第四節(jié) 空間曲線

1、v 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程v 空間曲線空間曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影 第七章第七章 解析幾何向量代數(shù)解析幾何向量代數(shù) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 空間曲線及其方程空間曲線及其方程v 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可看作兩曲面的交線空間曲線可看作兩曲面的交線,空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程.0),(0),(zyxGzyxF2SC0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程組方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2上頁上頁 下頁下頁 返

2、回返回 結(jié)束結(jié)束 C :又如又如, ,方程組方程組表示上半球面與圓柱面的交線表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzao上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 zyxo二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線將曲線C上的動點(diǎn)的坐標(biāo)上的動點(diǎn)的坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)表示成參數(shù)t 的函數(shù)的函數(shù): :空間曲線的空間曲線的參數(shù)方程參數(shù)方程)(txx 例如例如, ,圓柱螺旋線圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincostaxcostaysin t vz 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為)(tyy )(tzz 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1. 將下列曲線的一

3、般方程化為參數(shù)方程將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解 (1) 由第一個方程引入?yún)?shù)由第一個方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二個方程變形為將第二個方程變形為,)(42222aayx得得得所求參數(shù)方程得所求參數(shù)方程:txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)曲線設(shè)曲線C 的一般方程的一般方程: :消去消去 z 得得與與xOy面的面的交線交線C C消消 x 得得y

4、Oz 面上的投影曲線面上的投影曲線消消y 得得zOx 面上的投影曲線面上的投影曲線0),(0),(zyxGzyxF0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 面的投影柱面面的投影柱面. .xOy, 這是以曲線這是以曲線C 為為準(zhǔn)線準(zhǔn)線, 垂直于垂直于xOy 坐標(biāo)面的柱面坐標(biāo)面的柱面, 稱為稱為該柱面該柱面稱為曲線稱為曲線C 在在xOy 面面上的投影曲線上的投影曲線:曲線曲線C關(guān)于關(guān)于同理同理,C1例例2. 2. 求曲線求曲線002222zyyx1) 1() 1(1:222222zyxzyxC上頁上頁 下頁下頁 返回返回

5、結(jié)束結(jié)束 解解 第一式減去第二式第一式減去第二式, 得得2y + 2z - 2 = 0,解得解得 z = 1 - y,代入第一式得代入第一式得02222yyx面的投影柱面面的投影柱面( (圓柱面圓柱面).).xOy這是曲線這是曲線C關(guān)于關(guān)于曲線曲線C在在 xOy 面上的投影是曲線面上的投影是曲線在在 xOy 面上的投影面上的投影.zyxozxyo1C例例3.3.所圍立體在所圍立體在xOy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域. . 求半球面求半球面和錐面和錐面224yxz)( 322yxz0122zyx曲線在曲線在xOy 面上的面上的投影曲線投影曲線)( 34:2222yxzyxzC. 122 yx該曲

6、線所圍區(qū)域?yàn)樵撉€所圍區(qū)域?yàn)閮汕娴慕痪€兩曲面的交線上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解的投影區(qū)域的投影區(qū)域. .在在 xOy 面上的投影曲線所圍區(qū)域就是立體在面上的投影曲線所圍區(qū)域就是立體在 xOy 面上面上由曲線方程由曲線方程, 消消z 得得122 yx22yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx例例4. 求由曲線求由曲線繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所得曲面與平面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面與平面 的交線在的交線在 xOy 平面上的投影曲線平面上的投影曲線. 1zyx解解 旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為交線為消消z 得該曲線向得該曲線向 xOy 面的投影柱面為面的投影柱面為 所求投影曲線為所求投影曲線為 2yz 0 x, 它與所給平面的它與所給平面的上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 進(jìn)一步的例題進(jìn)一步的例題 (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1. 作曲線的圖形作曲線的圖形(3) (3) 位于第一卦限的曲線位于第一卦限的曲線zxyo oa222azx222ayx上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)