第04章圖像變換與二維數(shù)字濾波

1、Slide 1第第4 4章章 圖像變換與二維數(shù)字濾波圖像變換與二維數(shù)字濾波Slide 2內(nèi)容提要l主要介紹圖像處理中常用的二維離散變換的定主要介紹圖像處理中常用的二維離散變換的定義、性質(zhì)、實現(xiàn)方法及應(yīng)用。義、性質(zhì)、實現(xiàn)方法及應(yīng)用。l經(jīng)典變換經(jīng)典變換離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT）l離散余弦變換（離散余弦變換（DCT）l離散沃爾什離散沃爾什-哈達(dá)瑪變換（哈達(dá)瑪變換（DWT）lK-L變換（變換（KLT）l離散小波變換（離散小波變換（DWT）及其應(yīng)用）及其應(yīng)用l二維數(shù)字濾波的定義、設(shè)計與實現(xiàn)二維數(shù)字濾波的定義、設(shè)計與實現(xiàn)Slide 3知識要點知識要點 l余弦型變換：余弦型變換：l傅里葉變換和

2、余弦變換。傅里葉變換和余弦變換。l方波型變換：方波型變換：l沃爾什沃爾什- -哈達(dá)瑪變換。哈達(dá)瑪變換。l基于特征向量的變換：基于特征向量的變換：lK-LK-L變換。變換。l從哈爾變換、短時傅里葉變換到小波變換。從哈爾變換、短時傅里葉變換到小波變換。l各種變換的定義和有關(guān)快速算法及實現(xiàn)方法。各種變換的定義和有關(guān)快速算法及實現(xiàn)方法。l二維數(shù)字濾波的定義、設(shè)計與實現(xiàn)二維數(shù)字濾波的定義、設(shè)計與實現(xiàn)Slide 44.1 4.1 二維離散傅里葉變換（二維離散傅里葉變換（DFTDFT）4.1.1 二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)傅里葉變換l定義：設(shè) f (x, y) 是獨立變量x和y 的函數(shù)，且在 上絕對可積，則

3、定義積分 為二維連續(xù)函數(shù) f (x, y) 的傅里葉變換，并定義 為F (u, v) 的反變換。 f (x, y) 和F (u, v)為傅里葉變換對。 |( , )|d df x yx y j2() ( , )( , )ed dux vyf x yF u vu vSlide 5【例例4.1】求圖4.1所示函數(shù)的傅里葉變換。 他其, 0,),(YyXxAyxf解：解： j2()j2j2 0 0jj( , )( , )ed dededsin()sin()eeXYux vyuxvyuxvyF u vf x yx yAxyuXvYAXYuXvYsin() sin()( , )uXvYF u vAXYu

4、XvY圖4.1 二維信號f (x, y) 其幅度譜為其幅度譜為Slide 6二維信號的頻譜圖（a）信號的頻譜圖）信號的頻譜圖 （b）圖（）圖（a）的灰度圖）的灰度圖圖圖4.2 信號的頻譜圖信號的頻譜圖 Slide 74.1.2 4.1.2 二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換l尺寸為MN的離散圖像函數(shù)的DFT 1010)/(2),(1),(MxNyNvyMuxjeyxfMNvuFl反變換可以通過對F(u,v) 求IDFT獲得 1010)/(2),(),(MuNvNvyMuxjevuFyxfSlide 8lF(u, v)即為f (x, y)的頻譜，通常是復(fù)數(shù)：( , )( , )j ( , )F

5、 u vR u vI u v221/2|( , )| ( , )( , )F u vR u vIu v( , )( , )arctan( , )I u vu vR u v幅度譜幅度譜 相位譜相位譜 Slide 9DFT幅度譜的特點幅度譜的特點 l 頻譜的直流成分頻譜的直流成分說明在頻譜原點的傅說明在頻譜原點的傅里葉變換里葉變換F(0, 0)等于圖像的平均灰度級。等于圖像的平均灰度級。l 幅度譜幅度譜|F(u, v)|關(guān)于原點對稱。關(guān)于原點對稱。l 圖像圖像f (x, y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生變化。僅有相位發(fā)生變化。Slide 104.1.3 4.1.

