物理實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書：測量誤差與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法

1、. 海量資料 超值下載測量誤差與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法一、測量、誤差與精度（一）測量物理實(shí)驗(yàn)包含兩大步驟：一是調(diào)試儀器設(shè)備，觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，二是進(jìn)行測量。所謂測量就是將被測物理量與選為標(biāo)準(zhǔn)的同類物理量（即取作單位的同類量）進(jìn)行比較，定出它是標(biāo)準(zhǔn)量的多少倍。測量是以確定被測對象的量值為目的的全部操作。由于測量結(jié)果的大小與選擇的單位密切相關(guān)，所以做物理實(shí)驗(yàn)時，其測量或計(jì)算的結(jié)果中必須有單位，這與數(shù)學(xué)是不同的，在物理上1m=1000mm，但在數(shù)學(xué)上11000，因?yàn)閿?shù)學(xué)的數(shù)字是純數(shù)，是沒有意義的量。通過量具和儀器直接測得（讀出）被測量數(shù)值的測量叫直接測量，例如用天平和砝碼測量質(zhì)量，用游標(biāo)尺測量長度等等。有些物

2、理量沒有直接測量儀器。需要通過對待測量有函數(shù)關(guān)系的其他量的測量以得到該待測量之量值的過程稱為間接測量。例如直徑為D的球體的體積V=，可通過用米尺或游標(biāo)卡尺測量球體的直徑D后而計(jì)算得到。（二）誤差的定義及表示方法所謂誤差就是測量與被測量的真值之間的差值，測量誤差的大小反映測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。1真值和約定真值在一定條件下，任何一個物理量的大小都是客觀存在的，稱為真值。真值是一個理想概念，一般是不知道的。但在某些特定情況下，真值又是知道的，例如，三角形三個內(nèi)角之和為180；一個整圓周角為360；按定義規(guī)定的國際千克基準(zhǔn)的值可認(rèn)為真值是1kg。在實(shí)際測量中，常用被測量的實(shí)際值來代替真值。而實(shí)際值的定義是

3、滿足規(guī)定精度的用來代替真值使用的量值。該實(shí)際值常用高一等級精度的標(biāo)準(zhǔn)所測得。而在更普遍的實(shí)際測量中，常用被測量的最佳值或修正過的算術(shù)平均值來代替真值，稱為約定真值。2測量值實(shí)驗(yàn)時，依據(jù)一定的理論和方法，用一定的儀器，在一定的環(huán)境下，由具體的人測得的某一物理量的量值叫測量值，測量值就是所測物理量的近似值。3測量誤差的定義及表示方法測量誤差可以簡稱為誤差，其定義為誤差=測量值真值或N=N測N真由于N真一般是不知道的，所以誤差一般是不能計(jì)算的，只有在少數(shù)情況下，可以用準(zhǔn)確度足夠高的實(shí)際值來作為約定真值，這時才能估算誤差。誤差可用絕對誤差表示，也可用相對誤差表示。（1）絕對誤差NN=N測N真（2）相對

4、誤差E 絕對誤差可能為正值或負(fù)值，相對誤差也可能為正值或負(fù)值。（三）誤差的來源和分類測量過程中，誤差產(chǎn)生的原因是多方面的，可歸納為1測量裝置誤差：任何測量儀器、儀表及裝置，附件等即使在規(guī)定的條件下使用都具有誤差，稱為基本誤差。2環(huán)境誤差當(dāng)偏離測量裝置所歸定的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)測量時，所產(chǎn)生的誤差叫環(huán)境誤差，也稱為附加誤差。3理論方法誤差由于測量方法不完善及所依據(jù)的理論不嚴(yán)密而產(chǎn)生的誤差，例如用單擺測重力加速度，但該公式成立條件為擺角趨于零，擺線質(zhì)量為零，擺體體積為零，這實(shí)際上是無法滿足的。4人員誤差由于實(shí)驗(yàn)操作者的心理、生理因素各不相同所產(chǎn)生的誤差，根據(jù)誤差的來源和性質(zhì)，可將誤差分為以下三類：（1）系統(tǒng)

