廣東省人教版高中數(shù)學(xué)必修2第二章知識(shí)點(diǎn)與典型試題分析

1、 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第9講 §2.1.1 平面¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠從日常生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)中所說的“平面”；理解平面的無限延展性；正確地用圖形和符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面以及它們之間的關(guān)系；初步掌握文字語言、圖形語言與符號(hào)語言三種語言之間的轉(zhuǎn)化；理解可以作為推理依據(jù)的三條公理.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 點(diǎn)在直線上,記作；點(diǎn)在平面內(nèi),記作；直線在平面內(nèi),記作.2. 平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號(hào)語言”、“圖形語言”列表如下：公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一

2、個(gè)平面.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.符號(hào)語言3.公理2的三條推論：推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； 推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.¤例題精講：【例1】如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面？（P56 A組5題）解：根據(jù)公理2的推論3，可知兩條平行直線確定一個(gè)平面，又由公理1可知，與兩條平行直線相交的第三條直線在這個(gè)平面內(nèi)，所以一條直線與兩條平行直線都相交時(shí)，這三條直線是共面的關(guān)系.【例2】空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC

3、、CD、DA上的點(diǎn)，已知EF和GH交于P點(diǎn)，求證：EF、GH、AC三線共點(diǎn). （同P58 B組3題）解：PEF，EF面ABC，P面ABC. 同理P面ADC. P在面ABC與面ADC的交線上，又 面ABC面ADC=AC， PAC，即EF、HG、AC三線共點(diǎn).【例3】求證：兩兩相交且不過同一個(gè)點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).已知：直線兩兩相交，交點(diǎn)分別為，求證：直線共面. 證明：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面 因?yàn)锳，B，所以AB 同理BC ，AC .所以AB，BC，CA三直線共面點(diǎn)評(píng)：先依據(jù)公理2, 由不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再依據(jù)公理1, 證三條直線在平面內(nèi).

4、 注意文字語言給出的證明題，先根據(jù)題意畫出圖形，然后給出符號(hào)語言表述的已知與求證. 常根據(jù)三條公理，進(jìn)行“共面”問題的證明.【例4】在正方體中，（1）與是否在同一平面內(nèi)？（2）點(diǎn)是否在同一平面內(nèi)？（3）畫出平面與平面的交線，平面與平面的交線. 解：（1）在正方體中， 由公理2的推論可知，與可確定平面，與在同一平面內(nèi). （2）點(diǎn)不共線，由公理3可知，點(diǎn)可確定平面， 點(diǎn)在同一平面內(nèi). （3）， 點(diǎn)平面，平面，又平面，平面， 平面平面，同理平面平面點(diǎn)評(píng)：確定平面的依據(jù)有公理2（不在同一條直線上的三點(diǎn)）和一些推論（兩條平行直線、兩條相交直線、直線和直線外一點(diǎn)）. 對(duì)幾條公理的作用，我們必須十分熟練.第

5、9練 §2.1.1 平面基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面（ C ）. A相交 B重合 C相交或重合 D以上都不對(duì)2下列推斷中，錯(cuò)誤的是（ C ）.ABCD，且A、B、C不共線重合3E、F、G、H是三棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點(diǎn)，延長(zhǎng)EF、HG交于P，則點(diǎn)P（B ）. A. 一定在直線AC上 B. 一定在直線BD上 C. 只在平面BCD內(nèi) D. 只在平面ABD內(nèi)4用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，其截面是一個(gè)多邊形，則這個(gè)多邊形邊數(shù)最多是（ C ）. A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 5下列說法中正確的是（ D ）. A. 空間不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B. 空