6、3 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)l1 1變換可分離性l二維DFT可以用兩個可分離的一維DFT之積表示：11j2/j2/0011( , )e( , )eMNux Mvy NxyF u vf x yMN1j2/01( , )eMux MxF x vM式中，式中，1j2/01( , )( , )eNvy NyF x vf x yN結(jié)論：結(jié)論：（1）二維變換可以通過先進(jìn)行二維變換可以通過先進(jìn)行行變換行變換再進(jìn)行再進(jìn)行列變換列變換的兩的兩次一維變換來實現(xiàn)。（次一維變換來實現(xiàn)。（2 2）也可以通過先求）也可以通過先求列變換列變換再求再求行變換行變換得到得到二維傅里葉變換。二維傅里葉變換

7、。 Slide 11圖圖4.4 用兩次一維用兩次一維DFT計算二維計算二維DFT Slide 122 2周期性、共軛對稱性及頻譜中心化l周期性和共軛對稱性來了許多方便。l首先來看一維的情況。l設(shè)有一矩形函數(shù),求出它的傅里葉變換： ,0( )0,AxXf x其他jsin( )euXuXF uAXuXsin( )uXF uAXuXSlide 13在進(jìn)行在進(jìn)行DFT之前用輸入信號乘以（之前用輸入信號乘以（-1）x，便可，便可以在一個周期的變換中求得一個完整的頻譜。以在一個周期的變換中求得一個完整的頻譜。 （a）幅度譜）幅度譜 （b）原點平移后的幅度譜）原點平移后的幅度譜 圖圖4.6 頻譜圖頻譜圖 2

8、211j(/2)j0011(/2)( )e( 1)( )eNNx u NxuxNNxxF uNf xf xNNSlide 14 用(-1)x+y 乘以輸入的圖像函數(shù)，則有：)2/, 2/() 1)(,(NvMuFyxfDFTyxl原點原點F(0,0)被設(shè)置在被設(shè)置在 u = M/2和和v = N/2上。上。l如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。譜的直流成分。 Slide 15圖4.7 圖像頻譜的中心化（a）原始圖像）原始圖像 (b) 中心化前的頻譜圖中心化前的頻譜圖 (c)

9、 中心化后的頻譜中心化后的頻譜圖圖3.6 圖像頻譜的中心化圖像頻譜的中心化Slide 163離散卷積定理l設(shè)f (x, y)和g(x, y) 是大小分別為AB和CD的兩個數(shù)組，則它們的離散卷積定義為DFT ( , )* ( , )( , ) ( , )f x yg x yF u v G u vl卷積定理卷積定理1010),(),(),(*),(MmNnnymxgnmfyxgyxfSlide 17【例4.2】用MATLAB實現(xiàn)圖像的傅里葉變換。l為了增強(qiáng)顯示效果，用對數(shù)對頻譜的幅度進(jìn)行壓縮，然為了增強(qiáng)顯示效果，用對數(shù)對頻譜的幅度進(jìn)行壓縮，然后將頻譜幅度的對數(shù)值用在后將頻譜幅度的對數(shù)值用在010之

10、間的值進(jìn)行顯示。之間的值進(jìn)行顯示。l【解解】MATLAB程序如下：程序如下：lI = imread(pout.tif);%讀入圖像讀入圖像limshow(I); %顯示圖像顯示圖像lF1 = fft2(I); %計算二維傅里葉變換計算二維傅里葉變換lfigure, imshow(log(abs(F1)+1),0 10); l%顯示對數(shù)變換后的頻譜圖顯示對數(shù)變換后的頻譜圖lF2 = fftshift(F1); %將直流分量移到頻譜圖的中心將直流分量移到頻譜圖的中心lfigure, imshow(log(abs(F2)+1),0 10); l%顯示對數(shù)變換后中心化的頻譜圖顯示對數(shù)變換后中心化的頻譜

