二次函數線段和差最值的存在性問題解題策略

1、中考數學壓軸題解題策略（8）線段和差最值的存在性問題解題策略專題攻略兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）.三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）.兩條線段差的最大值問題，一般根據三角形的兩邊之差小于第三邊，當三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長.如圖3,PA與PB的差的最大值就是AB,此時點P在AB的延長線上，即P'.解決線段和差的最值問題，有時候求函數的最值更方便，本講不涉及函數最值問題.-AT1D%.2日十圖1例題解析例？如圖1-

2、1,拋物線y=x2-是拋物線對稱軸上的一個動點，如果GMFPM圖2圖32x-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點PPAC的周長最小，求點P的坐標.弋JC<：/【解析】如圖1-2,把拋物線的對稱軸當作河流，點PBC中，PB+PC總是大于BC的.如圖1-3,當點PA+PC最小，PAC的周長也最小.由y=x22x3,可知OB=OC=3,OD=1,所圖1-2一，一1c例？如圖，拋物線y=x-4x+4與y軸父十點A與點B對稱，連結BC,那么在P落在BC上時，PB+PC最小，因此以DB=DP=2,因此P（1,-2）.a圖1-3A,B是OA的中點.一個動點G從圖1-1點B出發(fā)，先經過x軸上的點M

3、,再經過拋物線對稱軸上的點N,然后返回到點A.如果動點G走過的路程最短，請找出點圖2-1【解析】如圖2-2,按照“臺球兩次碰壁”的模型，作點A關于拋物線的對稱軸對稱的點A'，作點B關于x軸對稱的點B；連結AB與x軸交于點M,與拋物線的對稱軸交于點N.在RtAAB中，AA'=8,AB'=6,所以A'B'=10,即點G走過的最短路程為10.根據相似比可以計算得到OM=8,MH=4,NH=1.所以M(C,0),N(4,1).圖2-2例？如圖3-1,拋物線y=-4x2+8x+2與y軸交于點A,頂點為B.點P是x軸上93的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去

4、較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的點P的坐標.【解析】題目讀起來像繞口令，其實就是求|RAPB|的最小值與最大值.由拋物線的解析式可以得到A(0,2),B(3,6).設P(x,0).絕對值|PAPB|的最小值當然是0了，此時圖3-2).解方程x2+22=(x-3)2+62,得x=416在ARAB中，根據兩邊之差小于第三邊，那么RA=PB,點P在AB的垂直平分線上(如，41.此時P(41，0)|PAPB|總是小于AB了.如圖3-3,當點3P在BA的延長線上時，|PAPB|取得最大值，最大值AB=5.此時P(3,0).2BD上的任意一點,求PK+QK的最小值.A【解析】如圖PQ的.如圖4

5、-3,圖4-14-2,點Q關于直線BD的對稱點為Q',在4KPQ中，PK+QK總是大于當點K落在PQ'上時，PK+QK的最小值為PQ'.如圖4-4,PQ'的最小值為QH,QH就是菱形ABCD的高，Q'H=J3-這道題目應用了兩個典型的最值結論：兩點之間，線段最短；垂線段最短.圖4-2例？如圖5-1,菱形圖4-3ABCD中，/A=60°,AB=3,圖4-4。A、。B的半徑分別為2和1,P、E、F分別是邊CD、0B和。A上的動點，求PE+PF的最小值.圖3-3例？如圖4-1,菱形ABCD中，AB=2,/A=120°,點P、Q、K分別為線段

6、BC、CD、【解析】E、F、P三個點都不確定，怎么辦？BE=1,AF=2是確定的，那么我們可以求PB+PA3的最小值，先求PB+PA的最小值（如圖5-2）.如圖5-3,PB+PA的最小值為AB',AB'=6.所以PE+PF的最小值等于3.圖5-2圖5-3例？如圖6-1,已知A(0,2)、B(6,4)、E(a,0)、F(a+1,0),求a為何值時,四邊形ABEF圖6-1【解析】在四邊形ABEF中，AB、EF為定值，求AE+BF的最小值，先把這兩條線段經過平移，使得兩條線段有公共端點.如圖6-2,將線段BF向左平移兩個單位，得到線段ME.如圖6-3,作點A關于x軸的對稱點A'

7、;,MA'與x軸的交點E,滿足AE+ME最小.由aoesbhf,得匹=也.解方程g=6-(a+2),得2=£.OA'HB243圖6-2圖6-3例？如圖7-1,4ABC中，/ACB=90°,AC=2,BC=1.點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當點A在x軸上運動時，點C也隨之在y軸上運動.在整個運動過程中,圖7-1【解析】如果把OB放在某一個三角形中，這個三角形的另外兩條邊的大小是確定的,那么根據兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和.顯然OBC是不符合條件的，因為OC邊的大小不確定.如圖7-2,如果選AC的中點D,那么BD、OD都是定值，

8、OD=1,BD=J2.在OBD中，總是有OBvOD+BD.如圖7-3,當點D落在OB上時，OB最大，最大值為J2+1.例？如圖8-1,已知A(2,0)、B(4,0)、D(-5,3j3).設F為線段BD上一點(不含端點)，連結AF,一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度。運動到F,再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止.當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？【解析】點B(4,0)、D(心3%的坐標隱含了/DBA=30°,不由得讓我彳門聯想到30角所對的直角邊等于斜邊的一半.如果把動點M在兩條線段上的速度統一起來，問題就轉化了.如圖8-2,在RtADEF

9、中，FD=2FE.如果點M沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到點D時，那么點M沿線段FE以每秒1個單位的速度正好運動到點E.因此當AF+FE最小時，點M用時最少.如圖8-3,當AEXDE時，AF+FE最小，此時F(-2,2).圖8-2例？如圖9-1,在RtABC中，/C=90°,AC=6,BC=8.點E是BC邊上的點,連結AE,過點E作AE的垂線交AB邊于點F,求AF的最小值.A圖9-1【解析】如圖9-2,設AF的中點為D,那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取決于DE的最小值.如圖9-3,當DELBC時，DE最小.設DA=DE=m,此時DB=5m35由AB=DA+DB,付m+m=10.圖9-2,一15,15解得m=.此時AF=2m=圖9-31O例？如圖10-1,已知點P是拋物線y=1x2上的一個點，點D、E的坐標分別為(0,1)、4(1,2),連結PD、PE,求PD+PE的最小值.圖10-1【解析】點P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型.設P(x,x),那么PD=x+(-x-1)=(一x+1).所以PD=x+1.44441，如圖10-2,x2+1的幾何意義可以理解為拋物線上的動點P到直線