6、間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面 C. 空間有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形 D. 和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)6給出下列說法： 梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面； 三條平行直線共面； 有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合； 每?jī)蓷l都相交并且交點(diǎn)全部不同的四條直線共面. 其中說法正確的序號(hào)依次是 . 7已知空間四點(diǎn)中無任何三點(diǎn)共線，那么這四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是 . 4能力提高8正方體中,E、F、G、H、K、L分別是 的中點(diǎn). 求證：這六點(diǎn)共面證明：連結(jié)和，因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以 又 矩形中，所以 ，所以 可確定平面，所以 共面，同理 ，故 共面又 平面與平面都經(jīng)過不共線的三點(diǎn)，故 平面與平面重合

7、，所以E、F、G、H、K、L共面于平面同理可證，所以，E、F、G、H、K、L六點(diǎn)共面（證明共面問題常有如下兩個(gè)方法：直接法：先確定一個(gè)平面，再證明其余元素均在這個(gè)平面上；間接法：先證明這些元素分別在幾個(gè)平面上，再證明這些平面重合）9（1）在平面外，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線. （2）已知四邊形ABCD中，ABCD，四條邊AB，BC，DC，AD（或其延長(zhǎng)線）分別與平面相交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，求證：四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線. 證明：（1）根據(jù)公理2易知確定平面，且與有交線l，根據(jù)公理3易知，P，Q，R三點(diǎn)都在直線l上，即三點(diǎn)共線.（2）ABCD，AB，CD確定一個(gè)平面，易知AB，BC，DC，AD都在

8、內(nèi)，由平面的性質(zhì)可知四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都在上，因而，E，G，G，H必都在平面與的交線上，所以四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線.探究創(chuàng)新10在一封閉的正方體容器內(nèi)裝滿水，M，N分別是AA1與C1D1的中點(diǎn)，由于某種原因，在D，M，N三點(diǎn)處各有一個(gè)小洞，為使此容器內(nèi)存水最多，問應(yīng)將此容器如何放置？此時(shí)水的上表面的形狀怎樣？解：使過三點(diǎn)M，N，D的平面成為水平面時(shí)，容器內(nèi)存水最多，至于水表面的形狀，實(shí)質(zhì)上就是過M，N，D三點(diǎn)所作正方體的截面的形狀. 連結(jié)DM并延長(zhǎng)DM交D1A1的延長(zhǎng)線于P，則點(diǎn)P既在截面內(nèi)又在底面A1B1C1D1內(nèi)，連結(jié)PN交A1B1于E，連ME，ND，則過M，N，D的截面就是四邊形DMEN

9、，易證MEDN且MEDN，因而它是一個(gè)梯形.第10講 §2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握兩條異面直線所成角的定義及垂直.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 空間兩條直線的位置關(guān)系：2. 已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）. 所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作. 求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)

10、平移定角計(jì)算.¤例題精講：【例1】已知異面直線a和b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a、b所成角都是30°的直線有且僅有（ ）. A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條解：過P作a，b，若Pa，則取a為，若Pb，則取b為這時(shí)，相交于P點(diǎn)，它們的兩組對(duì)頂角分別為50°和130°. 記，所確定的平面為，那么在平面內(nèi)，不存在與，都成30°的直線 過點(diǎn)P與，都成30°角的直線必在平面外，這直線在平面的射影是，所成對(duì)頂角的平分線其中射影是50°對(duì)頂角平分線的直線有兩條l和，射影是130°對(duì)頂角

11、平分線的直線不存在故答案選B.【例2】如圖正方體中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、A1C1與EF的交點(diǎn). （1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若A1C與面DBFE交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.證明：（1） 正方體中，. 又 中，E、F為中點(diǎn)， . , 即D、B、F、E四點(diǎn)共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三點(diǎn)共線【例3】已知直線a/b/c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面.證明：因?yàn)閍/b，由公理2的推論，存在平面，使得.又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，.假設(shè)，則, 在平面內(nèi)過

12、點(diǎn)C作，因?yàn)閎/c，則，此與矛盾. 故直線.綜上述，a、b、c、d四線共面.點(diǎn)評(píng)：證明一個(gè)圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件. 此例拓展的證明先構(gòu)建出一個(gè)平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就是證明問題的一種反證法的思路.【例4】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是AD、AA1的中點(diǎn).（1）求直線AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直線AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如圖，連結(jié)DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的銳角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45°， AB1 和C