11、圖Slide 18 （a）原始圖像 （b）圖像的頻譜圖 （c）中心化的頻譜圖圖3.7 傅里葉變換Slide 194.2 二維離散余弦變換（二維離散余弦變換（DCT） l任何實對稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡化DFT的重要方法。4.2.1 一維離散余弦變換一維離散余弦變換l將一個信號通過對折延拓成實偶函數(shù)，然后進(jìn)行傅里葉變換，我們就可用2N點的DFT來產(chǎn)生N點的DCT。 1以x = -1/2為對稱軸折疊原來的實序列f (n) 得：1),1(10),(nNnfNnnfSlide 20-N-10N-1NN+1f (n)延拓示意圖延拓示意圖 2以2N為周期將其

12、周期延拓，其中f（0）f（1），f（N1）f（N） 12),12(10),(NnNnNfNnnffc(2N n 1) = fc(n) Slide 213對0到2N1的2N個點的離散周期序列 作DFT，得)(kFc1202)(NnnkNcWnf 102)(NnnkNWnf122) 12(NNmmkNWmNf 令i2Nm1，則上式為 )(kFc102)(NnnkNWnf 01)12(2)(NikiNNWif 22kNW102) 12(cos)(NnNknnfSlide 22l 保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)C(k) N2102) 12(cos)(NnNknnfC(k)= 其中11

13、, 10,21NkkDCT逆變換為 1112(21)( )(0)( )cos2Nunuf nCF uNNNSlide 234.2.2 二維離散余弦變換二維離散余弦變換 l正變換：l逆變換：1100211( , )( ) ( )( , )coscos22MNxyF u vC u C vf x yu xv yMNMN1100211( , )( ) ( ) ( , )cos() cos()22MNuvf x yC u C v F u vu xv yMNMN Slide 244.2.3 二維DCT的應(yīng)用l典型應(yīng)用是對靜止圖像和運動圖像進(jìn)行性能優(yōu)良的有損數(shù)據(jù)壓縮。l在靜止圖像編碼標(biāo)準(zhǔn)JPEG、運動圖像編

14、碼標(biāo)準(zhǔn)MJPEG和MPEG等標(biāo)準(zhǔn)中都使用了88塊的離散余弦變換，并將結(jié)果進(jìn)行量化之后進(jìn)行熵編碼。lDCT具有很強(qiáng)的能量集中在頻譜的低頻部分的特性，而且當(dāng)信號具有接近馬爾可夫過程的統(tǒng)計特性時，DCT的去相關(guān)性接近于具有最優(yōu)去相關(guān)性的K-L變換的性能。Slide 25【例4.3】應(yīng)用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變換。l【解】MATLAB程序如下：lI = imread(wpeppers2.png);lJ = rgb2gray(I); %轉(zhuǎn)換彩色圖像為灰度圖像lsubplot(1,2,1),imshow(J); %顯示原灰度圖像lK = dct2(J); %對圖像做DCT變換lsubplot(1,2

15、,2), imshow(log(abs(K)+1,0 10); l %顯示DCT變換結(jié)果limshow(log(abs(C2)+1,0 10); l %顯示DCT變換結(jié)果Slide 26圖4.10 離散余弦變換 （a）wpeppers2圖像 （b）wpeppers2圖像的DCT系數(shù) Slide 274.3 4.3 二維離散沃爾什二維離散沃爾什- -哈達(dá)瑪變換（哈達(dá)瑪變換（DHTDHT）l前面的變換是余弦型變換，基底函數(shù)選用的是余弦型。l圖像處理中有些變換常常選用方波信號或者它的變形。l沃爾什（Walsh）變換。l沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，便于計算機(jī)運算。l函數(shù)有三種排列或編號方

16、式，以哈達(dá)瑪排列最便于快速計算。l采用哈達(dá)瑪排列的沃爾什函數(shù)進(jìn)行的變換稱為沃爾什-哈達(dá)瑪變換，簡稱WHT或直稱哈達(dá)瑪變換。Slide 284.3.1 沃爾什變換l沃爾什函數(shù)系沃爾什函數(shù)系l函數(shù)值僅取函數(shù)值僅取+1和和1兩值的非正弦型的標(biāo)兩值的非正弦型的標(biāo)準(zhǔn)正交完備函數(shù)系。準(zhǔn)正交完備函數(shù)系。l由于二值正交函數(shù)與數(shù)字邏輯中的兩由于二值正交函數(shù)與數(shù)字邏輯中的兩個狀態(tài)相對應(yīng)，所以非常便于計算機(jī)個狀態(tài)相對應(yīng)，所以非常便于計算機(jī)和數(shù)字信號處理器運算。和數(shù)字信號處理器運算。Slide 29圖4.11 沃爾什函數(shù)系的前10個函數(shù)Slide 30沃爾什函數(shù)有三種排列或編號方式l列率排列、佩利（列率排列、佩利（P