5、誤差在同一實(shí)驗(yàn)條件下（方法、儀器、環(huán)境和觀測人員都不變）在對同一被測量的多次測量過程中，誤差的絕對值和正、負(fù)號保持不變，或在條件改變時，以可預(yù)知的方式變化的測量誤差分量，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因可能實(shí)驗(yàn)者已知，也可能不知。如果已知，其系統(tǒng)誤差的大小和符號稱為可定系統(tǒng)誤差，應(yīng)在測量中采取一定的措施給予減小，消除或者修正。對于未定系統(tǒng)誤差，只能估計(jì)它的取值范圍。（2）隨機(jī)誤差當(dāng)系統(tǒng)誤差已經(jīng)減弱到可以忽略的程度，在對同一被測量在重復(fù)性條件下進(jìn)行多次測量的過程中，誤差絕對值與符號以不可預(yù)知的方式變化著的誤差分量，稱為隨機(jī)誤差，又叫偶然誤差，隨機(jī)誤差是由實(shí)驗(yàn)中各種因素的微小變化引起的。隨機(jī)誤差的

6、出現(xiàn)，就某一次測量值是沒有規(guī)律的，其大小方向不可預(yù)知，但對于一個量進(jìn)行多次測量，隨機(jī)誤差是按統(tǒng)計(jì)規(guī)律分布的，服從正態(tài)分布（高斯分布）曲線。（3）粗大誤差（四）精度反映測量結(jié)果與真值接近程度的量，稱為精度。它與誤差的大小相對應(yīng)，因此可用誤差的大小來表示精度的高低，誤差小則精度高，誤差大則精度低。根據(jù)測量結(jié)果，精度可分為精密度，準(zhǔn)確度（正確度）和精確度三個概念。其意義分別表示：精密度，反映隨機(jī)誤差影響的程度，是對測量結(jié)果重復(fù)性的評價，精密度高，是指測量重復(fù)性好，各次測量值的分布密集，隨機(jī)誤差小。準(zhǔn)確度，反映系統(tǒng)誤差大小的程度（也稱正確度），準(zhǔn)確度高，是指測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值偏離真值較少，系統(tǒng)誤差小

7、。精確度，反映偶然誤差和系統(tǒng)誤差綜合大小的程度，精確度簡稱精度，精確度高，指測量結(jié)果既精密又準(zhǔn)確，即隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差均小。精度在數(shù)量上有時可用相對誤差來表示，例如相對誤差為0.01%，可籠統(tǒng)地說其精度為10-4，若純屬隨機(jī)誤差引起，則說其精密度為10-4；若由系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差共同引導(dǎo)起，則說其精度為10-4。二、測量不確定度（一）誤差不能計(jì)算，只能估算由于測量誤差的存在，等精度測量列中各個測得值一般皆不相同，被測量的真值難以確定，測量成為一個隨機(jī)過程，因此，有誤差。誤差的估算屬于統(tǒng)計(jì)學(xué)和計(jì)量學(xué)范疇。由于N=N測N真而N真不知道，所N無法計(jì)算，只能估算。為了估算N，我們需要定義約定真值。理論

8、證明，在K次等精度測量中，其算術(shù)平均值=最接近真值，稱為約定真值。由約定真值和各次測量值Ni估算誤差N，但NiN，而是N的近似值。對其近似值的估算有多種方法，但方法不同，所表示的物理意義不同。（二）隨機(jī)誤差的估算及評定方法在系統(tǒng)誤差和過失誤差（粗大誤差）已經(jīng)消除，只剩下隨機(jī)誤差時，用作為測量結(jié)果。那么用代替真值N真可靠性如何，需對它進(jìn)行估算和評定，對的評定有兩種方法。1算術(shù)平均偏差（略）2則量列的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差和平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差在多次測量時，用算術(shù)平均值表示測量結(jié)果，可以減小隨機(jī)誤差的影響，而測量值的分散程度直接體現(xiàn)隨機(jī)誤差的大小，定量地對隨機(jī)誤差作出估算有多種方法。為了表示隨機(jī)誤差的分布特征，