13、C1所成的角是45°.（2）如圖，連結(jié)DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直線AB1和EF所成的角. A1DC1是等邊三角形， A1DC1=60º，即直線AB1和EF所成的角是60º.點(diǎn)評(píng)：求解異面直線所成角時(shí)，需緊扣概念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩異面直線成角問題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題，運(yùn)用化歸思想將難化易. 解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點(diǎn)、平移、定角、計(jì)算的步驟，逐步尋找出解答思路.第10練 §2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直

14、線間的位置關(guān)系是（ D ）. A. 異面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能2教室內(nèi)有一把尺子，無論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該直尺所在直線（ B ）.A平行 B垂直 C相交但不垂直 D異面3兩條直線a,b分別和異面直線c, d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（ D ）.A. 一定是異面直線 B. 一定是相交直線C. 可能是平行直線 D. 可能是異面直線，也可能是相交直線4把兩條異面直線稱作“一對(duì)”，在正方體的十二條棱中，異面直線的對(duì)數(shù)為（ B ）.A. 12 B. 24 C. 36 D. 485正方體中，AB的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)為N，異面直線 與CN所成的角是（ B ）.A30&

15、#176; B90° C45° D60°EAFBCMND6如圖，正方體中，直線與所成角為_度. . 60°7右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中： BM與ED平行； CN與BE是異面直線； CN與BM成60º角； DM與BN垂直. 以上四個(gè)說法中，正確說法的序號(hào)依次是 . 能力提高8已知空間四邊形ABCD各邊長(zhǎng)與對(duì)角線都相等，求AB和CD所成的角的大小. 解：分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P 、M 、N . 連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PNAB，PMCD，于是MPN就是異面直線AB和CD成的角，如右圖所示.連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2，

16、 PM=PN=1. 而AN=DN=，則MNAD，AM=1，得MN=， MN2=MP2+NP2，MPN=90°，即異面直線AB、CD成90°角.9空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，已知EF和GH交于P點(diǎn)，求證：EF、GH、AC三線共點(diǎn). 證明：PEF，EF面ABC，P面ABC，同理P面ADC，P在面ABC與面ADC的交線上，又面ABC面ADC=AC，PAC，即EF、HG、AC三線共點(diǎn).探究創(chuàng)新10設(shè)異面直線a與b所成角為50°，O為空間一定點(diǎn)，試討論，過點(diǎn)O與a、b所成的角都是的直線l有且僅有幾條?解：過點(diǎn)O作a1a，b1b，則

17、相交直線a1、b1確定一平面. a1與b1夾角為50°或130°，設(shè)直線OA與a1、b1均為角，故當(dāng)<25°時(shí)，直線l不存在；當(dāng)=25°時(shí)，直線l有且僅有1條；當(dāng)25°<<65°時(shí)，直線l有且僅有2條；當(dāng)=65°時(shí)，直線l有且僅有3條；當(dāng)65°<<90°時(shí)，直線l有且僅有4條；當(dāng)=90°時(shí)，直線l有且僅有1條.第11講 §2.1.3 直線與平面、平面與平面位置關(guān)系¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解直線與平面的三種位置關(guān)系，理解直線在平面外的概念，了解平面與平面的兩

18、種位置關(guān)系.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（2）直線與平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直線與平面平行（沒有公共點(diǎn)）. 分別記作：；.2. 兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）；相交（有一條公共直線）.分別記作；.¤例題精講：【例1】已知空間邊邊形ABCD各邊長(zhǎng)與對(duì)角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小. 解：分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P、M、N連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PNAB，PMCD，于是MPN就是異面直線AB和CD成的角（如圖所示）.連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=

19、，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90°.異面直線AB、CD成90°角.【例2】在空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD的中點(diǎn)，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解：四邊形EFGH是平行四邊形， =2=.ABCDEFGH【例3】已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且.求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn). 證明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分別是AB和CD的中點(diǎn)， EHBD.又 ， FGBD. EH