17、aley）排列和哈達(dá)瑪）排列和哈達(dá)瑪（Hadamard）排列。）排列。l沃爾什變換的排列方式為列率排列。沃爾什變換的排列方式為列率排列。l與正弦波頻率相對應(yīng)，非正弦波形可用列率與正弦波頻率相對應(yīng)，非正弦波形可用列率描述。描述。l列率表示某種函數(shù)在單位區(qū)間上函數(shù)值為零列率表示某種函數(shù)在單位區(qū)間上函數(shù)值為零的零點個數(shù)之半。的零點個數(shù)之半。Slide 31一維沃爾什變換核g(x,u)l設(shè)N = 2n，變換核為11( )( )01( , )( 1)ininbx buig x uN bk(z)代表z的二進(jìn)制表示的第k位值。核是一個對稱陣列，其行和列是正交的。Slide 32一維沃爾什變換 l正變換：l逆

18、變換：111( )( )001( )( )( 1)iniNnbx buixW uf xN 111( )( )00( )( )( 1)iniNnbx buiuf xW u Slide 33二維沃爾什變換 l正變換：l逆變換：11111( )( )( )( )0001( , )( , )( 1)iniiniNNnb x buby bvixyW u vf x yN 11111( )( )( )( )0001( , )( , )( 1)iniiniNNnb x buby bviuvf x yW u vN Slide 34【例4.5】求圖像 f 的DWT，并反求 f。l【解】W =G f G，采用MAT

19、LAB程序求解W。lf = 2 5 5 2; 3 3 3 3; 3 3 3 3; 2 5 5 1;lG = 1 1 1 1; 1 1 -1 -1; 1 -1 -1 1; 1 -1 1 -1;lW = (1/16)*G*f*G2552333333332551fSlide 35l運行結(jié)果為lW =l 3.18750.0625 -0.8125 0.0625l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625l 0.18750.0625 -0.8125 0.0625l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625Slide 36l反求 f 的程序如下：lW = 3.1875 0

20、.0625 -0.8125 0.0625;l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625;l 0.1875 0.0625 -0.8125 0.0625;l 0.0625 -0.0625 0.0625 -0.0625lG = 1 1 1 1; 1 1 -1 -1; 1 -1 -1 1; 1 -1 1 -1;lf = G*W*GSlide 37l運行結(jié)果為lf =l 2 5 5 2l 3 3 3 3l 3 3 3 3l 2 5 5 1Slide 384.3.2 4.3.2 哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換l哈達(dá)瑪矩陣：元素僅由1和1組成的正交方陣。l正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交

21、，或者說它們對應(yīng)元素之和為零。l哈達(dá)瑪變換要求圖像的大小為N2n 。l一維哈達(dá)瑪變換核為 其中， bk(z) 代表z的二進(jìn)制表示的第k位值。10)()() 1(1),(niiiubxbNuxgSlide 39一維、二維哈達(dá)瑪正、逆變換l一維哈達(dá)瑪正變換 l一維哈達(dá)瑪逆變換l二維哈達(dá)瑪正變換l二維哈達(dá)瑪逆變換10)()(10) 1)(1)(nxubxbniiixfNuH10)()(10) 1)()(nuubxbniiiuHxf1010)()()()(10) 1)(,(1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH1010)()()()(10) 1)(,(1),(NuNvvbybubx

