CH條件異方差

1、時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析自回歸條件異方差條件異方差模型條件異方差模型l金融衍生市場(chǎng)，計(jì)算期權(quán)等衍生工具的價(jià)格需要了解股票的波動(dòng)率l金融風(fēng)險(xiǎn)管理,度量金融風(fēng)險(xiǎn)的大小，計(jì)算VaR。l改進(jìn)參數(shù)估計(jì)量的有效性，提高預(yù)測(cè)區(qū)間的精確度。llKrPxlxKrxPcttlttltt21)/ln(),()(條件異方差條件異方差l幾個(gè)主要的條件異方差模型Engle(1982)ARCHBollerslev(1986)GARCHNelson(1991)EGARCH實(shí)證經(jīng)驗(yàn)實(shí)證經(jīng)驗(yàn)l波動(dòng)率聚類性l波動(dòng)是連續(xù)的，沒有突然的跳躍l波動(dòng)率不趨于無窮，在一定范圍內(nèi)變化 l波動(dòng)率有杠桿效應(yīng) l名義利率。在名義利率水平比較高時(shí)，市

2、場(chǎng)的波動(dòng)率也比較大 條件異方差模型條件異方差模型金融資產(chǎn)的收益率rt，t時(shí)刻前的信息為Ft1感興趣的是收益率的條件均值和條件方差金融資產(chǎn)收益率的一個(gè)特征是日收益率不存在或只存在微弱的相關(guān)性，但是日收益率的平方存在相關(guān)性，即收益率序列不相關(guān)但是也不獨(dú)立。)|(),|(121ttttttFrVarFrE條件異方差模型條件異方差模型建立關(guān)于收益率的條件均值和條件方差的模型)|()|(,1111ttttpiqiitiitittttFVarFrVarrcrARCH過程過程令v1, v2是獨(dú)立高斯白噪聲過程, 標(biāo)準(zhǔn)差為1 1,.)|(0.)|(1, 1ttttvvVarvvEARCH(q)ttth2211

3、0qtqtthVt是獨(dú)立白噪聲過程0 0, j O,j=1,q1,.)|(0.)|(1, 1ttttvvVarvvEARCH過程過程t 是ARCH(1)過程ttth2110tthARCH過程的性質(zhì)過程的性質(zhì)該過程表明,如果t-1異常的偏離他的條件期望0,那么t的條件方差要比通常情況下大, 所以有理由預(yù)期t會(huì)比較大.這樣使得比較大,反之,如果t-1異常的小,那么條件方差要比通常情況下小,所以有理由預(yù)期t會(huì)比較小. 這樣使得比較小. 雖然方差大或小會(huì)持續(xù)一端時(shí)間,但是不會(huì)一直持續(xù)下去,會(huì)回到無條件方差上去. ARCH過程性質(zhì)過程性質(zhì)邊際期望和邊際方差1022110211012211)()()()|

4、()()(0)()|()(ttttttttttttEEEFEEEVarvEhEFEEEARCH過程性質(zhì)過程性質(zhì)邊際四階矩E( 4t |F t1)3（01 2t-1）2E(4t)=m4=320 (1+1)/(1-1)(1-321)四階矩是正的，所以必須有211/3無條件峰度= E(4t)/ E(2t)2 = 3 (1 -21)/(1-321)大于3，所以t的分布的尾巴比正態(tài)分布的尾巴厚。ARCH過程特點(diǎn)過程特點(diǎn)令帶入ARCH(1)模型可以證明t是白噪聲過程 2t的形式類似于AR(1)（因?yàn)槲覀儧]有證明t的方差是否有界。） tttttt2110221102tttttthE2212)(ARCH過程缺

5、點(diǎn)總結(jié)過程缺點(diǎn)總結(jié)l不能反應(yīng)波動(dòng)率的非對(duì)稱特點(diǎn)l約束強(qiáng)，要求系數(shù)非負(fù)，如果要求高階矩存在，還有更多的約束l不能解釋為什么存在異方差，只是描述了條件異方差的行為。建立ARCH模型1）建立收益率序列的計(jì)量模型，去掉任何線性關(guān)系，使用估計(jì)的殘差檢驗(yàn)ARCH效果2）估計(jì)模型3）檢驗(yàn)ARCH模型，根據(jù)情況修改模型。 建立模型建立模型1）建立一個(gè)計(jì)量模型ARCH過程最常見的應(yīng)用是在回歸模型。 tttXYtptpttYYcY.11建立模型建立模型檢驗(yàn)殘差是否存在條件異方差 l觀察殘差平方的偏自相關(guān)函數(shù)，如果q步截尾，則階數(shù)為ql對(duì)殘差平方使用Q檢驗(yàn)，判斷是否存在自相關(guān)l使用LM檢驗(yàn)法LM檢驗(yàn)檢驗(yàn)tqtqtt