20、FG. 所以，E、F、G、H四點(diǎn)共面.（2）由（1）可知，EHFG ，且EHFG，即直線EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)P. AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)， 由公理3知PAC. 所以，三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：一般地，證明三線共點(diǎn)，可證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【例4】如下圖，設(shè)ABC和A1B1C1的三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，且= .試求的值. 解：依題意，因?yàn)锳A1、BB1、CC1相交于一點(diǎn)O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1

21、C1.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABCA1B1C1，所以=（）2=.點(diǎn)評(píng)：利用平移角定理，可證明空間兩個(gè)角相等或兩個(gè)三角形相似、全等；利用平行公理，可證明空間兩條直線平行，從而解決相關(guān)問題.第11練 §2.1.3 直線與平面、平面與平面位置關(guān)系基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1直線與平面不平行，則（ C ）. A. 與相交 B. C. 與相交或 D. 以上結(jié)論都不對(duì)2正方體各面所在平面將空間分成（ D ）個(gè)部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 273若兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)（ D ）. A. 有限個(gè) B. 無限個(gè)C.

22、沒有 D. 沒有或無限個(gè)4E、F、G、H是棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點(diǎn)，延長(zhǎng)EF、HG交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P（ B ）. A. 一定在直線AC上 B. 一定在直線BD上 C. 只在平面BCD內(nèi) D. 只在平面ABD內(nèi)5一個(gè)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等且不為零，則這兩個(gè)平面（ D ）. A. 平行B. 相交C. 平行或垂合D. 平行或相交6若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，則這條直線與另一平面的位置關(guān)系是 . 平行、在平面內(nèi)7一個(gè)平面把空間分成 部分，兩個(gè)平面可以把空間分成 部分，三個(gè)平面可以把空間分成 部分2；3、4； 4、6、7、8.能力提高8A是BCD平面外的

23、一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，（1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角.解：（1）證明：用反證法.設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾. 故直線EF與BD是異面直線.（2）取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角.在RtEGF中，求得FEG=45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.9已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，

24、F、G分別是邊BC、DC的三等分點(diǎn)（如右圖），求證：（1）對(duì)角線AC、BD是異面直線；（2）直線EF和HG必交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)在AC上.證明：（1）假設(shè)對(duì)角線AC、BD在同一平面內(nèi)，則A、B、C、D都在平面內(nèi)，這與ABCD是空間四邊形矛盾，AC、BD是異面直線.（2）E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)， EHBD.又F、G分別是BC、DC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)GBD.EHFG，且EHFG. FE與GH相交.設(shè)交點(diǎn)為O，又O在GH上，GH在平面ADC內(nèi)，O在平面ADC內(nèi).同理，O在平面ABC內(nèi). 從而O在平面ADC與平面ABC的交線AC上.探究創(chuàng)新10空間四邊形ABCD中，P、Q、R、H分別是AB、BC、CD、

25、DA的中點(diǎn). （1）求證：四邊形PQRH是平行四邊形； （2）若AC=BD，則四邊形PQRH是什么四邊形？（3）若ACBD，則四邊形PQRH是什么四邊形？（4）空間四邊形ABCD滿足什么條件時(shí)，PQRH是正方形？解：（1）在ABD中，P、H分別為AB、AD的中點(diǎn)，即PH為中位線.同理 . 四邊形PQRH為平行四邊形（2）在ABC中，P、Q為AB、BC中點(diǎn)，PQAC， 又PHBD，AC=BD. PH=PQ. 平行四邊形PQRH為菱形.（3） ACBD， 異面直線AC與BD所成角為直角. PHBD，PQAC, HPQ為AC與BD所成的角.HPQ=90°, 即四邊形PQRH為矩形（4）由（

