(6)萬(wàn)有引力及天體運(yùn)動(dòng)

1、第七專題 萬(wàn)有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)解題知識(shí)與方法研究疑難題解答研究例題3（星球運(yùn)動(dòng)的阻力）例題1（天體軌道的判定）例題4（飛船著陸問(wèn)題）例題5（飛船和宇航站對(duì)接問(wèn)題）例題2（利用萬(wàn)有引力作用下的質(zhì)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑）一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的 簡(jiǎn)化二、引力問(wèn)題的基本運(yùn)動(dòng)方程三、行星繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量例題6（雙星問(wèn)題）一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化（1）天體通常相距很遠(yuǎn)，故可將天體處理為質(zhì)點(diǎn).（2）很多時(shí)候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個(gè)是主要的：a、可將此兩天體作為二體問(wèn)題處理.b、施力天體由于某些原因（如質(zhì)量相對(duì)很大）在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動(dòng)，這時(shí)問(wèn)題很簡(jiǎn)單（我們通常

2、討論的就是這種情況）.二、引力問(wèn)題的基本動(dòng)力學(xué)方程（平面極坐標(biāo)系中）如圖，行星m在太陽(yáng)M的有心引力作用下運(yùn)動(dòng).vr太陽(yáng)mMrvv行星的橫向加速度 等于零.d(2=)drvavrrt有徑向動(dòng)力學(xué)方程22d()drrvMmmamrGtr 解題知識(shí)與方法研究在太陽(yáng)慣性參照系中，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和引力定律222dd()ddrrrarett 22ddd2dddrarettt0rvr太陽(yáng)mMrvv211sin22rvr常量此式變化后即得開普勒第二定律：表明：開普勒第二定律不過(guò)角動(dòng)量守恒定律的特殊表現(xiàn).開普勒第二定律不僅適用于引力作用下行星的橢 圓運(yùn)動(dòng)也將適用于有心引力作用下行星的任何軌 道運(yùn)動(dòng). 又因萬(wàn)有引

3、力為保守力，故“太陽(yáng)+行星”系統(tǒng)的機(jī)械能守恒21()2MmmvGr 常量當(dāng)然，此方程也不限于行星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)！ 因?yàn)橐橛行牧?，故行星?duì)太陽(yáng)參考點(diǎn)角動(dòng)量守恒2sinrmvrmvr m常量0r三、天體繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量orrvMm 根據(jù)萬(wàn)有引力定律和其他牛頓力學(xué)定律（角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒等）可導(dǎo)出在如圖的極坐標(biāo)下的繞日運(yùn)動(dòng)的天體的軌道方程：2222232.,1 1cospLELrpeeGMmG M m（其中，）軌道方程為一圓錐曲線方程： （1）01Ee時(shí)，為橢圓， （即開普勒第一定律） 2GMmEa 總能量為：（2）01Ee時(shí)，為雙曲線的一支，總能量為：2GMmEaOxy( ,0)F c

4、MmabroabcmMrxy焦點(diǎn)M位于其中一個(gè)內(nèi)焦點(diǎn)M位于01Ee時(shí)，為拋物線，（3）總能量為：0E FMmxyO自行計(jì)算出上述三個(gè)能量值?。芊癫挥酶叩葦?shù)學(xué)？）M位于焦點(diǎn) 如圖，太陽(yáng)系中星體A做半徑為R1的圓運(yùn)動(dòng)，星體B作拋物線運(yùn)動(dòng). B在近日點(diǎn)處與太陽(yáng)的相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運(yùn)動(dòng)方向也相同. 設(shè)B運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)，A恰好運(yùn)動(dòng)到B與太陽(yáng)連線上. A、B隨即發(fā)生某種強(qiáng)烈的相互作用而迅速合并成一個(gè)新的星體. 其間的質(zhì)量損失可忽略. 試證明新星體繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓. 解計(jì)算新星體C的機(jī)械能.在徑向： 可認(rèn)為在A、B靠攏過(guò)程中質(zhì)心未動(dòng).所以C到太陽(yáng)的距離為123ABABm

