圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題

1、圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（一）圓的有關(guān)性質(zhì)知識(shí)歸納  1. 圓的有關(guān)概念：    圓、圓心、半徑、圓的內(nèi)部、圓的外部、同心圓、等圓；    弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；    圓的內(nèi)接三角形、三角形的外接圓、三角形的外心、圓內(nèi)接多邊形、多邊形的外接圓；圓心角、圓周角、圓內(nèi)接四邊形的外角。  2. 圓的對(duì)稱性    圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸；    圓是以圓心為

2、對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；    圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。  3. 圓的確定    不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。  4. 垂直于弦的直徑    垂徑定理  垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；    推論1  （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；    （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?#160;   （3）平分弦所對(duì)的一條弧

3、的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。    垂徑定理及推論1 可理解為一個(gè)圓和一條直線具備下面五個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出另外三個(gè)：過圓心；垂直于弦；平分弦（不是直徑）；平分弦所對(duì)的優(yōu)??；平分弦所對(duì)的劣弧。    推論2  圓的兩條平行弦所夾的弧相等。  5. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系    定理  在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等；所對(duì)的弦的弦心距相等。    推論  在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓

4、心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。     此定理和推論可以理解成：在同圓或等圓中，滿足下面四個(gè)條件中的任何一個(gè)就能推出另外三個(gè)：兩個(gè)圓心角相等；兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等；兩個(gè)圓心角或兩條弧所對(duì)的弦相等；兩條弦的弦心距相等。    圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。  6. 圓周角    定理  一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；    推論1  同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或

5、等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等；    推論2  半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；    推論3  如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。    圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。  7. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)    圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。  8. 軌跡 軌跡  符合某一條件的所有的點(diǎn)組成的圖形，叫做符合

6、這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡。（1）平面內(nèi)，到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；（2）平面內(nèi)，和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線；（3）平面內(nèi)，到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線。 例題分析  例1. 已知：如圖1，在O中，半徑OM弦AB于點(diǎn)N。圖1    若AB，ON1，求MN的長；    若半徑OMR，AOB120°，求MN的長。    解：AB，半徑OMAB，   ANBN 

7、0;  ON1，由勾股定理得OA2    MNOMONOAON1    半徑OMAB，且AOB120° AOM60°    ONOA·cosAONOM·cos60°        說明：如圖1，一般地，若AOB2n°，OMAB于N，AOR，ONh，則AB2Rsin n°2htan n°   例2. 已知：如圖2，在ABC中，ACB90&#

8、176;，B25°，以點(diǎn)C為圓心、AC為半徑作C，交AB于點(diǎn)D，求的度數(shù)。圖2分析：因?yàn)榛∨c垂徑定理有關(guān)；與圓心角、圓周角有關(guān)；與弦、弦心距有關(guān)；弧與弧之間還存在著和、差、倍、半的關(guān)系，因此這道題有很多解法，僅選幾種供參考。解法一：（用垂徑定理求）如圖21，過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F。圖21        又ACB90°，B25°，F(xiàn)CA25°    的度數(shù)為25°，的度數(shù)為50°。    解法二：（用圓周角求

9、）如圖22，延長AC交C于點(diǎn)E，連結(jié)ED圖22    AE是直徑，ADE90°    ACB90°，B25°，EB25°    的度數(shù)為50°。    解法三：（用圓心角求）如圖23，連結(jié)CD圖23    ACB90°，B25°，A65°    CACD，ADCA65°    ACD50°

10、，的度數(shù)為50°。 例3. 已知：如圖3，ABC內(nèi)接于O且ABAC，O的半徑等于6cm，O點(diǎn)到BC的距離OD等于2cm，求AB的長。析：因?yàn)椴恢繟是銳角還是鈍角，因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，還可能在三角形外部，所以需分兩種情況進(jìn)行討論。略解：（1）假若A是銳角，ABC是銳角三角形。如圖3，由ABAC，可知點(diǎn)A是優(yōu)弧的中點(diǎn)，因?yàn)镺DBC且ABAC，根據(jù)垂徑定理推論可知，DO的延長線必過點(diǎn)A，連結(jié)BO    BO6，OD2        在RtADB中，ADDOAO628 &#

11、160;  圖3 圖31（2）若A是鈍角，則ABC是鈍角三角形，如圖31添加輔助線及求出，在RtADB中，ADAODO624AB綜上所述AB小結(jié)：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置關(guān)系，防止丟解或多解。   例4. 已知：如圖4，AB是O的直徑，弦CDAB，F(xiàn)是CD延長線上一點(diǎn)，AF交O于E。求證：AE·EFEC·ED圖4分析：求證的等積式AE·EFEC·ED中，有兩條線段EF、ED在EDF中，另兩條線段AE、EC沒有在同一三角形中，欲將其置于三角形中，只要添加輔助線AC，設(shè)法證