26、2）、（3）的證明可知，當(dāng)AC=BD且ACBD時(shí)，四邊形PQRH為正方形.第12講 §2.2.1 直線與平面平行的判定¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的判定，掌握直線與平面平行判定定理，掌握轉(zhuǎn)化思想“線線平行線面平行”.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 定義：直線和平面沒有公共點(diǎn)，則直線和平面平行.2. 判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行. 符號(hào)表示為：. 圖形如右圖所示.¤例題精講：【例1】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為AB、PD的

27、中點(diǎn)，求證：AF平面PEC證明：設(shè)PC的中點(diǎn)為G，連接EG、FG. F為PD中點(diǎn)， GFCD且GF=CD. ABCD， AB=CD， E為AB中點(diǎn)， GFAE， GF=AE， 四邊形AEGF為平行四邊形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC、C1D1的中點(diǎn). 求證：EF平面BB1D1D. 證明：連接AC交BD于O，連接OE，則OEDC， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F為D1C1的中點(diǎn)， OED1F， OE=D1F， 四邊形D1FEO為平行四邊形. EFD1O. 又 EF平面B

28、B1D1D， D1O平面BB1D1D， ABC D E F GM O EF平面BB1D1D.【例3】如圖，已知、分別是四面體 的棱、的中點(diǎn)，求證：平 面. 證明：如右圖，連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，在中，、分別是、中點(diǎn)， ，為中點(diǎn)， 為中點(diǎn)，在中，、為、中點(diǎn)， ，又平面，平面， 平面.點(diǎn)評(píng)：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了. 注意適當(dāng)添加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用.【例4】如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)（1）求證：MN/平面PAD；（2）若，求異面直線PA與MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH，由

29、N是PC的中點(diǎn)， NH. 由M是AB的中點(diǎn)， NHAM， 即AMNH為平行四邊形. . 由， .（2） 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON， OMBC，ONPA， 所以就是異面直線PA與MN所成的角，且MONO.由，, 得OM=2，ON=所以，即異面直線PA與MN成30°的角點(diǎn)評(píng)：已知中點(diǎn)，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行. 求兩條異面直線所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得.第12練 §2.2.1 直線與平面平行的判定基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知直線、, 平面, , , 那么與平面的關(guān)系是（ C ）. A. B.

30、C. 或 D. 與相交2以下說法（其中a，b表示直線，a表示平面） 若ab，bÌa，則aa 若aa，ba，則ab 若ab，ba，則aa 若aa，bÌa，則ab 其中正確說法的個(gè)數(shù)是（ A ）. A. 0個(gè) B. 1個(gè)C. 2個(gè) D. 3個(gè)3已知a，b是兩條相交直線，aa，則b與a的位置關(guān)系是（ D ）. A. ba B. b與a相交C. bD. ba或b與a相交4如果平面a外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面a的距離都是a，則直線AB和平面a的位置關(guān)系一定是（ C ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. ABÌa5如果點(diǎn)M是兩條異面直線外的一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與a

31、，b都平行的平面（ A ）. A. 只有一個(gè)B. 恰有兩個(gè)C. 或沒有，或只有一個(gè)D. 有無數(shù)個(gè)6已知P是正方體ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一點(diǎn)，則在正方體的12條棱中，與平面ABP平行的是 . DC、D1C1、A1B17過三棱錐A-BCD的棱AB、BC、CD的中點(diǎn)M、N、P作平面MNP，三棱錐的六條棱中與平面MNP平行的是 ；若AC與BD成90°角，AC=6，BD=8，則截面四邊形的面積是 . BD、AC； 12.能力提高8平面a與ABC的兩邊AB、AC分別交于D、E，且ADDB=AEEC，求證：BC平面a.證明：在ABC中， ADDB=AEEC， .又 ， .9P是平

