（精心整理）高中物理微積分應用(完美)

1、高中物理中微積分思想 偉大的科學家牛頓，有很多偉大的成就，建立了經(jīng)典物理理論，比如：牛頓三大定律，萬有引力定律等；另外，在數(shù)學上也有偉大的成就，創(chuàng)立了微積分。 微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關概念和應用的數(shù)學分支。微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎上的。微積分最重要的思想就是用"微元"與"無限逼近"，好像一個事物始終在變化你很難研究，但通過微元分割成一小塊一小塊，那就可以認為是常量處理，最終加起來就行。 微積分學是微分學和積分學的總稱。 它是一種數(shù)學思想，無限細分就是微分，無限求和就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎

2、，它是用一種運動的思想看待問題。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。在高中物理中，微積分思想多次發(fā)揮了作用。1、解決變速直線運動位移問題勻速直線運動，位移和速度之間的關系x=vt；但變速直線運動，那么物體的位移如何求解呢？ 例1、汽車以10m/s的速度行駛，到某處需要減速停車，設汽車以等減速2m/s2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？a=-2m/s2【解析】 現(xiàn)在我們知道，根據(jù)勻減速直線運動速度位移公式 就可以求得汽車走了0.025公里。但是，高中所謂的的勻變速直線運動的位移公式是怎么來的，其實就是應用了微積分思想：把物體運動的時間無限細分。在每一份時間微元內(nèi)，速度的變化量很小，可

3、以忽略這種微小變化，認為物體在做勻速直線運動，因此根據(jù)已有知識位移可求；接下來把所有時間內(nèi)的位移相加，即“無限求和”，則總的位移就可以知道。現(xiàn)在我們明白，物體在變速直線運動時候的位移等于速度時間圖像與時間軸所圍圖形的“面積”，即?！疚⒎e分解】汽車在減速運動這段時間內(nèi)速度隨時間變化的關系，從開始剎車到停車的時間t=5s，  所以汽車由剎車到停車行駛的位移 小結：此題是一個簡單的勻變速直線運動求位移問題。對一般的變速直線運動，只要結合物理知識求速度關于時間的函數(shù)，畫出vt圖像，找“面積”就可以?；蛘撸枚ǚe分就可解決.v2、解決變力做功問題 恒力做功，我們可以利用公式直接求出

4、；但對于變力做功，我們?nèi)绾吻蠼饽兀?例2：如圖所示，質(zhì)量為m的物體以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運動，已知物體與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為，求物體從軌道最低點運動到最高點的過程中，摩擦力做了多少功。.xyOmgmgNANBBA【解析】物體沿豎直圓軌道從最低點勻速率運動到最高點的過程中，在不同位置與圓環(huán)間的正壓力不同，故而摩擦力為一変力，本題不能簡單的用來求。 可由圓軌道的對稱性，在圓軌道水平直徑上、下各取兩對稱位置A和B，設OA、OB與水平直徑的夾角為。在的足夠短圓弧上，S可看作直線，且摩擦力可視為恒力，則在A、B兩點附近的S內(nèi)，摩擦力所做的功之和可表示為：L（弧長）=(弧度)x r(半徑)

5、 (弧度制)又因為車在A、B兩點以速率v作圓周運動，所以：F= 圓周運動向心力公式綜合以上各式得：故摩擦力對車所做的功：【微積分解】物體在軌道上受到的摩擦力，從最低點運動到最高點摩擦力所做的功為小結：這題是一個復雜的變力做功問題，利用公式直接求功是難以辦到的。利用微積分思想，把物體的運動無限細分，在每一份位移微元內(nèi)，力的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認為物體在恒力作用下的運動；接下來把所有位移內(nèi)的功相加，即“無限求和”，則總的功就可以知道。在高中物理中還有很多例子，比如我們講過的瞬時速度，瞬時加速度、感應電動勢、引力勢能等都用到了微積分思想，所有這些例子都有它的共性。作為大學知識在高中的應