12、明FEDCEA即可。證明：連結(jié)AC    四邊形DEAC內(nèi)接于圓    FDECAE，F(xiàn)EDDCA    直徑ABCD，    DCACEA，F(xiàn)EDCEA    FEDCEA    ，AE·EFEC·ED小結(jié)：四邊形內(nèi)接于圓這一條件，常常不是在已知條件中明確給出的，而是隱含在圖形之中，在分析已知條件時(shí)，千萬不要忽略這一重要條件。 例5. 已知：如圖5，AM是O的直徑，過O上一點(diǎn)B作BNA

13、M，垂足為N，其延長線交O于點(diǎn)C，弦CD交AM于點(diǎn)E。圖5（1）如果CDAB，求證：ENNM；（2）如果弦CD交AB于點(diǎn)F，且CDAB，求證CE2EF·ED；（3）如果弦CD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，并且與AB的延長線交于點(diǎn)F，且CDAB，那么（2）的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。 證明：（1）連結(jié)BM（如圖51）圖51    AM是直徑，ABM90°    CDAB，BMCD    ECNMBN，又AMBC，CNBN    RtCEN

14、RtBMN，ENNM    （2）連結(jié)BD，BE，AC（如圖52）圖52    點(diǎn)E是BC垂直平分線AM上一點(diǎn)，BEEC    CDAB，    ACDBDC，又ABAC，AEAE    ABEACE，ABEACDBDC    BED是公共角，BEDFEB    BE2EF·ED，CE2EF·ED    （3）結(jié)論成立。如圖53圖53&#

15、160;   證明：仿（2）可證ABEACE    BECE，且ABEACE    又ABCD，    ACBDBC，BDAC    BDEACE180°    而FBEABE180°    BDEFBE，而BED是公共角    BEDFEB    BE2EF·ED，CE2EF·ED （二

16、）直線與圓的關(guān)系  1. 直線與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置相離相切相交公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)012公共點(diǎn)名稱無切點(diǎn)交點(diǎn)直線名稱無切線割線圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系  2. 切線的判定    經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。  3. 切線的性質(zhì)    （1）圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；    （2）推論1  經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；    （3）推論2  經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

17、60;   此定理及推論可理解為以下三個(gè)條件中任知其中兩個(gè)就可推出第三個(gè)：垂直于切線；經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過圓心。  4. 切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。  5. 弦切角定理 （1）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角； （2）推論  如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等； （3）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。  6. 和圓有關(guān)的比例線段 （1）相交弦定理  圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積

18、相等； （2）推論  如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)； （3）切割線定理  從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)； （4）推論  從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。  7. 三角形的內(nèi)切圓 （1）有關(guān)概念：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形； （2）作圖：作一個(gè)圓，使它和已知三角形的各邊都相切。 例題分析  例6. 已知：如圖6

19、，AB是O的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，CG切O于D，DEAB于E。圖6  求證：CDBEDB。  分析：由AB是O的直徑，聯(lián)想到直徑的三個(gè)性質(zhì)：圖61      圖62       圖63（1）直徑上的圓周角是直角。若連結(jié)AD，則得RtABD；（2）垂徑定理。如圖62，若延長DE交O于F，則可得DEEF，；（3）過直徑外端的切線與直徑垂直。如圖63，若過B點(diǎn)作O的切線BM，則ABBM。    由CD是O的

20、切線，聯(lián)想到切線的三個(gè)性質(zhì)：（1）過切點(diǎn)的半徑垂直于切線。如圖61，若連結(jié)OD，則ODCD；（2）弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。若連結(jié)AD，則CDBA；（3）切割線定理。如圖6，CD2CB·CA。由DEAB于E，聯(lián)想到以下一些性質(zhì)：（1）RtDEB中兩銳角互余，即EDBEBD90°；（2）垂徑定理。如圖62，只要延長DE交O于F，則可得到相等的線段，相等的?。唬?）構(gòu)造與射影定理相關(guān)的基本圖形。即連結(jié)AD，則可得到ADB是直角三角形，DE是斜邊上的高，又可得到兩對(duì)相等的銳角，三個(gè)相似的三角形，還可運(yùn)用射影定理、勾股定理、面積公式等。證明：連結(jié)AD，如圖6，AB是直徑，AD