32、行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為PB的中點(diǎn)，O為AC，BD的交點(diǎn). （1）求證：EO平面PCD ； （2）圖中EO還與哪個(gè)平面平行？解：（1）證明： 在平行四邊形ABCD中，O為AC，BD的交點(diǎn)， O為BD的中點(diǎn). 又 在PBD中，E為PB的中點(diǎn)， EO/PD. ， EO平面PCD .（2）圖中EO還與平面PAD平行.探究創(chuàng)新10三角形的三條中線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為三角形的重心，且到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍. 這一結(jié)論叫做三角形的重心定理.在四面體ABCD中，M、N分別是面ACD、BCD的重心，在四面體的四個(gè)面中，與MN平行的是哪幾個(gè)面？試證明你的結(jié)論.解：連結(jié)AM并延長(zhǎng)，交CD于

33、E，連結(jié)BN并延長(zhǎng)交CD于F，由重心性質(zhì)可知，E、F重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，由=得MNAB，因此，MN平面ABC且MN平面ABD.第13講 §2.2.2 平面與平面平行的判定¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面平行的判定，掌握兩個(gè)平面平行的判定定理與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想.¤知識(shí)要點(diǎn)：面面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行用符號(hào)表示為：.¤例題精講：【例1】如右圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1

34、D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP平面A1BD.證明：連結(jié)B1D1，P、N分別是D1C1、B1C1的中點(diǎn)， PNB1D1.又B1D1BD，PNBD. A1AB1BC1CD1DGEF又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】正方體ABCDA1B1C1D1中（1）求證：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1平面FBD 證明：（1）由B1BDD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，B1D1BD，又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A

35、1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中點(diǎn)G，AEB1G從而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD 【例3】已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點(diǎn)M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面MNQ平面PBC. 證明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD為平行四邊形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC

36、，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC. 由MQNQ=Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.點(diǎn)評(píng)：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個(gè)平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行. 一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行.【例4】直四棱柱中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱，M、N分別為A1B1、A1D1的中點(diǎn)，E、F分別是B1C1、C1D1的中點(diǎn). （1）求證：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN與平面EFDB的距離. 證：（1）連接,分別交MN、EF于P、Q. 連接AC交BD于O，連接AP、OQ.由已知可得， .由已知可得，

37、且. , . 平面AMN平面EFDB.解：（2）過作平面AMN與平面EFDB的垂線，垂足為H、H，易得.由, 根據(jù), 則 ，解得. 所以，平面AMN與平面EFDB的距離為.點(diǎn)評(píng)：第（1）問證面面平行，轉(zhuǎn)化途徑為“線線平行線面平行面面平行”. 第（2）問求面面距離，巧妙將中間兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為平面另一側(cè)某點(diǎn)到平面距離的比例，然后利用等體積法求距離. 等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想在本題中十分突出，我們可以用同樣的轉(zhuǎn)化思維，將此例中的兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到平面ABC的距離.第13練 §2.2.2 平面與平面平行的判定基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1下列說法正確的是（ D ）. A. 一條直線和一個(gè)平面平行，它就和

38、這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線平行 B. 平行于同一平面的兩條直線平行 C. 如果一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行 D. 如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行2在下列條件中，可判斷平面與平行的是（ D ）. A. 、都平行于直線l B. 內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等 C. l、m是內(nèi)兩條直線，且l，m D. l、m是兩條異面直線，且l，m，l，m3下列說法正確的是（ D ）. A. 垂直于同一條直線的兩條直線平行 B. 平行于同一個(gè)平面的兩條直線平行 C. 平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行 D. 平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行4經(jīng)過平面外的兩點(diǎn)作該平面

39、的平行平面可以作（ C ）. A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 0個(gè)或1個(gè)D. 1個(gè)或2個(gè)5不在同一直線上的三點(diǎn)A，B，C到平面的距離相等，且A，則（ B ）. A. 平面ABC B. ABC中至少有一邊平行于 C. ABC中至多有兩邊平行于 D. ABC中只可能有一條邊與平行6已知直線a、b，平面、, 且a/ b，a/，/，則直線b與平面的位置關(guān)系為 直線b/平面或直線b在平面內(nèi)；.7已知a、b、c是三條不重合直線，a、b、g是三個(gè)不重合的平面，下列說法中： ac，bcab； ag，bgab； ca，cbab； ga，baab； ac，acaa； ag，agaa.其中正確的說法依次是 . （1）、（