6、用，雖然微積分高中不要求，但他的思想無不貫穿整個高中物理?！拔⒎e分思想”豐富了我們處理問題的手段，拓展了我們的思維。我們在學習的時候，要學會這種研究問題的思想方法，只有這樣，在緊張的學習中，我們才能做到事半功倍。 一場源點荷為Q,在距Q為r的A點有一點電荷為q,此A處電勢=kQ/r【例】問均勻帶電的立方體角上一點的電勢是中心的幾倍。分析：根據(jù)對稱性，可知立方體的八個角點電勢相等；將原立方體等分為八個等大的小立方體,原立方體的中心正位于八個小立方體角點位置；而根據(jù)電勢疊加原理，其電勢即為八個小立方體角點位置的電勢之和，即U1=8U2 ；立方體角點的電勢與什么有關呢?電荷密度；二立方體的邊長a；三

7、立方體的形狀；根據(jù)點電荷的電勢公式U=及量綱知識，可猜想邊長為a的立方體角點電勢為U=Cka2  ；其中C為常數(shù)，只與形狀（立方體）及位置（角點）有關，Q是總電量，是電荷密度；其中Q=a3 大立方體的角點電勢：U0= Cka2 ；小立方體的角點電勢：U2= Ck（）2=   大立方體的中心點電勢：U1=8U2=2 Cka2 ；即U0=U1【小結】我們發(fā)現(xiàn)，對于一個物理問題，其所求的物理量總是與其他已知物理量相關聯(lián)，或者用數(shù)學語言來說，所求的物理量就是其他物理量（或者說是變量）的函數(shù)。如果我們能夠把這個函數(shù)關系寫出來，或者將其函數(shù)圖像畫出來，那么定量或定性

8、地理解物理量的變化情況，幫助我們解決物理問題。導數(shù) 物理量的變化率tv我們經(jīng)常對物理量函數(shù)關系的圖像處理，比如v-t圖像，求其斜率可以得出加速度a，求其面積可以得出位移s，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過v-t圖像中某個點作出切線，其斜率即a=.下面我們從代數(shù)上考察物理量的變化率：【例】若某質(zhì)點做直線運動，其位移與時間的函數(shù)關系為上s=3t+2t2,試求其t時刻的速度的表達式。（所有物理量都用國際制單位，以下同）分析：我們知道，公式v=一般是求t時間內(nèi)的平均速度，當t取很小很小，才可近似處理成瞬時速度。s(t)=3t+2t2 s(t+t)=3(t+t)+2(t+t) 2s=s(t

9、+t)-s(t)=3(t+t)+2(t+t) 2-3t-2t2=3t+4tt+2t2v=3+4t+2t當t取很小，小到跟3+4t相比忽略不計時，v=3+4t即為t時刻的瞬時速度。【練】假設一個閉合線圈匝數(shù)為100匝，其磁通量為=3t+4t3,求感應電動勢隨時間t的函數(shù)關系?！拘〗Y】回顧我們求物理量y=f(t)的變化率瞬時值z的步驟：寫出t時刻y0=f(t)的函數(shù)表達式；寫出t+t時刻y1=f(t+t)的函數(shù)表達式；求出y=y1- y0=f(t+t)- f(t)；求出z=；注意t取很小，小到與有限值相比可以忽略不計。 無窮小當t取很小時，可以用V=求瞬時速度，也可用i=求瞬時電流,用=求瞬時感應

10、電動勢。下面，我們來理解t：t是很小的不為零的正數(shù)，它小到什么程度呢？可以說，對于我們?nèi)我饨o定一個不為零的正數(shù)，都比t大，即：>t ?；蛘邚膭討B(tài)的角度來看，給定一段時間t，我們進行如下操作：第一次，我們把時間段平均分為2段，每段時間t=；第二次，我們把時間段平均分為3段，每段時間t=；第三次，我們把時間段平均分為4段，每段時間t=；第N次，我們把時間段平均分為N+1段，每段時間t=；一直這樣進行下去，我們知道，t越來越小，雖然它不為零，但永遠逼近零，我們稱它為無窮小，記為t0?；蛘?，用數(shù)學形式表示為 t=0。其中“”表示極限，意思是t的極限值為0。常規(guī)計算：（t+C）=C C·

