垂徑定理及其推論

1、垂徑定理及其推論 圓部分知識(shí)點(diǎn)總結(jié)垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為： 過圓心 垂直于弦 直徑 平分弦 知二推三 平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 平分弦所對(duì)的劣弧弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理 1：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。 2：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的

2、圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們 所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。 推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 設(shè)O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有： d<r點(diǎn)P在O內(nèi)； d=r點(diǎn)P在O上； d>r點(diǎn)P在O外。過三點(diǎn)的圓 1、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)

3、的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。直線與圓的位置關(guān)系 直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。如果O的半徑為r，圓心O到直線L的距離為d,那么：直線L與O相交d<r； 直線L與O相切d=r； 直線L與O相離d>r；圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。切線的性質(zhì)與判定定理1

4、、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。 推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。 以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理： 即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是兩條切線 ；平分圓冪定理1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點(diǎn)， 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直

5、徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在中，直徑， 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在中，是切線，是割線 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如右圖）。即：在中，、是割線 兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點(diǎn) 垂直平分圓的公切線（1）公切線的長(zhǎng)：中，；（2）外公切線的長(zhǎng)：是半徑之差；是半徑之和 三角形的內(nèi)切圓和外接圓 1、三角形的內(nèi)切圓 與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心 三角形的內(nèi)切圓的圓心是

6、三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。圓和圓的位置關(guān)系 1、圓和圓的位置關(guān)系如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切，相切分為外切和內(nèi)切兩種。如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相交。2、圓心距兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離d>R+r 兩圓外切d=R+r 兩圓相交R-r<d<R+r（Rr）兩圓內(nèi)切d=R-r（R>r） 兩圓內(nèi)含d<R-r（R>r）4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切，那

7、么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算1.正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行：；2.正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，：3. 正六邊形 同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在中進(jìn)行，.弧長(zhǎng)和扇形面積 1、弧長(zhǎng)公式 n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為2、扇形面積公式 其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，L是扇形的弧長(zhǎng)。3、圓錐的側(cè)面積 其中L是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑。內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）ABC中，C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r= 。 （3）SABC=，其中a，b，c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑。拱高問題1.如圖，圓弧形橋拱的跨度AB12米，拱高CD4米，則拱橋