40、4）.能力提高8在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q分別是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG平面MNQ. 證明：由已知EFAB1，AB1DC1，DC1QN，EFQN，同理FGMQ，所以，平面EFG平面MNQ.9兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，過M作MHAB于H，求證：（1）平面MNH/平面BCE；（2）MN平面BCE.證明：（1）正方形ABCD中， MHAB， 則MHBC， .連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得， NH/AF/BE.由 MH/BC，NH/BE， 平面M

41、NH/平面BCE. （2） 平面MNH，平面MNH/平面BCE， MN平面BCE.探究創(chuàng)新10P是所在平面外一點(diǎn)，分別是的重心，（1）求證：平面; (2)求.證明：分別連PA，PB，PC并延長(zhǎng)分別交BC，AC，AB于D，E，F(xiàn). 則D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(diǎn). ， AC/FD.同理, 平面.(2) ， , 又DE=AB. ， 易證. =1:9.第14講 §2.2.3 直線與平面平行的性質(zhì)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的性質(zhì)，掌握直線和平面平行的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化.

42、¤知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行. 即：.¤例題精講：【例1】經(jīng)過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求證：E1EB1B證明： ， .又 ， .則.【例2】如圖，求證：.ABCD證明：連結(jié)，直線和可以確定一個(gè)平面，記為， 又， 四邊形為平行四邊形， .【例3】如右圖，平行四邊形EFGH的分別在空間四邊形ABCD各邊上，求證：BD/平面EFGH.證明： ,平面，平面， .又 ，, .又 , .點(diǎn)評(píng)：轉(zhuǎn)化思維鏈?zhǔn)恰坝梢阎€線平行線面平行線線平行線面平行”.

43、此題屬于教材（必修人教A版）中第64頁的3題的演變, 同樣還可證平面.【例4】已知直線平面，直線平面，平面平面=，求證dgba_b_a證明：經(jīng)過作兩個(gè)平面和，與平面和分別相交于直線和， 平面，平面， ，又 平面，平面， 平面，又 平面，平面平面=， ， 點(diǎn)評(píng)：利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達(dá)到ab的目的，這里借用已知條件中的a及a來實(shí)現(xiàn)證線線平行，可由公理4進(jìn)行平行傳遞，也可以由線面平行的性質(zhì)及后面的面面平行的性質(zhì)得到線線平行. 這里采用作輔助平面，利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行.第14練 §2.2.3 直線與平面平行的性質(zhì)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1已知直線l/平面，m為平面內(nèi)任一

44、直線，則直線l與直線m的位置關(guān)系是（ D ）. A. 平行B. 異面 C. 相交D. 平行或異面2梯形ABCD中AB/CD，AB平面，CD平面，則直線CD與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是（ B ）. A. 平行 B. 平行和異面 C. 平行和相交 D. 異面和相交3一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是（ C ）. A. 異面B. 相交C. 平行D. 不能確定4若直線、b均平行于平面，則與b的關(guān)系是（ D ）. A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 平行或相交或異面5已知l是過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的

45、交線，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ D ）. A. D1B1l B. BD/平面AD1B1 C. l平面A1D1B1 D. lB1 C16已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是的面的中心，點(diǎn)Q是面的對(duì)角線上一點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)為 . 7設(shè)不同的直線a,b和不同的平面，給出下列四個(gè)說法： a，b，則ab； a, a, 則；FDBCHGEA ，則； ab,b,則a. 其中說法正確的序號(hào)依次是 . 能力提高8如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形. （1）求證：CD平面EFGH；（2）如果ABCD，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH的面積.解：（1）證明： EFGH是平行四邊形， E