22、bniiiiivuHNyxfSlide 40二維哈達(dá)瑪正、逆變換具有相同形式l正反變換都可通過兩個一維變換實現(xiàn)。l高階哈達(dá)瑪矩陣可以通過如下方法求得：lN8的哈達(dá)瑪矩陣為 222211NNNNNHHHHNHN5261437011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112218HSlide 414.4 卡胡南卡胡南-列夫變換（列夫變換（K-L變換）變換）lKahunen-Loeve變換是在均方意義下的最佳變換。l優(yōu)點：l能夠完全去除原信號中的相關(guān)性，因而具有非常重要的理論意義。l缺點：l基函數(shù)取決于待變換圖像的協(xié)

23、方差矩陣，因而基函數(shù)的形式是不定的，且計算量很大。Slide 42l設(shè)原圖像為X，采用KLT恢復(fù)的圖像 ，則和原圖像X具有最小的均方誤差，即XT minEXXXXT(0,0),(0,1),(0,1),(1,0),( ,1),(1,1)iiiiiiifffNff r Nf NNX對第i次獲得的圖像fi(x, y)可以用N2維向量Xi表示： 11 MxiiEMmXXSlide 43lCx是一個N2N2的實對稱矩陣。令i和ai（i = 1, 2, , N2）分別為Cx的第i個特征值和特征向量，其特征向量構(gòu)成的矩陣是一個正交矩陣 TTT1111()()MMxixixiixxiiMMCXmXmX Xm

24、m222222112111222212NNNNN NaaaaaaaaaASlide 44l ATCxA = A1CxA = （3.51）l 為Cx的特征值構(gòu)成的對角線矩陣。K-L變換選取一個上述的正交變換A，使得變換后的圖像Y滿足l Y = A(X mx) （3.52）l優(yōu)點：優(yōu)點：能夠完全去除原信號中的相關(guān)性，因而具有重要的理論意義。 l缺點：缺點：計算量很大。Slide 454.5 4.5 二維離散小波變換二維離散小波變換l小波分析是小波分析是20世紀(jì)世紀(jì)80年代開始逐漸發(fā)展成熟的年代開始逐漸發(fā)展成熟的應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支。應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支。l主要特點：主要特點：l對時間（二維信號為空間）

25、對時間（二維信號為空間）-頻率的雙重分析和多分頻率的雙重分析和多分辨率分析能力。辨率分析能力。l被譽為被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”，在信號和圖像處理等，在信號和圖像處理等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值。領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值。Slide 464.5.1 小波分析的思想來源l哈爾提出了一種正交歸一化函數(shù)系，以其作為哈爾提出了一種正交歸一化函數(shù)系，以其作為正交規(guī)范基的哈爾變換收斂均勻而迅速，在圖正交規(guī)范基的哈爾變換收斂均勻而迅速，在圖像信息壓縮和特征編碼等方面獲得應(yīng)用。像信息壓縮和特征編碼等方面獲得應(yīng)用。l哈爾變換特點：哈爾變換特點：l（1）具有尺度和位移兩個特性；）具有尺度和位移兩個特性；l（2）變換

26、范圍窄；）變換范圍窄；l（3）變換特性與圖像邊界的特性十分接近。）變換特性與圖像邊界的特性十分接近。Slide 47圖4.12 Haar函數(shù)系的前幾個函數(shù)波形函數(shù)系的前幾個函數(shù)波形lHaar函數(shù)的定義域t為0,1，可將它延拓到整個時間軸。lHaar函數(shù)表示為har(2p + n, t)，其中p = 1, 2, , ；n = 0, 1, 2p 1。Slide 48窗口傅里葉變換（WFT） l信號f (x)的窗口傅里葉變換定義為j* 1WFT ( ,)( )()ed2xfRbf x WxbxlWFT的重構(gòu)公式為2j 1( )WFT ( ,)()ed d2xfRf xbW xbbl常見的窗函數(shù)具有相

27、對短的時間窗寬，例如可選為高斯函數(shù)，所以WFT也稱為短時傅里葉變換（ STFT）。Slide 49WFT的不足的不足l窗口傅里葉變換是一種大小及形狀均固定的時頻化分析。l實際信號進(jìn)行時間和頻率分析時，分辨率往往是相對的，即反映信號高頻成分需要較高的時間分辨率，因此窗函數(shù)寬度應(yīng)該窄一些，而反映低頻成分則需要較高的頻率分辨率，窗函數(shù)寬度應(yīng)該寬一些。l窗口傅里葉變換不能滿足上述要求。Slide 504.5.2 連續(xù)小波變換l小波變換的窗口具有大小（面積）固定但形狀可改變的特點，能滿足上述時-頻局部化分析的要求。l按如下方式生成的函數(shù)族為連續(xù)小波（分析小波）：12,( )a bxbxaal (x)稱為