11、t=0 f(t)=f(0) f(t+t)=f(t) = 1附錄常用等價無窮小關系（） ； ； ； ； 導數(shù)前面我們用了極限“”的表示方法，那么物理量y的變化率的瞬時值z可以寫成:z=,并簡記為z=,稱為物理量y函數(shù)對時間變量t的導數(shù)。物理上經(jīng)常用某物理量的變化率來定義或求解另一物理量，如v=、a=、i=、=N等，甚至不限于對時間求導，如F=、Ex=、=等。這個dt（也可以是dx、dv、dm等）其實相當于微元法中的時間微元t，當然每次這樣用來求物理量變化率的瞬時值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時期的微積分。如果能把常見導數(shù)計算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡單快速地求解物理量變化率的瞬時值（導數(shù)）了

12、。同學們可以課后推導以下公式： 導數(shù)的四則運算 =± = =·v + u· 常見函數(shù)的導數(shù)=0(C為常數(shù))； =-sint；=ntn-1 (n為實數(shù))； =et；=cost； 復合函數(shù)的導數(shù) 在數(shù)學上，把u=u(v(t)稱為復合函數(shù)，即以函數(shù)v(t)為u(x)的自變量。=·復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)稱為鏈式法則。在簡諧振動中，在單位時間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)叫頻率，用f表示，頻率的2倍叫角頻率，即 =2f【練】1、某彈簧振子在X軸上做直線運動，其位移x與時間t的關系為x=Asint，即，質(zhì)點在坐標原點

13、附近往復運動，最大位移為A（A稱為振幅），周期為（稱為角頻率），物理上把這種運動叫簡諧運動。請完成以下幾問： 求出t時刻的速度v寫出合力F與位移x的關系驗證簡諧運動中質(zhì)點的機械能守恒。PQ【練】2、某矩形線框面積為S，匝數(shù)為N，處于磁感應強度為B的勻強磁場中，如圖所示，線框繞PQ軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，從水平位置開始計時，在t時刻：寫出磁通量的表達式求出線框產(chǎn)生的感應電動勢 三：微分和積分 簡單問題【例】電容器是一種存儲電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時的情況。某電容為C的電容器，其已充電的電量為Q0，若讓該電容與另一個阻值為R的的電阻串聯(lián)起來，該電容器將會放電，其釋

14、放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）。試討論，放電時流過電阻R的電流隨時間t 的變化關系如何？分析：根據(jù)電荷守恒定律，當通過電阻R的電量為q時，電容器的電量從Q0變成Q1，滿足Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；Q0Q1q流過電阻R的電流i與通過電阻R的電量q 滿足關系式：i=根據(jù)電容電量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ；聯(lián)立上式，有i= - CR進行公式變形，令x= - ,則有i= - CR= 同學們思考一下，i應該是什么函數(shù)，才能滿足i= ？，或者說什么函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)本身？我們觀察到，只有y=Cex形式的函數(shù)才滿足i= 關系，C為待定常數(shù)。故可以知道，i

15、= Cex = Ce-t/CR當t=0 時，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce-t/CR=C；故C=所以，流過電阻R的電流隨時間t 的變化關系為：i = e-t/CR【練】對于上例電容器放電問題，試討論，放電時電容器的電量Q隨時間t 的變化關系如何？微分1、從上面式子可以看出，理論上雖然我們說是要經(jīng)過無窮長的時間電容才放完電，電流為零，但實際上只需要電流減少足夠小時，電流計就檢測不到有電流了。2、對于i= - CR或i= ，我們稱之為微分方程，最直觀的解決方法是觀察有哪些函數(shù)滿足該微分方程的函數(shù)關系，當然，我們要注意比如上題中的t=0 之類的初始條件。3、一般來說，微積

16、分可以幫助同學們深刻理解物理概念和公式，但微元法可以幫助同學們更細致地明了物理過程。下面我們用微元法的方式來處理這個問題。在t的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為q。雖然電流隨時間發(fā)生變化，但在很短的時間t內(nèi)，可以認為電流幾乎不變，當成恒定電流處理，故有q= it 。對電容有Q=CU=CiR，Q=i；由電量守恒，Q= q ，故iti，然后把“”形式改寫成微積分語言的“d”形式，就有idtdi （dt和di稱之為微分）,數(shù)學變形為i= - CR，即以上解法中的微分方程。微分與導數(shù)有什么關系呢？對某自變量為時間t的函數(shù)F(t)，它的極其微小的變化，我們記它為微分dF，它與時間微分dt滿足關系式：dF=dt

