證明不等式二

1、三、反證法與放縮法三、反證法與放縮法(1)反證法反證法先假設(shè)要證的命題不成立先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn)以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條結(jié)合已知條件件,應(yīng)用公理應(yīng)用公理,定義定義,定理定理,性質(zhì)等性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理進(jìn)行正確的推理,得到得到和命題的條件和命題的條件(或已證明的定理或已證明的定理,性質(zhì)性質(zhì),明顯成立的事實(shí)明顯成立的事實(shí)等等)矛盾的結(jié)論矛盾的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)不正確以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而證明原命題成從而證明原命題成立立,這種方法稱(chēng)為這種方法稱(chēng)為反證法反證法.對(duì)于那些直接證明比較困難對(duì)于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明的命題常常用反證法證明. 21,1, 2, 0, 1中至

2、少有一個(gè)小于中至少有一個(gè)小于試證試證且且已知已知例例xyyxyxyx 211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)小小于于與與矛矛盾盾這這與與已已知知條條件件且且即即都都不不小小于于假假設(shè)設(shè)證證明明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx 0.c0,b0,a:0,abc0,cabcab0,cba, 2 求證求證為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)已知已知例例cba., 0, 0, 0.0.0, 0)(, 0, 0, 00, 0)2(.0,0, 0, 0)1(.00, 0,:所所以以原原命命題題成成立立同同理理可可證證綜綜上上所所述述也也不不可可能能相相矛矛盾盾這

3、這和和已已知知于于是是又又可可得得那那么么由由如如果果不不可可能能矛矛盾盾與與則則如如果果兩兩種種情情況況討討論論和和下下面面分分不不妨妨先先設(shè)設(shè)正正數(shù)數(shù)即即其其中中至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不是是不不全全是是正正數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)證證明明 cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba反證法主要適用于以下兩種情形反證法主要適用于以下兩種情形(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰推出結(jié)論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明如果從正面證明,需要分成多種情形進(jìn)行分類(lèi)討論需要分成多種情形

4、進(jìn)行分類(lèi)討論而從反面進(jìn)行證明而從反面進(jìn)行證明,只研究一種或很少的幾種情形只研究一種或很少的幾種情形.(2)放縮法放縮法證明不等式時(shí)證明不等式時(shí),通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小縮小,可以使不等式中有關(guān)項(xiàng)之間的大小關(guān)系更加明確可以使不等式中有關(guān)項(xiàng)之間的大小關(guān)系更加明確或使不等式中的項(xiàng)得到簡(jiǎn)化而有利于代數(shù)變形或使不等式中的項(xiàng)得到簡(jiǎn)化而有利于代數(shù)變形,從而達(dá)從而達(dá)到證明的目的到證明的目的,我們把這種方法稱(chēng)為我們把這種方法稱(chēng)為放縮法放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有因而放縮法具有較在原靈活性較在原靈活性;另外另外

5、,用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式,關(guān)鍵是放、關(guān)鍵是放、縮適當(dāng)縮適當(dāng),否則就不能達(dá)到目的否則就不能達(dá)到目的,因此放縮法是技巧性較因此放縮法是技巧性較強(qiáng)的一種證法強(qiáng)的一種證法.21, 3 caddbdccacbbdbaaRdcba求證求證已知已知例例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba , 0, : 證明證明baa bab dcc dcd 21 . caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把以上四個(gè)不等式相加把以上四個(gè)不等式相加.111, 4bbaabababa 求證求證是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù)已

6、知已知例例.1111111111110 :bbaababbaababababababababa 證明證明補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題:mccmbbmaamcbaABC :,. 1求求證證為為正正數(shù)數(shù)且且的的三三邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)是是已已知知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf )()(,)(mbaba )()(.),0()(),0,0(1)(:又又上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在易易知知設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證明明)(23,. 2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx 求求證證不不全全為為零零已已知知實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)22 )2(43)2(22222yxyxyxyyxyxyx： 證明證明2,22222xzxzxzzyzyzy 同同理理可可得得)(23)2()2()2(,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，zyx 所以三式相加得所以三式相加得式取不到等號(hào)式取不到等號(hào)故上述三式中至少有一故上述三式中至少有一不全為零不全為零由于由于)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,2222 NkkkkkkkkkkkkkkaaBCCACA且且以以上上如如縮縮應(yīng)應(yīng)用用基基本本不不等等式式進(jìn)進(jìn)行行放放子子或或分分母母在在分分式式中中放放大大或或縮縮小小分分一一些些項(xiàng)項(xiàng)或或加加進(jìn)進(jìn)舍