9、科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常用貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差對測量誤差加以估算。越大，就表示測量值比較分散，隨機(jī)誤差大。越小，就表示測量值比較密集，隨機(jī)誤差小?，F(xiàn)在很多函數(shù)計(jì)算器有計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的統(tǒng)計(jì)功能，常用或鍵表示，只要將k個測量值按規(guī)定的操作步驟輸入計(jì)算器，即可計(jì)算出和。（三）測量不確定度的定義測量不確定度是指測量結(jié)果變化的不肯定，是表征被測量的真值在某個量值范圍的一個估計(jì)，是測量結(jié)果含有的一個參數(shù)，用以表示被測量值的分散性，所以一個完整的測量結(jié)果包含有被測量的估計(jì)和分散性參數(shù)兩部分，例如被測量N的測量結(jié)果為nu，其中n是被測量的估計(jì)，它具有的測量不確定度為u。在測量不確定度定義下，被測量的測量結(jié)果所表示的并非

10、為一個確定的值，而是分散的無限個可能所處于的一個區(qū)間，是指測量值（近真值約定真值）附近的一個區(qū)域范圍，測量值（近真值）與真值之差即誤差可能位于其中。由于誤差分為隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，而系統(tǒng)誤差又有可定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差，在測量結(jié)果中對可定（已定）系統(tǒng)誤差分量進(jìn)行修正以后，其余各種未定系統(tǒng)誤差因素和隨機(jī)誤差因素共同影響著測量結(jié)果的不確定度，所以不確定度的分量計(jì)算原則上分為兩類，A類不確定度（統(tǒng)計(jì)不確定度）和B類不確定度（非統(tǒng)計(jì)不確定度儀器誤差和估讀誤差）。1A類不確定度分量的估算A類不確定度是指可以用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算的不確定度，它服從正態(tài)分布規(guī)律，可用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差和平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)算uA=uA=

11、2B類不確定度，uB=儀（儀器誤差限值）是非統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的誤差分量。3測量結(jié)果不確定度表示方法不確定度用方和根合成不確定度uu=相對不確定度測量結(jié)果用不確定度u表示為N真=（u）（單位）（四）測量不確定度與誤差測量不確定度和誤差是誤差理論中的兩個重要概念。它們具有相同點(diǎn)，都是評定測量結(jié)果質(zhì)量高低的重要指標(biāo)，都可作為測量結(jié)果精度的評定參數(shù)。但它們又有明顯的區(qū)別，必須正確認(rèn)識和區(qū)分，以防混淆和誤用。從定義上講，誤差是測量結(jié)果與真值之差，它以真值和約定真值為中心，而測量不確定度是以被測量的估計(jì)值為中心。因此誤差是一個理想的概念，一般不能準(zhǔn)確知道，難以定量；而測量不確定度是反映人們對被測量認(rèn)識不足的程

12、度，是可以定量評定的。在分類上，誤差按自身特征和性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差，隨機(jī)誤差和粗大誤差，并可采取不同措施來減小或消除各類誤差對測量的影響，但由于各類誤差之間并不存在絕對的界限，故在分類判別和誤差計(jì)算時不易準(zhǔn)確掌握。測量不確定度不按性質(zhì)分類，而是按評定方法分為A類評定和B類評定，兩類評定方法不分優(yōu)劣，按實(shí)際情況的可能性加以選用。（五）直接測量量的不確定度估算與測量結(jié)果表示1真值的最佳估計(jì)值若對某物理量進(jìn)行足夠多的n次等精度測量，得測量列x1，x2，xn，則該測量列的算術(shù)平均值為其真值的最佳估計(jì)值。若對某物理量只進(jìn)行單次測量，則只能將此測量量值作為其真值的最佳估計(jì)值。2不確定度的估算（1）不確定度A