5、 Rm RRmm在切向：A、B合并過(guò)程中動(dòng)量守恒，()ABCAABBmmvm vm v則有研究式中的vA、vB：1.AGMvR故因A作圓運(yùn)動(dòng)，CABM日() 1R2R疑難題解答研究CvAvBv3RC.R3設(shè) 距日,三星速度如圖12ABABmmRmm 例1（天體軌道的判定）所以22BGMvR利用，111()()22ABABABABGMM mmmmGmmRRmm因此，新星體C的軌道為橢圓. 題后思考 本題能不能直接判斷？EAm），距離為d，在引力作用下繞不動(dòng)的質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng). 設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點(diǎn). 在超新星爆炸中，質(zhì)量為M的星體損失質(zhì)量M. 假設(shè)爆炸是瞬時(shí)的、球?qū)ΨQ的，并且對(duì)殘余體不施加任何作用

6、力（或作用力抵消），對(duì)另一顆星也無(wú)直接作用. 試求，在什么條件下，余下的新的雙星系統(tǒng)仍被約束而不相互遠(yuǎn)離.解需計(jì)算爆炸后的總機(jī)械能. 如圖，爆炸前兩星繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn). 22212.VvMmMmGrrd旋轉(zhuǎn)的速度滿足由以上諸式得到.()()GGVmvMd Mmd Mm，爆炸后的瞬間，因球?qū)ΨQ爆炸所以（M-M）位置、速度均不變.無(wú)作用，故m的位置、速度也不變.因爆炸對(duì)星體m也CMmr12rVv12rrd12,.mMrdrdMmMm旋轉(zhuǎn)半徑滿足例6（雙星問(wèn)題）新系統(tǒng)的質(zhì)心C還在兩星連線上的原處嗎？新系統(tǒng)的質(zhì)心C還會(huì)靜止嗎？Cr2r1CMmr2r1()MMmVvVvCv新系統(tǒng)的勢(shì)能為()PMM mEGd

7、新系統(tǒng)在新質(zhì)心參照系中的動(dòng)能為2211()()()22KCCEMM Vvm vv 由系統(tǒng)動(dòng)量的質(zhì)心表達(dá)可知新系統(tǒng)質(zhì)心速度為()()CmvMM VvMMm注意到式中的()0.mvMV.()CMVvMMm所以().()mvMVMVMMm進(jìn)而得到系統(tǒng)在新質(zhì)心系中的動(dòng)能為221()()2()1()2()KMVEMMvMMmMVm VMMm 新系統(tǒng)仍被約束的條件是0.PKEEPKEE將、的表達(dá)式代入，整理得1().2MMm 題后思考以后兩星還繞新質(zhì)心作圓運(yùn)動(dòng)嗎?(嚴(yán)格證明你的結(jié)論！)Cr2r1CMmr2r1()MMmVvVvCv()PMM mEGd ()GVmd Mm，.()GvMd Mm另解 用二體問(wèn)

8、題折合質(zhì)量法爆炸前：兩星折合質(zhì)量().()MM mMMm.MmMm兩星折合質(zhì)量等效的運(yùn)動(dòng)如圖（a）.22vMmGdd旋轉(zhuǎn)的速度v 滿足得到()G Mmvd爆炸后：等效的運(yùn)動(dòng)如圖（b）.新系統(tǒng)的勢(shì)能().PMM mEGd 新系統(tǒng)的動(dòng)能212KEv 代入系統(tǒng)約束的條件0.PKEE解得1().2MMm（b）()MMvdMvd（a） 題后思考計(jì)算兩體的引力勢(shì)能時(shí)為何不用折合質(zhì)量？()().()MM mG MmMMmd12()()()()MM mG MmMMmd212兩體問(wèn)題 僅有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的孤立系統(tǒng)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1、m1，相互作用力大小為f，從m1至m2的矢徑為 .R對(duì)m2，由牛頓第二定律有2222d rfmdt（）將（1）代入（2）：212212.m md Rfmmdt121212()m mmmmm令稱為與的折合質(zhì)量，則有223d Rfdt（） （3）式表明，若取m1為參照系（一般不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立），則在此參照系中m2的運(yùn)動(dòng)完全相同于質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)在中心力 的作用下按牛頓第二定律所形成的運(yùn)動(dòng)，而無(wú)須考慮慣性力的作用.f取二者的質(zhì)心C為參照系（慣性系）. 設(shè)C到m1的矢徑為 . rr1121mrRmm（）有Cr1m2mRff位矢長(zhǎng)度的變化率位矢轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度類似向心加速度類似切向加速度位矢長(zhǎng)度變