路徑積分理論

1、路徑積分理論03級(jí)物理學(xué)： 李瓊03級(jí)應(yīng)用物理：劉芳一.引論二.經(jīng)典回顧三.路徑積分的基本思想四.路徑積分的計(jì)算五.從路徑積分到薛定諤方程六.路徑積分的應(yīng)用一.引論量子化的三種主要方式：波動(dòng)力學(xué)，矩陣力學(xué)， 路徑積分。二.經(jīng)典回顧在經(jīng)典力學(xué)中，用坐標(biāo)和動(dòng)量來(lái)描述宏觀粒子在某一時(shí)刻的狀態(tài).在時(shí)空坐標(biāo)中，當(dāng)粒子從時(shí)空點(diǎn)a(r1,t1)到達(dá)時(shí)空點(diǎn)b(r2,t2)時(shí)，a與b兩點(diǎn)之間有許多通道，而宏觀粒子只走使作用量S取極小值的路徑.這就是經(jīng)典力學(xué)中的最小作用量原理. ( , , )abttSL x x t dt0()0dLLSdtxx三.路徑積分的基本思想粒子走各種路徑的可能性都是存在的，對(duì)應(yīng)a、b兩

2、時(shí)空點(diǎn)之間的每條路徑r(t)都有一概率波幅r(t)（ 概率波幅的絕對(duì)值平方r(t)2 反映概率)，對(duì)各路徑均應(yīng)等權(quán)地加以考慮.粒子從時(shí)空點(diǎn)a出發(fā)到達(dá)時(shí)空點(diǎn)b的概率波幅是連接a、b兩點(diǎn)之間所有路徑的概率波幅之和r(t)。每條路徑對(duì)總概率波幅所貢獻(xiàn)的概率是相同的，但是各路徑的概率波幅的相位不同。 ( , , )battS r tL r r t dt概率波的相位與經(jīng)典力學(xué)中作用量S成正比，即( ( )exp( ) )ir tconstS r t粒子從一個(gè)確定的時(shí)空點(diǎn)a出發(fā)，到達(dá)時(shí)空點(diǎn)b的概率波幅等于a、b二點(diǎn)之間沿所有路徑的概率波幅的總和，即K(b,a)就是費(fèi)曼路徑積分理論中的傳播子。t時(shí)刻粒子出現(xiàn)

3、在r的概率( , )( )K b ax t,( , , , ),aaaaar tK r r t tr tdr四.路徑積分的計(jì)算求粒子在某一時(shí)刻在空間某一位置的概率波幅，在費(fèi)曼路徑積分理論中就是求傳播函數(shù)問(wèn)題。由于a、b兩點(diǎn)之間的各種可能的路徑是連續(xù)變化、不可數(shù)的，因此對(duì)a、b兩點(diǎn)之間所有路徑概率波幅求和就成了對(duì)所有連續(xù)變化路徑的積分 ，故稱為路徑積分，即 bai( , )exp(S b,a )( )K b aDx t21101120( , ) lim( , )lim .( )1lim.( ).NNNNNK b aK b ar t drdrdrdrdr drr tAA AA 把時(shí)間分為N個(gè)小段，當(dāng)N足夠大時(shí)每段可以近似為勻速運(yùn)動(dòng)。于是對(duì)不同路徑的積分轉(zhuǎn)化為對(duì)各個(gè)時(shí)間段的坐標(biāo)分別積分。五.從路徑積分到薛定諤方程 , ; ,r tK r t r tr tdr ,; ,r tK r tr tr t dr,; ,exp(, )2ir r r rK r tr tCLt考慮t + ( 0+)時(shí)刻粒子的狀態(tài)（r, t + ）：考慮到 0+，傳播子可以表示成222,2iir tr tVr tr ttmrrr 222,2ir tVr ttm r 把積分變量改為，并把被積函數(shù)對(duì)作Taylor展開(kāi)，保留一極小量得：令即：六.路徑積分的應(yīng)用路徑積分可