21、B90°。    DEAB，EDBA    CD是O的切線，CDBA，CDBEDB此例題還有許多證法，比如連結(jié)OD，如圖61，利用切線的定義；又比如延長DE交O于F，連結(jié)BF，如圖62，利用垂徑定理；還可以過點(diǎn)B作O的切線交CD于點(diǎn)M，如圖63，利用切線長定理，等等，這諸多證法，讀者不妨試證之。小結(jié)：此例題證明CDBEDB，即證明BD是CDE的平分線，由此證明可以聯(lián)想到AD也是GDE的平分線。    另外，通過對(duì)此例題的分析和證明可知，圖64中隱含著很多圖形的性質(zhì)，如相等的銳角、相等的線段、相等

22、的弧及相似三角形等等，為此可將圖64分解成三個(gè)基本圖形。如圖65，以利于進(jìn)一步理解線段之間的比例關(guān)系。圖64圖65 例7. 已知：如圖7，點(diǎn)P是半圓O的直徑BA延長線上的點(diǎn)，PC切半圓于C點(diǎn)，CDAB于D點(diǎn)，若PA：PC1：2，DB4，求tanPCA及PC的長。圖7    證明：連結(jié)CB    PC切半圓O于C點(diǎn)，PCAB    PP，PACPCB    AC：BCPA：PC        AB是半圓O的直

23、徑，ACB90°    又CDAB        ABADDB5           例8. 已知：如圖8，在RtABC中，B90°，A的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上的一點(diǎn)，DEDC，以D為圓心，DB長為半徑作D。圖8求證：（1）AC是D的切線；   （2）ABEBAC分析：（1）欲證AC與D相切，只要證圓心D到AC的距離等于D的半徑BD。因此要作DFAC于F（2）只要證ACAFFCA

24、BEB，證明的關(guān)鍵是證BEFC，這又轉(zhuǎn)化為證EBDCFD。    證明：（1）如圖8，過D作DFAC，F(xiàn)為垂足    AD是BAC的平分線，DBAB，DBDF    點(diǎn)D到AC的距離等于圓D的半徑    AC是D的切線    （2）ABBD，D的半徑等于BD，    AB是D的切線，ABAF    在RtBED和RtFCD中，EDCD，BDFD    BED

25、FCD，BEFC    ABBEAFFCAC 小結(jié)：有關(guān)切線的判定，主要有兩個(gè)類型，若要判定的直線與已知圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類   例9. 已知：如圖9，AB為O的弦，P為BA延長線上一點(diǎn)，PE與O相切于點(diǎn)E，C為中點(diǎn)，連CE交AB于點(diǎn)F。圖9  求證：  分析：由已知可得PE2PA·PB，因此要證PF2PA·PB，只要證PEPF。即證PFEPEF。&#

26、160; 證明一：如圖9，作直徑CD，交AB于點(diǎn)G，連結(jié)ED，    CED90°    點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CDAB，CFGD    PE為O切線，E為切點(diǎn)    PEFD，PEFCFG    CFGPFE，PFEPEF，PEPF    PE2PA·PB，PF2PA·PB    證明二：如圖91，連結(jié)AC、AE圖91   

27、 點(diǎn)C是的中點(diǎn)，CABAEC    PE切O于點(diǎn)E，PEAC    PFECABC，PEFPEAAEC    PFEPEF，PEPF    PE2PA·PB，PF2PA·PB 例10. （1）如圖10，已知直線AB過圓心O，交O于A、B，直線AF交O于F（不與B重合），直線l交O于C、D，交BA延長線于E，且與AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC、AD 圖10 圖101  求證：BADCAG；    AC

28、·ADAE·AF    （2）在問題（1）中，當(dāng)直線l向上平行移動(dòng)，與O相切時(shí)，其它條件不變。    請(qǐng)你在圖101中畫出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D10標(biāo)記字母；問題（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由。    證明：（1）連結(jié)BD    AB是O的直徑，ADB90°    AGCADB90°    又ACDB是O內(nèi)接四邊形  

29、;  ACGB，BADCAG    連結(jié)CF    BADCAG，EAGFAB    DAEFAC    又ADCF，ADEAFC    ，AC·ADAE·AF    （2）見圖101    兩個(gè)結(jié)論都成立，證明如下：    連結(jié)BC，    AB是直徑，ACB90°  

30、;  ACBAGC90°    GC切O于C，GCAABC    BACCAG（即BADCAG）    連結(jié)CF    CAGBAC，GCFGAC，    GCFCAE，ACFACGGFC，EACGCAE    ACFE，ACFAEC，    AC2AE·AF（即AC·ADAE·AF） 說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學(xué)生動(dòng)