17、，其中為F對t的導數(shù)。下面是常見的微分公式與微分運算法則： 積分在上例問題中，在t的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為q= it，q稱為電量微元。如果我們把0到t時間內(nèi)的q加起來，用求和符號“”表示，則有：q=it。由于t=Nt,當t取無窮小時，那么it就有N個，也就是，我們要把無窮個it進行相加操作，為了方便，我們用微積分符號表示q=it=，稱為對i在時間上求積分。我們來看一下這么做有什么意義：從幾何上看，對于i-t 圖像，q=it=就是圖像中的面積。對于恒定電流，很簡單，q= it，即小塊矩形面積；對于變化的電流，用q= it來計算，發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，不過當我們?nèi)‘攖取無窮小時，用

18、極限處理后，該誤差會無窮逼近零，可以忽略不計，那么計算的面積就無限精確接近實際面積了。前面我們求導用了i=，積分用了q=?？梢钥闯?，從某種程度上說，積分實際是求導的逆運算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR), i = e-t/CR滿足求導和積分的運算關系i=、q=。對于一般函數(shù)F，如果有f= ，那么就有=F+C。請思考，為什么積分中會出現(xiàn)常數(shù)C？下面是常見的積分公式，請同學們對照求導公式理解： f 現(xiàn)在我們用微積分書寫方式來來解答上題。由Q0=Q+q ；Q=Q0-q ；則dQ= - dq = - idt= - dt= - dt ；怎么來求呢？我們知道=et，令F(t)= et，有t=

19、lnF；則有=F，即=dt=d(lnF) ；那么= = lnQ+C。=？請同學們自己推導。即 = - dt ；對等號兩邊積分： = ；有l(wèi)nQ = - C，或者Q=Ce-t/CR ； 當t=0時，Q(0)=C=Q0 ； 所以電容器電量為Q= Q0e-t/CR 。 定積分【例】某質(zhì)點在X軸上做直線運動，其速度v滿足函數(shù)關系v=3t2,求從t=1s到t=3s時間內(nèi)質(zhì)點發(fā)生的位移。分析：在dt時間內(nèi)，質(zhì)點可以認為做勻速直線運動，即ds=vdt,那么對等號兩邊積分，有，則有：s= t3 +C ；現(xiàn)在有問題了：當t=0時，S(0)等于多少我們不知道！而且已知條件中的時間“從t=1s到t=3s”也沒有用上

20、！下面我們從物理上考察C這個常數(shù)的意義。t=0時，s(0)=C。當我們令C=0時，相當于質(zhì)點在零時刻從坐標原點開始運動；當我們令C=1時，相當于質(zhì)點在零時刻從坐標位置X=1m處開始運動；。tv我們發(fā)現(xiàn)，C這常數(shù)的取值相當于選取觀察質(zhì)點運動的靜止參考系位置，然而所求的從t=1s到t=3s時間內(nèi)質(zhì)點發(fā)生的位移應該與所選取的靜止參考系無關，也就是對任意靜止參考系，質(zhì)點發(fā)生的位移應該是一致的，如圖所示。那么我們就隨便選取某一參考系，使質(zhì)點在零時刻從坐標位置X=Cm處開始運動，則位移與時間的函數(shù)關系式為：s(t)= t3 +C。題目中所求的1到3秒的位移為：s1=s(3)-s(1)=（33+C）-（13

21、+C）=8m 。 題目中所要求的位移（速度積分）與積分式=F+C中的C無關，當要求t=t1到t=t2時間內(nèi)位移時，s(t1t2)=s(t2) - s(t2)。這個相當于我們用s=vt來求v-t圖像中的從t=t1到t=t2范圍內(nèi)的面積。我們用一種簡單符號表示這種關系：=F(b) F(a)。這種積分叫定積分?！揪殹?、已知導線中的電流按I = t3-0.5t+6的規(guī)律隨時間 t 變化，式中電流和時間的單位分別為A和s。計算在t =1s到t =3s的時間內(nèi)通過導線截面的電荷量?！揪殹?、某質(zhì)量為m的均勻細桿，長為L，繞其一端點做角速度為的勻速轉(zhuǎn)動，試求其動能?！揪殹?、某彈簧勁度系數(shù)為K，原長為L，