13、類分量uA。對某物理量進(jìn)行多次重復(fù)測量，只要測量次數(shù)n5，當(dāng)置信概率取為0.683時，其A類不確定度分量uA即為測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。如果對物理量只是行了單次測量，則無法計(jì)算其不確定度A類分量。（2）不確定度B類分量uB。實(shí)驗(yàn)中常會有很多非統(tǒng)計(jì)的誤差因素存在，但一般只考慮儀器誤差這一主要因素，此時uB=uj=m/,其中m為儀器的允差。（3）合成不確定度u。一般地，A類分量和B類分量相互“獨(dú)立”，故應(yīng)按“方和根”方法合成。u=3測量結(jié)果表示（單位） p=0.683Ex=100%三、間接測量的不確定度及結(jié)果表示實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行的測量大都是間接測量，即最后測量量（間接測量量）是諸直接測量量的函數(shù)。直

14、接測量量的誤差必定會給間接測量帶來誤差，這被稱為誤差傳遞。設(shè)間接測量量N與各直接測量量的函數(shù)關(guān)系為N=f(x,y,x,) (3.1)（一）間接測量量的平均值間接測量結(jié)果是由一個或n個直接測量值經(jīng)過公式計(jì)算得出。，代表各直接測量量的最佳值，于是間接測量量的最佳值應(yīng)該是=f(,) （3.2）（二）間接測量結(jié)果的不確定度設(shè)ux，uy分別為x, y等相互獨(dú)立的直接測量量的不確定度，則間接測量量的總不確定度為uN= (3.3)該式中偏導(dǎo)數(shù)，稱為傳遞系數(shù)，其大小直接代表了各直接測量結(jié)果不確定度對間接測量結(jié)果不確定度的貢獻(xiàn)。對N=f（x,y,z）兩邊取自然對數(shù)，則有=f(x,y,z) (3.4)dlnN=

15、（3.5）由式（3.3）和式（3.5）可知，當(dāng)函數(shù)為和差形式時，用式（3.3），先求間接測量量不確定度uN，再由En=，求相對不確定度較方便；當(dāng)函數(shù)為積、商形式時，用式（3.5），先求間接測量量的相對不確定度EN。再由uN=EN，求出uN較為方便。（三）間接測量量結(jié)果的表達(dá)式為N=(uN)單位 （p=0.683）EN=100%應(yīng)特別注意，其不確定度uN，EN及最佳估計(jì)值的有效數(shù)字計(jì)算。例，根據(jù)測量某部分空心圓柱體密度公式=則間接測量密度的相對不確定度為:由于體積V是由d1，h1，d2，h2，d3，h3等6個直接測量量的函數(shù)，需先求出各個獨(dú)立變量d1, d2, d3, h1, h2 ,h3的平均

16、值及它們的不確定度ud1，ud2，ud3，uh1，uh2，uh3，可得密度的相對不確定度為：E=四、有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算在測量結(jié)果和數(shù)據(jù)運(yùn)算中，確定用幾位數(shù)字來表示測量或數(shù)據(jù)運(yùn)算的結(jié)果，是有其重要科學(xué)的內(nèi)含的。測量結(jié)果既然包含有誤差，說明它是一個近似數(shù)，其精度有一定限度，在記錄測量結(jié)果的數(shù)據(jù)位數(shù)，或進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算時的取值多少時，皆應(yīng)以測量所能達(dá)到的精度為依據(jù)：常有幾種對精度的錯誤的理解：小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)愈多，數(shù)值愈精確，精度高。數(shù)據(jù)運(yùn)算中，保留的位數(shù)愈多，精度愈高都是誤解。這是因?yàn)椋?小數(shù)點(diǎn)的位置決定不了精度，這是與所采用的單位有關(guān)，例如35.62和0.03565m的精度完全相同，而小數(shù)點(diǎn)位置則不同