31、手畫圖的能力，并通過探究式的提問加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生證明題的考查，這是當(dāng)前熱點(diǎn)的考題，希望引起大家的關(guān)注。   例11. 如圖11，AB是O的直徑，O過AC的中點(diǎn)D，DEBC，垂足為E。圖11（1）由這些條件，你能推出哪些正確結(jié)論？（要求，不再標(biāo)注其它字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程，寫出4個(gè)結(jié)論即可）。（2）若ABC為直角，其他條件不變，除上述結(jié)論外，你還能推出哪些新的正確結(jié)論？并畫出圖形。分析：（1）若連結(jié)DO，可證得DE是O的切線。若連結(jié)DB，由直徑AB和點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，可得ABBC，AC等。而且DEBC于點(diǎn)E，又由雙垂圖形，可得，等。 

32、;  （2）連結(jié)DO、OB。方法同上。 答：下列結(jié)論可供選擇，如圖111圖111  （1）DE是O的切線  ABBC  AC  DE2BE·CE  CD2CE·CB  CCDE90°    （2）CEBE  DEBE  DECE  DEAB  CB是O的切線  B  ACDE45°  CCDE45°  CB2CD·CA 

33、60; (11)  (12)說明：本題是結(jié)論開放的探索性問題，答案不唯一。尋找結(jié)論的關(guān)鍵是抓住命題的條件及其特點(diǎn)（尤其是利用特殊幾何圖形的判定和性質(zhì)），在幾何中諸如：相等關(guān)系、特殊圖形、兩圖形的關(guān)系等。 （三）圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)歸納  1. 基本概念    （1）兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義。    （2）兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線、公切線長的定義。    （3）兩圓的連心線、圓心距、公共弦。  2. 圓和圓的位置關(guān)系兩圓的位置圓心距d與兩圓的半徑

34、R、r的關(guān)系外公切線條數(shù)內(nèi)公切線條數(shù)公切線條數(shù)外離224外切213相交202內(nèi)切101內(nèi)含000  3. 相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦  4. 相切兩圓的性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上。   例題分析例12. 已知兩圓外切時(shí)，圓心距為10cm，兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距為4cm，求兩圓半徑的長。    解：設(shè)兩圓的半徑分別為Rcm和r cm。依題意，得        答：大圓的半徑為7cm，小圓的半徑為3cm。 例13. 已知：

35、如圖12，兩圓相交于A、B，過點(diǎn)A的直線交兩圓于C、D，過點(diǎn)B的直線交兩圓于E、F。圖12 求證：CEFD。 分析：要證CEFD，可通過角的關(guān)系證平行，即只要證EBFD或證ECDD180°，若證EBFD，只需將BFD轉(zhuǎn)化成與O1有關(guān)的圓周角，或圓內(nèi)接四邊形的外角，只要連結(jié)AB即可；若要證ECDD180°，也需連結(jié)AB，得EBAD，EBAECD180°，則也可得證。    證明一：（用同位角證）連結(jié)AB    四邊形EBAC內(nèi)接于O1，BADE    又BF

36、DBAD，BFDE    CEFD    證明二：（用同旁內(nèi)角證）連結(jié)AB    四邊形EBAC內(nèi)接于O1，    CB180°，又BD，    CD180°，ECFD    小結(jié)：兩圓相交時(shí)，常添的輔助線是作兩圓的公共弦。（四）正多邊形和圓知識(shí)歸納1. 基本概念正多邊形、正多邊形的中心、正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正多邊形的中心角以及平面鑲嵌等。2. 正多邊形的判定與性質(zhì)（1）把圓分成等份

37、：依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形。（2）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓。3. 正多邊形的有關(guān)計(jì)算  正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。 如圖16所示，設(shè)正n邊形的中心角為，半徑為R，邊長為，邊心距為rn，周長為Pn，面積為Sn，則由有關(guān)圖形的性質(zhì)可以推得：圖16    （1）    （2）；    （3）；    

38、; （4）；    （5）；     （6）；  4. 與圓有關(guān)的計(jì)算    （1）圓的周長；    （2）弧長；    （3）圓的面積；    （4）扇形面積；    （5）弓形面積（如圖16）  5. 與圓有關(guān)的作圖 （1）過不在同一條直線上的三點(diǎn)作圓； （2）作三角形的內(nèi)切圓； （3）等分圓周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三

39、角形、正四邊形、正六邊形。6. 圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖 （1）圓柱的側(cè)面積：（r：底面半徑，h：圓柱高） （2）圓錐的側(cè)面積：（L2R，R是圓錐母線長，r是底面半徑）。    （n為側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)，R為母線長）。 例題分析  例14. 已知：如圖17，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，AB的長為12cm，求兩個(gè)圓所圍成的環(huán)形面積。圖17    解：連結(jié)OC、OB    設(shè)大圓半徑OBR，小圓半徑OCr    AB與小圓相切于點(diǎn)C，OCAB，且ACBC    AB12，BC6        。       例15. 在正五邊形ABCDE中，AC、BE相交于F，若AB