28、基本小波或母波la稱為伸縮因子，b為平移因子。母波可由平移與尺度變換構(gòu)造小波基函數(shù)。 Slide 51圖4.13 小波函數(shù)的平移與擴(kuò)展Slide 52信號的連續(xù)小波變換 l正變換：l反變換：1*2, ( , ),( )( )dfa bRxbWa bfxaf xxa ,2 1d( )( , )( )dfa baf xWa bxbCaSlide 534.5.3 一維離散小波變換l把連續(xù)小波變換離散化更有利于實際應(yīng)用。l對a和b按如下規(guī)律取樣：l其中 ； ； ，得離散小波：mmanbbaa000,10aZnm,)()(0020,nbxaaxmmnm)(),()()(,xxfdxxxfWnmnmnmn

29、mnmnmnmnmnmfWkf,)(Rb 0 離散小波變換和逆變換為 Slide 544.5.4 二維離散小波變換l信號f (x, y)的連續(xù)小波變換Wf(a,bx,by)為 2*, 1( ,),( , )( , ),d dx yfxya b bRxb ybWa b bfx yf x yx yaaa2 ,2 1( , )( ,),dddyxfxya bxyRRybxbf x yWa b bbbaaaa 由Wf(a,bx,by)重構(gòu)f (x, y)的小波逆變換為定義二維離散小波變換逼近，并采用Mallat二維快速算法求解。與DFT類似，可分離二維小波變換最終可轉(zhuǎn)化為兩次一維小波變換。Slide

30、55圖4.14 可分離二維小波變換的頻率域分解（a）1層分解 （b）2層分解 （c）3層分解Slide 56重構(gòu)算法按相反的步驟進(jìn)行l(wèi)這樣就構(gòu)成了2D DWT的金字塔結(jié)構(gòu)。l由于小波變換的理論和算法比較復(fù)雜，從應(yīng)用的角度看，讀者可以將注意力集中在用MATLAB對圖像進(jìn)行小波變換和重構(gòu)的實現(xiàn)過程中。Slide 57【例4.6】對圖像實現(xiàn)小波變換lbior3.7是雙正交樣條小波對應(yīng)的濾波器。圖像：wbarb.mat。l【解】MATLAB程序如下：lload wbarb;%從磁盤調(diào)入磁盤文件wbarb.matlimage(X);%將矩陣X顯示為圖像.lcolormap(map);%配合函數(shù)image

31、()畫出連續(xù)的灰度圖lcA1,cH1,cV1,cD1 = dwt2(X,bior3.7);l %對X進(jìn)行DWT，bior3.7是雙正交樣條小波對應(yīng)的濾波器lA1 = upcoef2(a,cA1,bior3.7,1);lH1 = upcoef2(h,cV1,bior3.7,1);lV1 = upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);lD1 = upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);Slide 58lfigure;colormap(map) ; lsubplot(2,2,1); image(wcodemat(A1,180);ltitle(Approximation A1)lsu

32、bplot(2,2,2); image(wcodemat(H1, 255);ltitle(Horizontal Detail H1)lsubplot(2,2,3); image(wcodemat(V1,255);ltitle(Vertical Detail V1)lsubplot(2,2,4); image(wcodemat(D1,255);ltitle(Diagonal Detail D1)lY = 2.0*IDWT2(A1,H1,V1,D1, bior3.7);lY = imresize(Y,0.5);lfigure; image(Y);colormap(map);Slide 59圖4.15 一層小波變換 （a）原圖像 （b）逆變換后的圖像Slide 60圖4.15 一層小波變換（c）一層小波變換的4個分量Slide 614.6 二維數(shù)字濾波器二維數(shù)字濾波器 l尺寸為MN的待處理輸入為f(x,y)，其DFT為F(u,