利用洛必達(dá)法則來(lái)處理高考中的恒成立問(wèn)題

1、導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則巧解高考?jí)狠S題法則1 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及；(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g(x)0； (3)，那么 =。 法則2 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在與上可導(dǎo)，且g(x)0； (3)，那么 =。 法則3 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g(x)0； (3)，那么 =。利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意： 1.將上面公式中的xa，x換成x+，x-，洛必達(dá)法則也成立。2.洛

2、必達(dá)法則可處理，型。3.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。 4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二高考題處理1.(2010年全國(guó)新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)。（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍 解:（II）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于令(x0),則，令，則，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達(dá)法則知，故綜上，知a的取值范圍為。2（2011年全國(guó)新課標(biāo)理）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（）求、的值；

3、（）如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍。解：（II）由題設(shè)可得，當(dāng)時(shí)，k=0在上為增函數(shù)=0當(dāng)時(shí)，當(dāng)x（1，+）時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)x（1，+）時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)洛必達(dá)法則知，即k的取值范圍為（-，03.已知函數(shù)f(x)=x(1+a)lnx在x=1時(shí)，存在極值。（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若x1，mlnx成立,求正實(shí)數(shù)m的取值范圍解：=g（x）=令h(x)= 令則，令M（x）=r(x)，0,則，r(x)為減，且r(1)=0,則h（x）為減，且h(1)=0,則g(x)為減，這樣，g(x)0），分子r(x)=,(x0, )，擴(kuò)展定義域，求導(dǎo)0，可知，r(x)為定義域內(nèi)增函數(shù)，而r（x）r(0)=0.所以

4、0.為增函數(shù)。則ah(0)-不存在，羅比達(dá)法則可得為1練習(xí)1. 2006年全國(guó)2理 設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍2. 2006全國(guó)1理 已知函數(shù).（）設(shè)，討論的單調(diào)性；（）若對(duì)任意恒有，求的取值范圍.3. 2007全國(guó)1理 4. 設(shè)函數(shù)（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）若對(duì)所有都有，求的取值范圍5. 2008全國(guó)2理 設(shè)函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍 解：（） 當(dāng)（）時(shí)，即；當(dāng)（）時(shí)，即因此在每一個(gè)區(qū)間（）是增函數(shù)，在每一個(gè)區(qū)間（）是減函數(shù)解：（）略（）應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)若，則；若，則等價(jià)于，即則.記， 而.另一方

5、面，當(dāng)時(shí)，因此6. 2008遼寧理 設(shè)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值;是否存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說(shuō)明理由.7 2010新課標(biāo)理 設(shè)函數(shù)=.（）若，求的單調(diào)區(qū)間;（）若當(dāng)x0時(shí)0，求a的取值范圍.8 .2010新課標(biāo)文已知函數(shù).（）若在時(shí)有極值，求函數(shù)的解析式；（）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍. 解：（）略（）應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，也即.記，則.記，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以，從而在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，所以，即有.綜上所述，當(dāng)，時(shí)，成立.9. 2010全國(guó)大綱理 設(shè)函數(shù).（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）設(shè)當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

6、解：（）略（）應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)由題設(shè)，此時(shí).當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即；若，則；若，則等價(jià)于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.10. 2011新課標(biāo)理 已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍.押題 若不等式對(duì)于恒成立，求的取值范圍.解：應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于.記，則.記，則.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且.因此在上單調(diào)遞減，且，故，因此在上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，即有

7、.故時(shí)，不等式對(duì)于恒成立.通過(guò)以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足： 可以分離變量；用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性； 現(xiàn)“”型式子.第三部分：新課標(biāo)高考命題趨勢(shì)及方法1. 高考命題趨勢(shì) 近年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試題逐步做到科學(xué)化、規(guī)范化，堅(jiān)持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，又注重考查進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。為此，高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)接軌，以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為了熱點(diǎn).2.分類討論和假設(shè)反證 許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點(diǎn)考查的題型.這類題目容易讓學(xué)生想到用分離參數(shù)的方法，一部分題用這種方法很湊效，另一部分題在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路分類討論和假設(shè)反證的方法.3.洛必達(dá)法則 雖然這些壓軸題可