2018版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)案新人教B版必修2

1、11. 2.1平面的基本性質(zhì)與推論【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.1.理解平面的基本性質(zhì)與推論， 能運(yùn)用平面的基本性質(zhì)及推論去解決有關(guān)問(wèn)題.2.2.會(huì)用集合語(yǔ)言來(lái)描述點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì)3 3 理解異面直線的概念.ET問(wèn)題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)與推論思考 1 1 直線l與平面a有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P直線I是否在平面a內(nèi)？有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？思考 2 2 觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論?思考 3 3 觀察正方體ABCABCD（如圖所示），平面ABCDf平面BCC有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)B、C嗎？梳理（1 1）平面的基本性質(zhì)平面內(nèi)容作用圖形基本性質(zhì) 1 1如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線

2、上的所有點(diǎn)判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)/2都在這個(gè)平面內(nèi)（即直線在或經(jīng)過(guò)直線）基本性質(zhì) 2 2經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的，有且只有一個(gè) 平面（即 確定一 個(gè)平面）確定平面及兩個(gè)平面重合的依據(jù)/rl基本性質(zhì) 3 3如果不重合的兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線判斷兩平面相 交，線共點(diǎn)，點(diǎn) 共線的依據(jù)（2 2）平面基本性質(zhì)的推論推論 1 1 經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)， _平面.推論 2 2:經(jīng)過(guò)兩條 _ 直線，有且只有一個(gè)平面.推論 3 3:經(jīng)過(guò)兩條 _ 直線，有且只有一個(gè)平面.知識(shí)點(diǎn)二 點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系及表示思考 直線和平面都是由點(diǎn)組成的，聯(lián)系集合的觀點(diǎn)，點(diǎn)和直線、平面

3、的位置關(guān)系，如何用 符號(hào)來(lái)表示？直線和平面呢？梳理 點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及表示文字語(yǔ)言付號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言A在1上AlA在1夕卜A? ?l AIA在a內(nèi)A a/ .沖/A在a外A? ?a/7l在a內(nèi)1? ?al在a外l? ?ai、/載人3I,m相交于AInm= AI-前I,a相交于AIn a =A1A*八乂a,3相交于1a n 3 =I5*知識(shí)點(diǎn)三共面與異面直線反思與感悟 (1)(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示.(2)(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的

4、區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練 1 1 根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖思考如圖，直線AB與平面a相交于點(diǎn)B,點(diǎn)A在a外，那么直線I與直線AB能不能在同一個(gè)平面內(nèi)？為什么？直線I與直線AB的位置關(guān)系是怎樣的?梳理共面與異面直線(1)(1) 共面1概念：空間中的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線，都在 _ 內(nèi).2特征：共面的直線 _或者_(dá) .(2)(2) 異面直線1概念：既不_又不_ 的直線.2判斷方法：與一平面相交于一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi) _題型探究-的 直 線 是 異 面 直類型一 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號(hào)表示例 i i 如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.(

5、1)4形：AC a ,B? ?a；(2)(2)l? ?a,mA a=A,A? ?l; (3)(3)平面ABDT平面BDC= BD,平面AB平面AD&AC類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用 命題角度 1 1 點(diǎn)、線共面問(wèn)題 例 2 2 如圖，已知：a? ?a，b? ?a，aAb=A, PCb,PQ/ a,求證：PC? ?a. .引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi).反思與感悟證明多線共面的兩種方法(1)(1) 納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi).(2)(2) 重合法：先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線也在另一個(gè)

6、平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合.跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1AI2=A, l2Al3=B, l1Al3=C.求證：直線l1，l2，l3在同 一平面內(nèi).命題角度 2 2 點(diǎn)共線與線共點(diǎn)問(wèn)題 例 3 3 如圖所示，在正方體ABCBABGD中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA的中點(diǎn).求證：CE5DF,DA三線交于一點(diǎn).反思與感悟(1)(1)點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用基本性質(zhì)3 3,即兩相交平面交線的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直 線，然后證明其他點(diǎn)也在其上.(2)(2)三線共點(diǎn)：證明三線共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線， 然

7、后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線， 證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線共點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練 3 3 已知ABC在平面a夕卜，其三邊所在的直線滿足ABAa=P,BCTla=Q, ACTla=R,如圖所示求證：P, Q R三點(diǎn)共線.類型三異面直線的判定例 4 4 如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，如果將它還原為正方體，那么段所在的直線是異面直線的有多少對(duì)？試以其中一對(duì)為例進(jìn)行證明.DC M/2 A8X?反思與感悟判定兩條直線是異面直線的方法NC DE AF BM這四條線6（1 1）證明兩條直線既不平行又不相交.（2 2）重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)

8、與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線.用符號(hào)語(yǔ)言可表示為A? ?a,Ba,l? ?a,B? ?l? ?AB與I是異面直線（如圖）.跟蹤訓(xùn)練 4 4 分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是A A.異面D.D.以上都有可能甌當(dāng)堂訓(xùn)練A A.ABD. B1C1B.B.平行C.C.相交1 1 .若A平面a,B平面a,C直線AB則（）A A.C aB.B.C? ?aC. AB? ?aD. ABAa =C2 2 .平行六面體ABCA1B1C1D中，既與AB共面也與CC共面的棱的條數(shù)為（）A A. 3 3B.B. 4 4C.C. 5 5D.D. 6 63 3.如圖所示，在長(zhǎng)方體A