6、eee221102零假設(shè)H0：i =0， i=1,2,q，即不存在條件異方差性 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： LM=TR2 , T是樣本點(diǎn)個(gè)數(shù), LM服從2(q)分布 建立模型建立模型2）估計(jì)模型ttth22110qtptthTqtttthhL1221)ln(21)2ln(21)ln(tptpttYYcY.11建立模型建立模型3）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化后的殘差et /ht1/2，根據(jù)定義應(yīng)該獨(dú)立同分布N(0,1)使用Q-檢驗(yàn)法檢驗(yàn)et /ht1/2是否有自相關(guān)使用Q檢驗(yàn)法檢驗(yàn)e2t /ht是否有自相關(guān)預(yù)測(cè)條件方差預(yù)測(cè)條件方差 條件方差等于2q2110qttth21210.) 1 (qTqTTh221022211

7、02.) 1 ()2(.qTqTTqTqTThhhARCH模型對(duì)條件方差的預(yù)測(cè)模型對(duì)條件方差的預(yù)測(cè))(.) 1()(10qlhlhlhTqTT時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析其他GARCH類模型GARCH（p,q）廣義自回歸條件異方差模型廣義自回歸條件異方差模型2211110qtqtptptthhkhttth211110ttthkhGARCH(1,1)GARCH性質(zhì)性質(zhì)1)當(dāng)p=0時(shí),成為ARCH過程,ARCH過程是GARCH的特例，這也是該過程被稱為廣義的原因。2)GARCH過程的含義是條件方差ht是ht-1,ht-p和 t-1, t-q的函數(shù)。3）參數(shù)i , i=1,2,q和i , i=1,2,p

8、大于零是保證條件方差為正的充分條件,而不是必要條件。4)2t平穩(wěn)的條件是1+q+1+ p 0同等程度的正擾動(dòng)引起條件方差的變化比負(fù)擾動(dòng)要大；0同等程度的正擾動(dòng)引起條件方差的變化比負(fù)擾動(dòng)要小; =0同等程度的正擾動(dòng)引起條件方差的變化與負(fù)擾動(dòng)相等。 EGARCH模型模型1）重要特征是引入不對(duì)稱性 2）參數(shù)沒有大于0的約束，因?yàn)閷?duì)求對(duì)數(shù)后的條件方差建模，可以保證方差為對(duì)數(shù)。3）可以假設(shè)t廣義誤差分布4）假設(shè)vt是正態(tài)分布時(shí)E(|vt|)= (2/)1/2TGARCH模型模型21t2211110bSqtqtptptthhkh0; 0, 11SStARCH-M模型模型tttthgXy)(g()是條件方差

9、的函數(shù)通常是ht ，ln ht ttth22110qtptthARCH-M模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用條件CAPM模型11111111111)|()|()|()|()|()|()()(ittMttMtfttMttMtfttMtitfttitfMifirVarrERRErERRERRERRERRE其他異方差模型其他異方差模型lQARCH-quadratic ARCH二次自回歸條件異方差lSTARCH-structural ARCH 結(jié)構(gòu)自回歸條件異方差lSWARCH-switching ARCH開關(guān)自回歸條件異方差lQTARCH-quantitative threshold ARCH定量門限自回歸條件異

10、方差lDaigonal ARCHlFactor ARCH 條件異方差模型條件異方差模型例題和演示例題例題 研究臺(tái)灣新臺(tái)幣/美圓匯率。即1美圓=-臺(tái)幣。 數(shù)據(jù)區(qū)間1994：11，161995：3，8，每5分鐘記錄一次，共1341個(gè)樣本點(diǎn)。問題：匯率是否是可預(yù)測(cè)的？匯率市場(chǎng)是否是不對(duì)稱的？是否風(fēng)險(xiǎn)越大，要求的收益率越大？例題例題要回答問題1，需要采用AR模型，檢驗(yàn)是否是一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)；回答問題2和3要用到EGARCH模型；問題4用到ARCH-M模型。所以采用AR-EGARCH-M 例題例題首先介紹一些符號(hào)用St表示匯率。Rt=(ln St -ln St-1)*100是匯率的收益率 tttttthRR

11、RR3322110|)(|lnln1111110tttttEhhttth00.0080.068 H0: 0=01-0.625-3.479* H0: 1=02-0.1079-4.965* H0: 2=03-0.1055-5.37* H0: 3=0-0.0048-1.916* H0: =010.959463.266* H0: 1=0-0.3766-1.6553 H0: =000.2912-3.291* H0: 0=010.1196-2.683* H0: 1=0例題例題如何利用模型解決問題？ 匯率是否是可預(yù)測(cè)的？ H0： 1=0，2=0，3=0 匯率市場(chǎng)是否是不對(duì)稱的？ H0: =0 是否風(fēng)險(xiǎn)越大，

12、要求的收益率越大 H0: =0 例例2：德國(guó)馬克對(duì)美元匯率：德國(guó)馬克對(duì)美元匯率DM=US/DM0.20.30.40.50.650010001500DMDLDM弱相關(guān)弱相關(guān)-0.04-0.020.000.020.040.0650010001500DLDMDLDM2相關(guān)相關(guān)0.0000.0010.0020.0030.00450010001500DLDM_PINGFACF OF DM非平穩(wěn)非平穩(wěn)0.930.940.950.960.970.980.9911.0112345678910 11 12 13 14 15系列1ACF OF DLDM平穩(wěn)平穩(wěn)-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.