46、F/GH，又 EF平面BDC， GH平面BDC， EH/平面BDC.ABCDMN EF平面ADC，平面ADC平面BDC=DC， EF/DC， CD平面EFGH.（2）截面EFGH的面積為 .NABCDMNNQN9如右圖，直線和是異面直線，求證：.證明：如圖，連結(jié)交平面于點(diǎn)，連結(jié)、.，.探究創(chuàng)新10如下圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，點(diǎn)E、M分別為A1B、C1C的中點(diǎn)，過點(diǎn)A1、B、M三點(diǎn)的平面A1BMN交C1D1于點(diǎn)N.（1）求證：EM平面A1B1C1D1； （2）設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成兩個(gè)幾何體的體積分別為V1、V2（V1V2，求V1V2的值.解：（1）證明

47、：設(shè)A1B1的中點(diǎn)為F，連結(jié)EF、FC1.E為A1B的中點(diǎn)，EFB1B. 又C1MB1B，EFMC1.四邊形EMC1F為平行四邊形.EMFC1.EM平面A1B1C1D1，F(xiàn)C1平面A1B1C1D1，EM平面A1B1C1D1.（2）延長(zhǎng)A1N與B1C1交于P，則P平面A1BMN，且P平面BB1C1C.又平面A1BMN平面BB1C1C=BM， PBM，即直線A1N、B1C1、BM交于一點(diǎn)P.又平面MNC1平面BA1B1， 幾何體MNC1BA1B1為棱臺(tái). S=·2a·a=a2， S=·a·a= a2，棱臺(tái)MNC1BA1B1的高為B1C1=2a，V1=

48、3;2a·（a2+a2）=a3，V2=2a·2a·aa3=a3. =.第15講 §2.2.4 平面與平面平行的性質(zhì)¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中面面平行的性質(zhì)，掌握面面平行的性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”“面面”平行的轉(zhuǎn)化.¤知識(shí)要點(diǎn)：1. 面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行. 用符號(hào)語言表示為：.2. 其它性質(zhì)：； ；夾在平行平面間的平行線段相等.¤例題精講：【例1】如圖，設(shè)平面平面，AB、CD是兩異面直線，M、N分

49、別是AB、CD的中點(diǎn)，且A、C，B、D. 求證：MN. 證明：連接BC，取BC的中點(diǎn)E，分別連接ME、NE，則MEAC， ME平面，又 NEBD， NE， 又MENE=E，平面MEN平面， MN平面MEN，MN. 【例2】如圖，A，B，C，D四點(diǎn)都在平面a，b外，它們?cè)赼內(nèi)的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，在b內(nèi)的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，求證：ABCD是平行四邊形 證明： A，B，C，D四點(diǎn)在b內(nèi)的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，A，B，C，D四點(diǎn)共面又A，B，C，D四點(diǎn)在a內(nèi)的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，平面ABB1A1平面CD

50、D1C1AB，CD是平面ABCD與平面ABB1A1，平面CDD1C1的交線ABCD同理ADBC 四邊形ABCD是平行四邊形【例3】如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E、F、G是側(cè)面對(duì)角線上的點(diǎn)，且，求證：平面EFG平面ABC.證明：作于P，連接PF. 在正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面中，易知，又，所以. ，平面ABC.又 ， ， ，則平面ABC. ， 平面PEF/平面ABC. 平面PEF， EF/平面ABC. 同理，GF/平面ABC. ， 平面EFG/平面ABC.點(diǎn)評(píng)：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵在于選擇或添加適當(dāng)?shù)钠矫婊蚓€，并抓住一些平面圖形的幾何性質(zhì)，如比例線段等. 此題通過巧作垂線，得到所作平面與底面平行，由性質(zhì)易得線面平行，進(jìn)而轉(zhuǎn)化出待證的面面平行，突出了平行問題中轉(zhuǎn)化思想.【例4】如圖，已知正方體中，面對(duì)角線，上分別有兩點(diǎn)E、F，且. 求證：EF平面ABCD.證明：過E、F分別作AB、BC的垂線，