空解(第6次課)PPT

1、主要內(nèi)容一一.空間曲面及其方程空間曲面及其方程 二二.空間曲線及其方程空間曲線及其方程 水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面的實例：曲面的實例：一一. 曲面方程的概念曲面方程的概念xzyo),(zyxM.0),( zyxF1. 一般概念一般概念曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)都都不不滿滿足足方方程

2、程；空間曲面空間曲面S0),( zyxF基本問題基本問題（1 1）已知曲面作為點的軌跡）已知曲面作為點的軌跡( (圖形圖形) )時，求曲面方程時，求曲面方程（2 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式( (代數(shù)方程代數(shù)方程),),研究曲面形狀研究曲面形狀解解RMM |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 球面方程為球面方程為:特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為:2222Rzyx 二二. .特殊曲面的方程特殊曲面的方程1. 球面的方程球面的方程xyzoM0M一般地一般地:0222 EDzCyBxAzAyAx三三元元二二次次方方程

3、程： 表示的曲面為球面表示的曲面為球面.例例1. 0232222 yxzyx討討論論方方程程：所表示的曲面所表示的曲面.解解: 配方有配方有:045)23()1232222222 zyxyxzyx（222225)23()1）（即（即（ zyx-.250231為為半半徑徑的的球球面面）為為球球心心，以以（ 解解,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為球面所求方程為球面: :2 2. . 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸.曲線稱為曲線稱為母線母線播放播放 以一條平面以一條平

4、面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .( (播放播放: : 定位定位按標(biāo)題按標(biāo)題-8-8頁頁) )定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)

5、曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直

6、線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋

7、轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直

8、線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面xozy 00),(xzyf), 0(111zyM M旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)過過來來的的）是是由由111, 0(),(zyMSzyxM 1zz |122yyxd 將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfdC:現(xiàn)設(shè)現(xiàn)設(shè)yoz平面上曲線平面上曲線C:0),(

9、 zyf繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面S,求曲面求曲面S的方程的方程.S解解: 設(shè)設(shè)CzyM ), 0(111 0,22 zyxf得方程得方程 . 0,22 zxyf . 0,22 zyxf如此等等如此等等.例例3 3 將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程122222 czyax122222 czayx單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面解解:xoyzoxyz雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面例例4. 平平面面上上的的曲曲線線yoz)()(222baazby 軸旋轉(zhuǎn)一周，軸旋轉(zhuǎn)一周，繞繞z則旋轉(zhuǎn)曲面方程為：則旋轉(zhuǎn)

10、曲面方程為：22222)azbyx （即即)(4)222222222yxbabzyx （-圓環(huán)面圓環(huán)面圓環(huán)面圓環(huán)面繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面xozy解解 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 3. 3. 圓錐面圓錐面 )(2222yxaz ).cot22 a（或或-圓錐面的方程為圓錐面的方程為 x,y,z的的同理同理: 方程方程)(2222zxay 表示頂點在原點中心軸表示頂點在原點中心軸為為 y 軸的圓錐面方程軸的圓錐

11、面方程. 方程方程)(2222zyax 表示頂點在原點中心軸表示頂點在原點中心軸為為 x 軸的圓錐面方程軸的圓錐面方程.二次齊次函數(shù)二次齊次函數(shù).播放播放定義定義3. 3. 柱面柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程: :平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫叫柱面的柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線, ,動直線動直線 叫柱叫柱面的面的母線母線. .CL( (播放播放: : 定位定位按標(biāo)題按標(biāo)題-28-28頁頁) )定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移

12、動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線叫，動直線叫柱面的柱面的母線母線.C3. 3. 柱面柱面定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲

13、面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲

14、線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，

15、動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察

16、柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL3. 3. 柱面柱面這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C定義定義觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并

17、沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.C3. 3. 柱面柱面10. 圓柱面圓柱面設(shè)設(shè)， 0:222zRyxC平平面面上上的的圓圓，為為即即xoyC軸軸，zL/求圓柱面方程求圓柱面方程.xzyoCLMM解：解：SzyxM ),(取取S將將M投影到投影到 xoy平面平面,得投影點得投影點CoyxM ),(則則222Ryx -圓柱面方程圓柱面方程因為對于因為對于SzyxM ),(有有，222Ryx 反之反之,，若若222Ryx 則則.),(Szy

18、xM 點點同理同理:222222,RzyRzx 方方程程分別表示母線分別表示母線平行于平行于y 軸、軸、x軸的圓柱面軸的圓柱面.一般地一般地,方程方程 F(x,y)=0 表示母線平行于表示母線平行于z軸的柱面軸的柱面.2. 橢圓柱面橢圓柱面:xyo12222 byax3. 拋物柱面拋物柱面:pyx22xozypyx22拋物柱面拋物柱面12222 byaxzxozyxy 平面平面4. 雙曲柱面雙曲柱面:12222 byax雙曲柱面雙曲柱面5. 平面平面:xy xyzo 01:2222zbyaxC 0),(0),(zyxGzyxF-空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點都滿足曲線上的點都

19、滿足方程，滿足方程的點都在方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程不能同時滿足兩個方程. .xozy1S2SC 空間曲線空間曲線C C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線. .特點特點：三三. 空間曲線及其方程空間曲線及其方程1.空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程例例5 5 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面表示圓柱面，6332 zyx表示平面表示平面， 6332122zyxyx表示表示圓柱面被平面所截的圓柱面被平面所截的交線交線為橢圓為橢圓. .例例6 6 方程組方程組 表

20、示怎樣的曲線表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面, ,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面, ,交線如圖所示交線如圖所示. . )()()(tzztyytxx 當(dāng)給定當(dāng)給定1tt 時，就得到曲線上的一個點時，就得到曲線上的一個點),(111zyx，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點部點.-空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程2 2. .空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 動點從動點從A A點出點出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t t 時間，運動到時間，運動到MM點點 A MM tax cos tay sin vtz t

21、螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 0),(0),(zyxGzyxF設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線C的一般方程的一般方程：3.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影現(xiàn)將現(xiàn)將C投影到投影到xoy平面上平面上. 為此為此,過曲線過曲線C上的每一點上的每一點作平行于作平行于z 軸的直線軸的直線, 此直線與此直線與xoy平面相交平面相交,所有這些所有這些交點組成的曲線稱為曲線交點組成的曲線稱為曲線C在在xoy平面的投影曲線平面的投影曲線C.xyzoCC定義定義:由定義由定義, 投影曲線投影曲線C以以C為準(zhǔn)線為準(zhǔn)線,母線平行與母線平行與z軸的柱面與軸的柱面與xoy平面的交線平面的交線.類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線:xoyC:消去變量