22、若將彈簧從2L長拉伸至3L長處，問應克服彈簧彈力做多少功？【練】4、對于某電路，通過電阻R=2的電流i=2t+1(A)，問從t=0時刻開始經(jīng)過4s后，電阻產(chǎn)生的焦耳熱是多少？四：課后習題1、質(zhì)量為2kg的某物體在平面直角坐標系中運動，已知其x軸上的坐標為x=3+5cos2t，y軸上的坐標為y=-4+5sin2t，t為時間物理量，問：物體的速度是多少？物體所受的合外力是多少?該物體做什么樣的運動？ 能否找出該物體運動的特征物理量嗎？2、一質(zhì)點在某水平力F的作用下做直線運動，該力做功W與位移x的關系為W=3x-2x2,試問當位移x為多少時F變?yōu)榱恪?、已知在距離點電荷Q為r處點的場強大小為E=,請

23、驗證點處的電勢公式為：U = 。4、某復合材料制成的一細桿OP長為L，其質(zhì)量分布不均勻。在桿上距離O端點為x處取點A，令M為細桿上OA段的質(zhì)量。已知M為x的函數(shù)，函數(shù)關系為M=kx2，現(xiàn)定義線密度=,問當x=處B點的線密度為何？5、某彈簧振子的總能量為2×10-5J，當振動物體離開平衡位置振幅處，其勢能EP= ，動能Ek= 。6、取無窮遠處電勢為零。若將對電容器充電等效成把電荷從無窮遠處移到電容器極板上，試問，用電壓U對電容為C的電容器充電，電容器存儲的電能為何？開始時電容器存放的電荷量為零。7、在光滑的平行導軌的右端連接一阻值為R的電阻，導軌寬度為L，整個導軌水平放置在方向豎直向下

24、的磁場中，磁場的磁感應強度為B。有一導體棒ab垂直軌桿并停放在導軌上，導體棒與導軌有良好的接觸。在t=0時刻，給導體棒一水平向左的初速度V0，若其他電阻不計，則 求導體棒的速度v隨時間t的函數(shù)表達式； 求導體棒從開始運動到停下為止，其滑行的總位移S；求導體棒在運動過程中產(chǎn)生的感應電流I隨時間t的函數(shù)關系； 求全過程中流過導體棒的總電荷Q。一、變力做功在功的問題中，恒力做功是最簡單的，公式為“以常代變”，功的微元應該通過恒力做功公式得到的例831 一壓簧，原長1，把它每壓縮1時所用的力為0.05問在彈性范圍內(nèi)把它由1（如圖831）壓縮到60（如圖832）所做的功圖831圖832解令起點為原點，壓

25、縮的方向為軸的正方向當把彈簧自原點壓縮至之間的任意點處時（如圖833）圖833由胡克定律知所承受的彈簧的壓力為在此力的作用下，再繼續(xù)壓縮一點點，即壓縮至處由于很小，這個壓縮過程可認為力不變，即恒力做功則由恒力做功公式得功的微元積分得例832 在原點處有一帶電量為的點電荷，在它的周圍形成了一個電場現(xiàn)在處有一單位正電荷沿軸正方向移至處，求電場力所做的功又問若把該電荷繼續(xù)移動，移動至無窮遠處，電場力要做多少功解點電荷在任意點處時所受的電場力為（為常數(shù)）電場力做功的微元為點電荷由任意點處移動至處時電場力所做的功即則移至處電場力做的功；移至無窮遠處電場力做的功（物理學中稱此值為電場在處的電位）例833 一圓臺形水池，深15，上下口半徑分別為20和10，如果把其中盛滿的水全部抽干，需要做多少功?解水是被“一層層”地抽出去的，在這個過程中，不但每層水的重力在變，提升的高度也在連續(xù)地變化圖834其中抽出任意一層水（處厚為的扁圓柱體，如圖834陰影部分）所做的功為抽水做功的微元此處常用符號是，表示水的密度，計算時為1000 kg/m3即則二、物體質(zhì)量對于密度均勻的物體的質(zhì)量或、，這時密度是常量；但對于密度不均勻（密度是變量）的物體的質(zhì)量就不能直接用上述公式了，而應該用微元法例834 一半圓形金屬絲，