初中數(shù)學(xué)最值系列之胡不歸問題

1、初中數(shù)學(xué)最值系列之胡不歸問題最值系列之“胡不歸”問題在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我們還可能會遇上形如“PA+kPB”這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓本文簡單介紹“胡不歸”模型【故事介紹】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家根據(jù)“兩點之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸胡不歸”（“胡”同“何”）而如果先沿著驛道AC先走一段，再走砂石地，會不

2、會更早些到家【模型建立】如圖，一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最小【問題分析】，記，即求BC+kAC的最小值【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sinDAN=k，CH/AC=k，CH=kAC將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BHAD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小【模型總結(jié)】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角

3、函數(shù)得到kPB的等線段【2019長沙中考】如圖，ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BEAC于點E，D是線段BE上的一個動點，則的最小值是_【分析】本題關(guān)鍵在于處理“”，考慮tanA=2，ABE三邊之比為，故作DHAB交AB于H點，則 問題轉(zhuǎn)化為CD+DH最小值，故C、D、H共線時值最小，此時【小結(jié)】本題簡單在于題目已經(jīng)將BA線作出來，只需分析角度的三角函數(shù)值，作出垂線DH，即可解決問題，若稍作改變，將圖形改造如下：則需自行構(gòu)造，如下圖，這一步正是解決“胡不歸”問題關(guān)鍵所在【2019南通中考】如圖，平行四邊形ABCD中，DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動點，

4、則的最小值等于_【分析】考慮如何構(gòu)造“”，已知A=60°，且sin60°=，故延長AD，作PHAD延長線于H點，即可得，將問題轉(zhuǎn)化為：求PB+PH最小值當(dāng)B、P、H三點共線時，可得PB+PH取到最小值，即BH的長，解直角ABH即可得BH長【2014成都中考】如圖，已知拋物線（k為常數(shù)，且k>0）與軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線與拋物線的另一交點為D（1）若點D的橫坐標(biāo)為-5，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每

5、秒2個單位的速度運動到D后停止，當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？【分析】第一小問代點坐標(biāo)，求解析式即可，此處我們直接寫答案：A（-2,0），B（4,0），直線解析式為，D點坐標(biāo)為，故拋物線解析式為，化簡為：另外為了突出問題，此處略去了該題的第二小問點M運動的時間為，即求的最小值 接下來問題便是如何構(gòu)造，考慮BD與x軸夾角為30°，且DF方向不變，故過點D作DMx軸，過點F作FHDM交DM于H點，則任意位置均有FH=當(dāng)A、F、H共線時取到最小值，根據(jù)A、D兩點坐標(biāo)可得結(jié)果【2018重慶中考】拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左邊），與y軸交于點C點P是直線AC上方拋物線上一點，PFx軸于點F，PF與線段AC交于點E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應(yīng)線段是O1B1，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求四邊形PO1B1C周長的最小值，并求出對應(yīng)的點O1的坐標(biāo)（為突出問題，刪去了兩個小問）【分析】根據(jù)拋物線解析式得A、B、C，直線AC的解析式為：，可知AC與x軸夾角為30°根據(jù)題意考慮，P在何處時，PE+取到最大值過點E作EHy軸交y軸于H點，則CEH=30°，故CH=，