, bk）偏離點（偏離點（0, 3)的程度。的程度。（二）正態(tài)概率紙檢驗法（二）正態(tài)概率紙檢驗法基本原理

23、：在特制的正態(tài)概率紙上，橫坐標(biāo)是均勻基本原理：在特制的正態(tài)概率紙上，橫坐標(biāo)是均勻刻度（樣本值），縱坐標(biāo)是按正態(tài)分布律來刻度，刻度（樣本值），縱坐標(biāo)是按正態(tài)分布律來刻度，表示概率，或縱坐標(biāo)按照正態(tài)分位數(shù)表示概率，或縱坐標(biāo)按照正態(tài)分位數(shù)up均勻刻度，均勻刻度，并標(biāo)上相應(yīng)的概率值并標(biāo)上相應(yīng)的概率值p得到。正態(tài)分布的分布函數(shù)在得到。正態(tài)分布的分布函數(shù)在正態(tài)概率紙上是一條直線。把待檢驗的經(jīng)驗分布曲正態(tài)概率紙上是一條直線。把待檢驗的經(jīng)驗分布曲線畫在概率紙上，觀察是否接近于直線一判斷該總線畫在概率紙上，觀察是否接近于直線一判斷該總體是否為正態(tài)分布。體是否為正態(tài)分布。（三）（三）W檢驗（檢驗（Shapiro, Wilk, 1965）檢驗過程：檢驗過程：1、將、將X1,Xn由小到大排列為由小到大排列為X(1),X(n)2、構(gòu)造統(tǒng)計量：、構(gòu)造統(tǒng)計量： ，其中，其中 niiXXLW122 lkkknkXXaL11這里，這里，l=n/2, n為偶數(shù)；為偶數(shù)； l=(n-1)/2, n為奇數(shù)，為奇數(shù)，ak查附表查附表7。3、給定、給定，由表，由表8查下側(cè)臨界值查下側(cè)臨界值Wq, 若若WqW1, 則則接受正態(tài)性假設(shè)；否則拒絕。接受正態(tài)性假設(shè)；否則拒絕。5 兩總體的相等性檢驗兩總體的相等性檢驗一、符號檢驗法一、符號檢驗法檢驗過程檢驗過程1、在總體、在總體F1(x), F2(x)中分別抽出容量為中分別