9、BCD- ABCD中，與AA異面的是（刁./ 1C. DD4 4 .線段AB在平面內(nèi)，則直線AB與平面a的位置關(guān)系是5 5.如圖，已E分別是ABC的邊AC BC上的點(diǎn)，平面a經(jīng)過(guò)D, E兩點(diǎn)，若直線AB與平面a的交點(diǎn)是P,則點(diǎn)P與直線DE的位置關(guān)系是B. BB7規(guī)律與方法81 1解決立體幾何問(wèn)題首先應(yīng)過(guò)好三大語(yǔ)言關(guān)， 即實(shí)現(xiàn)這三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換， 正確理解集合 符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)際意義，恰當(dāng)?shù)赜梅?hào)語(yǔ)言描述圖形語(yǔ)言，將圖形語(yǔ)言用文字語(yǔ) 言描述出來(lái)，再轉(zhuǎn)換為符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言在轉(zhuǎn)換的時(shí)候，要注意符號(hào)語(yǔ)言所代 表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛2 2在處理點(diǎn)線共面、 三點(diǎn)共線及三線

10、共點(diǎn)問(wèn)題時(shí)初步體會(huì)三個(gè)公理的作用， 突出先部分再整 體的思想3 3異面直線是既不平行也不相交的直線9合案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考 1 1 前者不在，后者在.思考 2 2 不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.思考 3 3 不是，平面ABCDf平面BCCB相交于直線BC梳理(1)(1)兩點(diǎn)平面內(nèi)平面三點(diǎn)不共線的三點(diǎn)一個(gè)(2)(2)有且只有一個(gè)相交平行知識(shí)點(diǎn)二思考 點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號(hào)“ ”或“？”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號(hào)“ ？ ”或“？”表示.知識(shí)點(diǎn)三思考 不可能在同一個(gè)平面內(nèi)，因?yàn)槿绻谕粋€(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)A就在a內(nèi)，這與點(diǎn)A在a外矛盾由圖知，直線I與直線AB沒(méi)有公共點(diǎn)，所

11、以它們不相交，直線l與直線AB不可能 平行，否則它們就會(huì)同在平面a內(nèi)，所以直線I與直線AB既不相交也不平行.梳理(1)(1)同一平面 相交平行(2)(2)平行相交不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)題型探究例 1 1 解 在(1)(1)中，aQB=I,an a =A,aQB=B在中，a n 3=I,a? ?a,b? ?3,anI=P,bnI=p.跟蹤訓(xùn)練 1 1 解(1)(1)點(diǎn)A在平面a內(nèi)，點(diǎn)B不在平面a內(nèi)，如圖.直線I在平面a內(nèi)，直線m與平面a相交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A不在直線I上，如圖.平面ABD與平面BDC相交于BD平面ABC與平面ADC相交于AC如圖.例 2 2 解 因?yàn)镻Q/ a，所以PQ與a確定一個(gè)平面3. .所

12、以直線a? ?3，點(diǎn)P3. .因?yàn)镻b, b? ?a，所以Pa. .又因?yàn)閍? ?a，所以a與3重合，所以PQa. .引申探究解已知：a/b/c，Ina=A，Inb=B, Inc=C求證：a，b，c和I共面.10證明：如圖，a/b, a與b確定一個(gè)平面a.lAa=A lClb=B,.A a ,B a .又Al,Bl, l? ?a. b/c,.b與c確定一個(gè)平面3,同理I? ?3. .平面a與3都包含I和b,且bAl=B,由推論 2 2 知：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面， 平面a與平面3重合，二a,b, c和I共面. 跟蹤訓(xùn)練 2 2 證明方法一（納入平面法）/llAl2=A,.I1和I2確

13、定一個(gè)平面a. .TI2Al3=B,.B12. .又T l2? ?a,Ba. .同理可證Ca. .TB13,Cl3,l3? ?a. . 直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).方法二（輔助平面法）TliAl2=A,.I1和l2確定一個(gè)平面a. .Tl2AI3=B,.I2,I3確定一個(gè)平面3. .TA12,I2? ?a , A a. .TA12,I2? ?3 , A 3. .同理可證Ba,B3,Ca,C3. .不共線的三個(gè)點(diǎn)A, B, C既在平面a內(nèi)，又在平面3內(nèi).平面a和3重合，即直線I1,丨2,I3在同一平面內(nèi).TE為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA的中點(diǎn),EF綊*AB.又AB綊DC,1 111 EF綊 2

14、2DC, E,F,D,C四點(diǎn)共面，DF與CE相交，設(shè)交點(diǎn)為P.又DF? ?平面ADDACE?平面ABCDP為平面ADDA與平面ABC啲公共點(diǎn).又平面ADDAP平面ABCD= DA根據(jù)基本性質(zhì) 3 3,可得PDA即CE DF、DA相交于一點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練 3 3 證明 方法一 /ABAa=P,PAB P 平面a. .又AB? ?平面ABC - P平面ABC由基本性質(zhì) 3 3 可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面a的交線上，同理可證Q R也在平面ABC與平面a的交線上.P、Q R三點(diǎn)共線.方法二 /APA AR= A,直線AP與直線AR確定平面APR又ABHa=P, ACA a=R,平面APRA平面a=PR / B 平面APR C 平面APRBC? ?平面APR Q BCQ平面APR又Qa,Q PRP、Q R三點(diǎn)共線.例 4 4 解 將展開(kāi)圖還原為正方體（如圖）.NC與DE NC與AF, NC與BM DE與AF,DE與BM AF與BM都是異面直線，共有 6 6 對(duì).以NC與AF是異面直線為例證明如下: 方法一連接BE若NC/ AF,則由NC/ BE可知AF/BE這與AF與BE相交矛盾.故NC與AF不平行.12若NC與AF相交，則平面ABFE與平面CDNM有公共點(diǎn)，這與正方體的性質(zhì)矛盾故NC與AF不相交.所以NC與A