13、040.060.0812345678910 11 12 13 14 15系列1ACF OF DLDM2拖尾拖尾00.020.040.060.080.10.120.140.1612345678910 11 12 13 14 15系列1Eviews操作操作ARCH1）Objects-new-equation得到一個(gè)窗口2）Method-arch得到一個(gè)窗口，可以輸入ARCH類模型3）view-residual tests4)procs-make residual -make GARCH variance seriesARCH LM TESTlARCH(1)=21.77 0.000003lARCH(

14、6)=83.46 0.00000MAKE MODELS1)ARCH(6)2)GARCH(1,1)3)EGARCH(1,1)AR(3)-GARCH(1,1)Estimation resultsCoefficientStd. Errorz-StatisticProb. DLDM(-1)-0.075665 0.025038-3.0220730.0025DLDM(-2)0.046101 0.0236961.9455300.0517DLDM(-3)0.050276 0.0229632.1894870.0286 Variance EquationC 1.40E-06 3.65E-07 3.851059 0

15、.0001ARCH(1)0.1020880.0110519.2378930.0000GARCH(1)0.8793400.01358264.745270.0000Conditional stand. variance0.0000.0050.0100.0150.0200.02550010001500Some testVtQ(20)=0.177 Q(36)=0.151V2tQ(20)=0.75 Q(36)=0.39時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析VaR和GARCH風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值概念風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值概念金融機(jī)構(gòu)通常這樣描述： 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值是一定數(shù)額的貨幣，是對(duì)未來的可能損失的估計(jì)。具體說是這樣一個(gè)數(shù)額的貨幣，預(yù)期一個(gè)交易日后，

16、損失超過該數(shù)額貨幣的可能性是1% 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值概念風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值概念某銀行宣布，“只有1%的可能性，該銀行的資產(chǎn)在一天內(nèi)的損失會(huì)多于350萬元?！币兀褐眯潘?9%90； 時(shí)間長(zhǎng)度：一天一年； 損失：用絕對(duì)損失或比率在99%的置信水平下，一天內(nèi)他的資產(chǎn)的VaR是350萬元。資產(chǎn)組合損失的可能取值損失的概率密度1Barings銀行破產(chǎn)銀行破產(chǎn)VaR分析分析-2頭寸情況空頭對(duì)敲（short straddle)策略:同時(shí)賣空35000份日經(jīng)指數(shù)期貨的看跌和看漲期權(quán).如果市場(chǎng)穩(wěn)定,那么可以獲得巨額期權(quán)費(fèi),但是由于神戶地震,日經(jīng)指數(shù)一路下跌.期貨組合:N.Leeson賭日經(jīng)指數(shù)會(huì)反彈, 買入日經(jīng)指數(shù)期貨,賣空1

17、0年期日本國(guó)債期貨.這兩者負(fù)相關(guān).Barings銀行破產(chǎn)銀行破產(chǎn)VaR分析分析-395%的概率對(duì)應(yīng)的VaR期權(quán)組合的VaR =8.35億美元空頭跨坐策略的VaR=2200萬美元總實(shí)際損失13億美元總VaR=8.57億美元Barings銀行內(nèi)部認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)為0 方差協(xié)方差法方差協(xié)方差法 假設(shè)一個(gè)管理者有一個(gè)資產(chǎn)組合，該組合只有一種金融資產(chǎn)。 假設(shè)該資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布，均值20，標(biāo)準(zhǔn)差30，當(dāng)前該組合的價(jià)值為100(MILLION) 風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的計(jì)算1）一年后該資產(chǎn)的價(jià)值的分布2）一年后損失超過20M的概率有多大，或者說一年后資產(chǎn)價(jià)值小于80M的概率有多大3）1的概率下的最大損失？即

18、VaR 一年后資產(chǎn)價(jià)格的分布一年后資產(chǎn)價(jià)格的分布一年以后資產(chǎn)價(jià)值P1=P0(1+R)分布是正態(tài)分布均值P0(1+0.2)=1.2*100=120M標(biāo)準(zhǔn)差P0*0.3=100*0.3=30M P1N(120,302) 問題問題2損失超過20M,即P1小于80M的概率p（P180）=p(Z(80-120)/30)=p(Z-1.333)=9.12% 問題問題3p(P1?)=1%P(z?)=1%-?=-2.33P1 120+30*(-2.33)=50.1損失為10050.149.91%顯著水平下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值為49.9，有1的可能性一年后的損失超過49.9M。 單個(gè)股票資產(chǎn)的單個(gè)股票資產(chǎn)的VaR 表示樣本均值s表示樣