17、。2測量結(jié)果的精度與所用的測量方法及儀器有關(guān)。在記錄或數(shù)據(jù)運(yùn)算時，所取的數(shù)據(jù)位數(shù)，其精度不能超過測量所能達(dá)到的精度；反之，若低于測量精度，也是不正確的，因?yàn)樗鼘p失精度。3在解方程組時，若系數(shù)為近似值，其取值多少對方程組的解有很大影響，例如，下面的方程組（a）和（b）及共對應(yīng)解為： 對應(yīng)解為 對應(yīng)解為（一）有效數(shù)字的概念在實(shí)驗(yàn)中得到的測量值是含有誤差的數(shù)值，它們的尾數(shù)不能隨意取舍，應(yīng)當(dāng)反映出測量值的精確度及誤差，在記錄和處理數(shù)據(jù)，分析測量結(jié)果時，究竟寫出幾位數(shù)字，要根據(jù)測量誤差或?qū)嶒?yàn)結(jié)果的不確定度嚴(yán)格要求，不能隨意亂寫。例如：用米尺測量一個物體的長度，測量結(jié)果在51和52之間，記錄數(shù)據(jù)可為51

18、.4、51.5、51.6，換不同的測量者進(jìn)行測量，前兩位數(shù)不會發(fā)生變化，稱為準(zhǔn)確數(shù)字，但最后一位會因?yàn)楦魅瞬煌墓烙?jì)而不同，稱為可疑數(shù)字（欠準(zhǔn)確字），雖然最后一位欠準(zhǔn)確，但客觀上反映了該物體是比51長又比52短的事實(shí)，不能舍去。準(zhǔn)確數(shù)字和可疑數(shù)字的全體稱為有效數(shù)字，有效數(shù)字位數(shù)的多少，直接反映了實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果和精確度，有效數(shù)字位數(shù)越多，測量結(jié)果的精確度越高。根據(jù)有效數(shù)字的定義可知52.0和52是不同的，52.0中：個位上的2是精確的，十分位上的“0”是可疑的。52中：“2”是可疑的。注意：在讀取數(shù)據(jù)時，如測量值恰好為整數(shù)，則必須在整數(shù)后補(bǔ)“0”，一直補(bǔ)到可疑位；顯然在小數(shù)點(diǎn)的末位隨意增加0（盡管

19、不改變其數(shù)值大?。┮彩清e誤的。有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位數(shù)無關(guān)，當(dāng)單位改變時，有效數(shù)字的位數(shù)不變，例如52.0可與為0.520m，均為三位有效數(shù)字。非0數(shù)值前的“0”不是有效數(shù)字，而后面的“0”是有效數(shù)字。故為方便起見常用科學(xué)記數(shù)法，即在小數(shù)點(diǎn)前只寫一位有效數(shù)字，用10的N次冪來表示其數(shù)量級，例為5.5105m，3.28610-6S分別表示2位和4位有效數(shù)字。如果將5.5105m寫為550000m顯然是錯誤的，它人為的將有效數(shù)字增加了4位。（二）有效數(shù)字的讀取1對于直接測量值，可疑數(shù)字與儀器的允差同一位，讀數(shù)應(yīng)讀到最小分度值下一位的十分之一，有時也可根據(jù)情況（如分度較窄，指針較寬），就讀到最小分度值的1/5，1/2，最小分度值所在位是準(zhǔn)確位，其后一位為可疑位。2有時，讀數(shù)的估讀位就在最小分度位。如儀器的最小分度值為0.5，則應(yīng)讀到最小分度值的1/5，會出現(xiàn)0.2、0.6之類的值，估讀位還是在最小分度位上。3游標(biāo)類量具，只讀到游標(biāo)分度值，一般不讀游標(biāo)分度值下一位。4數(shù)字式儀表或步進(jìn)讀數(shù)儀器（如電阻箱）不需要估讀，其顯示值的末位就是可疑的。（三）有效數(shù)字的運(yùn)算總原則：準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算時，共結(jié)果仍是準(zhǔn)確數(shù)字；可疑數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字或可疑數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算時，